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数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|The Hille-Yosida theorem and positivity

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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程,路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化,以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的,并且在巴切莱特和埃朗之前和之后,在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

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数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|The Hille-Yosida theorem and positivity

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We will now discuss the structure of generators of strongly continuous contraction semigroups and Feller semigroups.

7.16 Theorem (Hille 1948; Yosida 1948; Lumer-Phillips 1961). A linear operator $(A, \mathfrak{D}(A))$ on a Banach space $(\mathfrak{B},|\cdot|)$ is the infinitesimal generator of a strongly continuous contraction semigroup if, and only if,
a) $\mathfrak{D}(A)$ is a dense subset of $\mathfrak{B}$;
b) $A$ is dissipative, i.e. $\forall \lambda>0, u \in \mathfrak{D}(A):|\lambda u-A u| \geqslant \lambda|u|$;
c) $\Re(\lambda$ id $-A)=\mathfrak{B}$ for some (or all) $\lambda>0$.
We do not give a proof of this theorem but refer the interested reader to Ethier-Kurtz [61] and Pazy [142]. In fact, Theorem 7.16 is too general for transition semigroups of stochastic processes. Let us now show which role is played by the positivity and subMarkovian property of such semigroups. To keep things simple, we restrict ourselves to the Banach space $\mathfrak{B}=\mathcal{C}_{\infty}$ and Feller semigroups.

7.17 Lemma. Let $\left(P_t\right){t \geqslant 0}$ be a Feller semigroup with generator $(A, \mathfrak{D}(A))$. Then $A$ satisfies the positive maximum principle (PMP) $$ u \in \mathfrak{D}(A), u\left(x_0\right)=\sup {x \in \mathbb{R}^d} u(x) \geqslant 0 \Longrightarrow A u\left(x_0\right) \leqslant 0
$$
For the Laplace operator (7.18) is quite familiar: At a (global) maximum the second derivative is negative.

Proof. Let $u \in \mathfrak{D}(A)$ and assume that $u\left(x_0\right)=\sup u \geqslant 0$. Since $P_t$ preserves positivity, we get $u^{+}-u \geqslant 0$ and $P_t\left(u^{+}-u\right) \geqslant 0$ or $P_t u^{+} \geqslant P_t u$. Since $u\left(x_0\right)$ is positive, $u\left(x_0\right)=u^{+}\left(x_0\right)$ and so
$$
\frac{1}{t}\left(P_t u\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\right) \leqslant \frac{1}{t}\left(P_t u^{+}\left(x_0\right)-u^{+}\left(x_0\right)\right) \leqslant \frac{1}{t}\left(\left|u^{+}\right|_{\infty}-u^{+}\left(x_0\right)\right)=0 .
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Dynkin’s characteristic operator

We will now give a probabilistic characterization of the infinitesimal generator. As so often, a simple martingale relation turns out to be extremely helpful. The following theorem should be compared with Theorem 5.6. Recall that a Feller process is a (strong ${ }^2$ ) Markov process with right-continuous trajectories whose transition semigroup $\left(P_t\right){t \geqslant 0}$ is a Feller semigroup. Of course, a Brownian motion is a Feller process. 7.21 Theorem. Let $\left(X_t, \mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ be a Feller process on $\mathbb{R}^d$ with transition semigroup $\left(P_t\right)_{t \geqslant 0}$ and generator $(A, \mathfrak{D}(A))$. Then
$$
M_t^u:=u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r \text { for all } u \in \mathfrak{D}(A)
$$
is an $\mathcal{F}_t$ martingale.

Proof. Let $u \in \mathfrak{D}(A), x \in \mathbb{R}^d$ and $s, t>0$. By the Markov property (6.4c),
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}^x & \left(M_{s+t}^u \mid \mathcal{F}t\right) \ & =\mathbb{E}^x\left(u\left(X{s+t}\right)-u(x)-\int_0^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right) \
& =\mathbb{E}^{X_t} u\left(X_s\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\mathbb{E}^x\left(\int_t^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right) \
& =P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\mathbb{E}^{X_t}\left(\int_0^s A u\left(X_r\right) d r\right) \
& =P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\int_0^s \mathbb{E}^{X_t}\left(A u\left(X_r\right)\right) d r \
& =P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\int_0^s P_r A u\left(X_t\right) d r \
& =u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r=M_t^u .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|The Hille-Yosida theorem and positivity

