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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域,图论是对图的研究,涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科,在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来,图论已经成为各种学科的重要数学工具,从运筹学和化学到遗传学和语言学,从电气工程和地理到社会学和建筑。同时,它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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In 1852 Augustus De Morgan sent a letter to his colleague Sir William Hamilton (the same mathematician who introduced what we now call hamiltonian cycles) regarding a puzzle presented by one of his students, Frederick Gutherie (though Gutherie later clarified that the question originated from his brother, Francis). This question was known for over a century as the Four Color Conjecture, and can be stated as

Any map split into contiguous regions can be colored using at most four colors so that no two bordering regions are given the same color.

An important aspect of this conjecture is that a region, such as a country or state, cannot be split into two disconnected pieces. For example, the state of Michigan is split into the Lower Peninsula and the Upper Peninsula and so is not a contiguous region; thus the contiguous United States does not satisfy the hypothesis of the Four Color Conjecture. However, it is still possible to color the lower 48 states using 4 colors (try it!).

The Four Color Conjecture started as a map coloring problem, yet migrated into a graph coloring problem. In the late 19th century, Alfred Kempe studied the dual problem where each region on a map was represented by a vertex and an edge exists between two vertices if their corresponding regions share a border. This approach was extensively used in the mid-20th century as the study of graph theory exploded with the advent of the computer. The search for a proper map coloring is now reduced to a proper vertex coloring (more commonly referred to as just a coloring) for a planar graph. A graph is planar if it can be drawn so that no edges cross. We will study planar graphs extensively in Chapter 7.

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For the remainder of this chapter, we will explore graph colorings for graphs that may or may not be planar, mainly since we already know that planar graphs need at most 4 colors and so there is not much room for further exploration. Any graph we consider can be simple or have multi-edges but cannot have loops, since a vertex with a loop could never be assigned a color. In any graph coloring problem, we want to determine the smallest value for $k$ for which a graph has a $k$-coloring. This value for $k$ is called the chromatic number of a graph.

Definition 6.4 The chromatic number $\chi(G)$ of a graph is the smallest value $k$ for which $G$ has a proper $k$-coloring.

In order to determine the chromatic number of a graph, we often need to complete the following two steps:
(1) Find a vertex coloring of $G$ using $k$ colors.
(2) Show why fewer colors will not suffice.
At times it can be quite complex to show a graph cannot be colored with fewer colors. There are a few properties of graphs and the existence of certain subgraphs that can immediately provide a basis for these arguments.

Look back at Example 6.1 about coloring the counties in Vermont and the discussion of alternating colors around a central vertex. In doing so, we were using one of the most basic properties in graph coloring: the number of colors needed to color a cycle. Recall that a cycle on $n$ vertices is denoted $C_n$. The examples below show optimal colorings of $C_3, C_4, C_5$, and $C_6$.

Notice that in all the graphs we try to alternate colors around the cycle. When $n$ is even, we can color $C_n$ in two colors since this alternating pattern can be completed around the cycle. When $n$ is odd, we need three colors for $C_n$ since the final vertex visited when traveling around the cycle will be adjacent to a vertex of color 1 and of color 2 . This was demonstrated in the coloring of the five counties surrounding Lamoille County in Example 6.1.

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1852 年,奥古斯都·德·摩根 (Augustus De Morgan) 就他的一位学生弗雷德里克·古瑟里 (Frederick Gutherie) 提出的一个谜题致函他的同事威廉·汉密尔顿爵士(同一位数学家,他提出了我们现在所说的哈密顿循环)(尽管古瑟里后来澄清说这个问题源于他的兄弟,弗朗西斯)。这个问题被称为四色猜想已有一个多世纪了,可以表述为

任何分成相邻区域的地图最多可以使用四种颜色进行着色,这样就不会为两个相邻区域赋予相同的颜色。

这个猜想的一个重要方面是,一个地区,例如一个国家或州,不能分裂成两个不相连的部分。例如,密歇根州被分为下半岛和上半岛,因此不是一个连续的区域;因此,毗邻的美国不满足四色猜想的假设。但是,仍然可以使用 4 种颜色为较低的 48 个状态着色(试试吧!)。

四色猜想最初是一个地图着色问题,后来迁移到图形着色问题。19 世纪末,Alfred Kempe 研究了地图上的每个区域都由一个顶点表示,如果两个顶点对应的区域共享一条边界,则两个顶点之间存在一条边的对偶问题。这种方法在 20 世纪中叶被广泛使用,因为图论研究随着计算机的出现而爆炸式增长。对适当地图着色的搜索现在减少为平面图的适当顶点着色(通常称为着色)。如果可以绘制图形使得没有边交叉,则图形是平面的。我们将在第 7 章广泛研究平面图。

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在本章的剩余部分,我们将探索平面图或非平面图的图着色,主要是因为我们已经知道平面图最多需要 4 种颜 色,因此没有太多的空间可以进一步探索。我们考虑的任何图都可以是简单的或具有多条边,但不能有环,因 这个值对于 $k$ 称为图的色数。
定义 6.4 色数 $\chi(G)$ 图的最小值 $k$ 为了哪个 $G$ 有一个适当的 $k$-染色。
为了确定一个图的色数,我们往往需要完成以下两个步㜟:
(1) 找到一个顶点撯色为 $G$ 使用 $k$ 颜色。
(2) 说明为什么更少的颜色是不够的。
有时要显示一个图形不能用更少的颜色着色可能会非常复杂。图的一些属性和某些子图的存在可以立即为这些 论点提供基础。
回顾示例 6.1 关于为佛蒙特州的县着色以及围绕中心顶点交替颜色的讨论。这样做时,我们使用了图形着色中最 基本的属性之一: 为循环着色所需的颜色数。回想一下循环 $n$ 顶点表示 $C_n$. 下面的例子显示了最佳着色 $C_3, C_4, C_5$ ,和 $C_6$.
请注意,在所有图表中,我们都尝试围绕循环交替使用颜色。什么时候 $n$ 是均匀的,我们可以着色 $C_n$ 有两种颜 色,因为这种交替模式可以在循环中完成。什么时候 $n$ 很奇怪,我们需要三种颜色 $C_n$ 因为在循环中行进时访问 的最终顶点将与颜色 1 和颜色 2 的顶点相邻。这在示例 6.1 中拉莫伊尔县周围的五个县的着色中得到了证明。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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