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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaussian elimination

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaussian elimination

Throughout this section, $F$ denotes a field.
A matrix $B \in F^{m \times n}$ is said to be in reduced row echelon form if there exists a sequence of integers $\left(p_1, \ldots, p_r\right)$, with $0 \leq r \leq m$ and $1 \leq p_1<p_2<$ $\cdots<p_r \leq n$, such that the following holds:

• for $i=1, \ldots, r$, all of the entries in row $i$ of $B$ to the left of entry $\left(i, p_i\right)$ are zero (i.e., $B(i, j)=0$ for $j=1, \ldots, p_i-1$ );
• for $i=1, \ldots, r$, all of the entries in column $p_i$ of $B$ above entry $\left(i, p_i\right)$ are zero (i.e., $B\left(i^{\prime}, p_i\right)=0$ for $i^{\prime}=1, \ldots, i-1$ );
• for $i=1, \ldots, r$, we have $B\left(i, p_i\right)=1$;
• all entries in rows $r+1, \ldots, m$ of $B$ are zero (i.e., $B(i, j)=0$ for $i=r+1, \ldots, m$ and $j=1, \ldots, n)$.
It is easy to see that if $B$ is in reduced row echelon form, the sequence $\left(p_1, \ldots, p_r\right)$ above is uniquely determined, and we call it the pivot sequence of $B$. Several further remarks are in order:
• All of the entries of $B$ are completely determined by the pivot sequence, except for the entries $(i, j)$ with $1 \leq i \leq r$ and $j>i$ with $j \notin\left{p_{i+1}, \ldots, p_r\right}$, which may be arbitrary.
• If $B$ is an $n \times n$ matrix in reduced row echelon form whose pivot sequence is of length $n$, then $B$ must be the $n \times n$ identity matrix.
• We allow for an empty pivot sequence (i.e., $r=0$ ), which will be the case precisely when $B=0^{m \times n}$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Module homomorphisms and isomorphisms

Again, throughout this section, $R$ is a ring. The notion of a group homomorphism extends in the obvious way to $R$-modules.

Definition 14.4. Let $M$ and $M^{\prime}$ be modules over $R$. An R-module homomorphism from $M$ to $M^{\prime}$ is a map $\rho: M \rightarrow M^{\prime}$, such that
(i) $\rho$ is a group homomorphism from $M$ to $M^{\prime}$, and
(ii) for all $a \in R$ and $\alpha \in M$, we have $\rho(a \alpha)=a \rho(\alpha)$.
An $R$-module homomorphism is also called an $R$-linear map. We shall use this terminology from now on. Expanding the definition, we see that a map $\rho: M \rightarrow M^{\prime}$ is an $R$-linear map if and only if $\rho(\alpha+\beta)=\rho(\alpha)+\rho(\beta)$ and $\rho(a \alpha)=a \rho(\alpha)$ for all $\alpha, \beta \in M$ and all $a \in R$.

Since an $R$-module homomorphism is also a group homomorphism on the underlying additive groups, all of the statements in Theorem 8.20 apply. In particular, an $R$-linear map is injective if and only if the kernel is trivial (i.e., contains only the zero element). However, in the case of $R$-module homomorphisms, we can extend Theorem 8.20, as follows:
Theorem 14.5. Let $\rho: M \rightarrow M^{\prime}$ be an $R$-linear map.
(i) For any submodule $N$ of $M, \rho(N)$ is a submodule of $M^{\prime}$.
(ii) $\operatorname{ker}(\rho)$ is a submodule of $M$.
(iii) For any submodule $N^{\prime}$ of $M^{\prime}, \rho^{-1}\left(N^{\prime}\right)$ is a submodule of $M$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaussian elimination

• 为了 $i=1, \ldots, r$ ，行中的所有条目 $i$ 的 $B$ 在条目的左边 $\left(i, p_i\right)$ 为零 (即 $B(i, j)=0$ 为了 $j=1, \ldots, p_i-1$ )
• 为了 $i=1, \ldots, r$ ，列中的所有条目 $p_i$ 的 $B$ 以上条目 $\left(i, p_i\right)$ 为零 (即 $B\left(i^{\prime}, p_i\right)=0$ 为了 $\left.i^{\prime}=1, \ldots, i-1\right)$
• 为了 $i=1, \ldots, r$ ，我们有 $B\left(i, p_i\right)=1$ ；
• 行中的所有条目 $r+1, \ldots, m$ 的 $B$ 为零 $($ 即 $B(i, j)=0$ 为了 $i=r+1, \ldots, m$ 和 $j=1, \ldots, n)$.
很容易看出，如果 $B$ 是简化的行阶梯形式，序列 $\left(p_1, \ldots, p_r\right)$ 上面是唯一确定的，我们称之 为主元序列 $B$. 一些进一步的评论是为了:
• 所有的条目 $B$ 完全由主元序列决定，条目除外 $(i, j)$ 和 $1 \leq i \leq r$ 和 $j>i$ 和 $j \backslash \operatorname{lnotin} \backslash$ left $\left{p_{-}{i+1}\right.$, \ldots, $p_{-} r \backslash$ right $}$ ，这可能是任意的。
• 如果 $B$ 是一个 $n \times n$ 主元序列为长度的简化行梯形矩阵 $n$, 然后 $B$ 必须是 $n \times n$ 单位矩阵。
• 我们允许一个空的主元序列 (即 $r=0$ ), 正是这种情况 $B=0^{m \times n}$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Module homomorphisms and isomorphisms

(ii) 对于所有 $a \in R$ 和 $\alpha \in M$ ，我们有 $\rho(a \alpha)=a \rho(\alpha)$.

(i) 对于任何子模块 $N$ 的 $M, \rho(N)$ 是一个子模块 $M^{\prime}$.
(二) $\operatorname{ker}(\rho)$ 是一个子模块 $M$.
(iii) 对于任何子模块 $N^{\prime}$ 的 $M^{\prime}, \rho^{-1}\left(N^{\prime}\right)$ 是一个子模块 $M$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。