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Hille-Yosida theorem and positivity

我们现在将讨论强伡续收缩半群和 Feller 半群的生成元的结构。
7.16 定理 (Hille 1948;Yosida 1948;Lumer-Phillips 1961)。线性算子 $(A, \mathfrak{D}(A))$ 在巴拿赫空间 $(\mathfrak{B},|\cdot|)$ 是强连续收缩半群 的无穾小生成元当且仅当
a) $\mathfrak{D}(A)$ 是的稠密子集 $\mathfrak{B}$ ;
二) $A$ 是耗散的,即 $\forall \lambda>0, u \in \mathfrak{D}(A):|\lambda u-A u| \geqslant \lambda|u|$ ;
C) $\mathfrak{R}(\lambda \mid \mathrm{D}-A)=\mathfrak{B}$ 对于一些(或全部) $\lambda>0$.
我们不给出该定理的证明,但请感兴趣的读者参考 Ethier-Kurtz [61] 和 Pazy [142]。事实上,定理 7.16 对于随机过程的过渡半 群来说太笼统了。现在让我们说明这种半群的正性和次马尔可夫性质所起的作用。为了简单起见,我们将自己限制在 Banach 空 间 $\mathfrak{B}=\mathcal{C}{\infty}$ 和 Feller 半群。 7.17 引理。让 $\left(P_t\right) t \geqslant 0$ 是一个带生成元的 Feller 半群 $(A, \mathfrak{D}(A))$. 然后 $A$ 满足正最大值原则 (PMP) $$ u \in \mathfrak{D}(A), u\left(x_0\right)=\sup x \in \mathbb{R}^d u(x) \geqslant 0 \Longrightarrow A u\left(x_0\right) \leqslant 0 $$ 对于拉普拉斯算子 (7.18) 非常孰悉: 在 (全局) 最大值处,二阶导数是负的。 证明。让 $u \in \mathfrak{D}(A)$ 并假设 $u\left(x_0\right)=\sup u \geqslant 0$. 自从 $P_t$ 保留积极性,我们得到 $u^{+}-u \geqslant 0$ 和 $P_t\left(u^{+}-u\right) \geqslant 0$ 或者 $P_t u^{+} \geqslant P_t u$. 自从 $u\left(x_0\right)$ 是积极的, $u\left(x_0\right)=u^{+}\left(x_0\right)$ 所以 $$ \frac{1}{t}\left(P_t u\left(x_0\right)-u\left(x_0\right)\right) \leqslant \frac{1}{t}\left(P_t u^{+}\left(x_0\right)-u^{+}\left(x_0\right)\right) \leqslant \frac{1}{t}\left(\left|u^{+}\right|{\infty}-u^{+}\left(x_0\right)\right)=0 .
$$

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我们现在将给出无穷小发生器的概率特征。通常,一个简单的鞅关系被证明是非常有用的。下面的定理应该与定理 5.6 进行比较。 回想一下,Feller 过程是一个 $\left(\right.$ 强 $\left.^2\right)$ 具有右连续轨迹的马尔可夫过程,其过渡半群 $\left(P_t\right) t \geqslant 0$ 是 Feller 半群。当然,布朗运动是 费勒过程。 7.21 定理。让 $\left(X_t, \mathcal{F}t\right) t \geqslant 0$ 成为 Feller 过程 $\mathbb{R}^d$ 有过渡半群 $\left(P_t\right){t \geqslant 0}$ 和发电机 $(A, \mathfrak{D}(A))$. 然后
$$
M_t^u:=u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r \text { for all } u \in \mathfrak{D}(A)
$$
是 个 $\mathcal{F}t$ 靲。 证明。让 $u \in \mathfrak{D}(A), x \in \mathbb{R}^d$ 和 $s, t>0$. 根据马尔可夫性质 (6.4c), $$ \mathbb{E}^x\left(M{s+t}^u \mid \mathcal{F} t\right)=\mathbb{E}^x\left(u(X s+t)-u(x)-\int_0^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right)=\mathbb{E}^{X_t} u\left(X_s\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\mathbb{E}^x\left(\int_t^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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