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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|The exponential Wald identity

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The exponential Wald identity

Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^1$ and $\tau_b=\tau{{b}}^{\circ}$ the first passage time of the level $b$. Recall from Example $5.2 \mathrm{~d})$ that $M^{\xi}(t):=e^{\xi B(t)-\frac{1}{2} \xi^2 t}, t \geqslant 0$ and $\xi>0$, is a martingale. Applying the optional stopping theorem (Theorem A.18) to the bounded stopping times $t \wedge \tau_b$ we see that
$$1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_b\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_b\right)-\frac{1}{2} \xi^2\left(t \wedge \tau_b\right)}\right]$$
Since $B\left(t \wedge \tau_b\right) \leqslant b$ for $b>0$, we have $0 \leqslant e^{\xi B\left(t \wedge \tau_b\right)-\frac{1}{2} \xi^2\left(t \wedge \tau_b\right)} \leqslant e^{\xi b}$. Using the fact that $e^{-\infty}=0$ we get
$$\lim {t \rightarrow \infty} e^{\xi B\left(t \wedge \tau_b\right)-\frac{1}{2} \xi^2\left(t \wedge \tau_b\right)}= \begin{cases}e^{\xi B\left(\tau_b\right)-\frac{1}{2} \xi^2 \tau_b}, & \text { if } \quad \tau_b<\infty, \ 0, & \text { if } \quad \tau_b=\infty\end{cases}$$ Thus, $$1=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_b\right)-\frac{1}{2} \xi^2\left(t \wedge \tau_b\right)}\right] \underset{t \rightarrow \infty}{\stackrel{\text { dom. conv. }}{\longrightarrow}} e^{\xi b} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau_b<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^2 \tau_b}\right]$$
which shows
$$\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau_b<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^2 \tau_b}\right]=e^{-\xi b}$$ By monotone convergence we get $$\mathbb{P}\left(\tau_b<\infty\right)=\lim {\xi \downarrow 0} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}_{\left{\tau_b<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^2 \tau_b}\right]=1$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Markov property

In fact, we know from Lemma 2.10 that the paths up to time $s$ and thereafter are stochastically independent, i. e. $\mathcal{F}s^B \perp \mathcal{F}{\infty}^W:=\sigma\left(B_{t+s}-B_s: t \geqslant 0\right)$. If we use any admissible filtration $\left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0}$ instead of the natural filtration $\left(\mathcal{F}t^B\right){t \geqslant 0}$, the argument of Lemma 2.10 remains valid, and we get
6.1 Theorem (Markov property of $\mathrm{BM})$. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^d$ and $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ some admissible filtration. For every $s>0$, the process $W_t:=B_{t+s}-B_s, t \geqslant 0$, is also a $\mathrm{BM}^d$ and $\left(W_t\right){t \geqslant 0}$ is independent of $\mathcal{F}_s$, i. e. $\mathcal{F}{\infty}^W=\sigma\left(W_t, t \geqslant 0\right) \Perp \mathcal{F}_s$.

Theorem 6.1 justifies our intuition that we can split a Brownian path into two independent pieces
$$B(t+s)=B(t+s)-B(s)+B(s)=W(t)+\left.y\right|{y=B(s)}$$ Observe that $W(t)+y$ is a Brownian motion started at $y \in \mathbb{R}^d$. Let us introduce the following notation $$\mathbb{P}^x\left(B{t_1} \in A_1, \ldots, B_{t_n} \in A_n\right):=\mathbb{P}\left(B_{t_1}+x \in A_1, \ldots, B_{t_n}+x \in A_n\right)$$
where $0 \leqslant t_1<\cdots<t_n$ and $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$. We will write $\mathbb{E}^x$ for the corresponding mathematical expectation. Clearly, $\mathbb{P}^0=\mathbb{P}$ and $\mathbb{E}^0=\mathbb{E}$. This means that $\mathbb{P}^x\left(B_s \in A\right)$ denotes the probability that a Brownian particle starts at time $t=0$ at the point $x$ and travels in $s$ units of time into the set $A$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。