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# 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Compound Poisson process

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## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Compound Poisson process

In a Poisson process, $Y(t)$ jumps by 1 every time there is an arrival. Suppose now that the magnitude of each jump is itself a random variable, for example, when the arrivals occur in groups.
Definition 6.7.12 (Compound Poisson process)
Suppose that $Y(t)$ is a Poisson process with rate $\lambda$, and $U_1, U_2, \ldots \sim F_U$ are IID non-negative discrete random variables. We define a compound Poisson process with rate $\lambda$ and jump distribution $F_U$ as
$$X(t)= \begin{cases}\sum_{i=1}^{Y(t)} U_i & \text { if } Y(t)>0 \ 0 & \text { if } Y(t)=0 .\end{cases}$$
We can think of the usual Poisson process as a special case of the compound Poisson process, where the jumps $\left{U_i\right}$ are always equal to 1 . Notice that a compound Poisson process is a random sum, so we can use the results from section 5.6.
Proposition 6.7.13 (Properties of compound Poisson processes)
If $X(t)$ is a compound Poisson process with rate $\lambda$ and jump distribution $F_U$, and $0<s<t$, then
i. $\mathbb{E}(X(t))=\lambda t \mathbb{E}(U)$,
ii. $\operatorname{Var}(X(t))=\lambda t \mathbb{E}\left(U^2\right)$,
iii. $\operatorname{Cov}(X(s), X(t))=\lambda s \mathbb{E}\left(U^2\right)$,
iv. $\operatorname{Cov}(X(t), Y(t))=\lambda t \mathbb{E}(U)$.
v. $K_{X(t)}(v)=\lambda t\left(M_U(v)-1\right)$.

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Non-homogeneous Poisson process

Thus far, we have assumed that the rate of arrivals, $\lambda$, remains constant over time. There are many practical applications where we may wish to relax this assumption; for example, if we are monitoring the number of calls to a call centre, we would expect more occurrences during peak times. We can model this behaviour with a non-homogeneous Poisson process.
Definition 6.7.14 (Non-homogeneous Poisson process) If $Y(t)$ is a continuous-time counting process with
i. $Y(0)=0$,
ii. independent increments,
iii. $\mathrm{P}\left(N_{(t, t+h]}=j\right)= \begin{cases}1-\lambda(t) h+o(h) & \text { for } j=0 \ \lambda(t) h+o(h) & \text { for } j=1 \ o(h) & \text { for } j>1\end{cases}$ then $Y(t)$ is a non-homogeneous Poisson process with rate function $\lambda(t)$.
The rate function $\lambda(t)$ is a non-negative function of time. We will assume that it is deterministic, i.e. we know the value of $\lambda(t)$ for all values of $t$. There are important models in financial mathematics and biology where $\lambda(t)$ is itself a random variable, but these are beyond the scope of this book.

The mean-value function, $\mu(t)$, of a non-homogeneous Poisson process $Y(t)$ is defined as
$$\mu(t)=\int_0^t \lambda(s) d s .$$
Notice that, if $\lambda(t)=\lambda$ (constant) for all $t$, then $\mu(t)=\lambda t$, which we know is the mean of $Y(t)$.

# 统计推断代写

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Compound Poisson process

$$X(t)=\left{\sum_{i=1}^{Y(t)} U_i \quad \text { if } Y(t)>00 \quad \text { if } Y(t)=0\right.$$

$\equiv_{\circ} \operatorname{Cov}(X(s), X(t))=\lambda s \mathbb{E}\left(U^2\right)$,

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Non-homogeneous Poisson process

• $Y(0)=0$
二。独立增量，
iii $^2$
$\mathrm{P}\left(N_{(t, t+h]}=j\right)={1-\lambda(t) h+o(h) \quad$ for $j=0 \lambda(t) h+o(h) \quad$ for $j=1 o(h) \quad$ for $j>1$ 然后 $Y(t)$ 是具有速率函数的非齐次泊松过程 $\lambda(t)$.
速率函数 $\lambda(t)$ 是时间的非负函数。我们假设它是确定性的，即我们知道 $\lambda(t)$ 对于所有值 $t$. 金融数学和生物学中 有重要的模型，其中 $\lambda(t)$ 本身就是一个随机变量，但这些超出了本书的范围。
均值函数， $\mu(t)$, 非齐次泊松过程 $Y(t)$ 定义为
$$\mu(t)=\int_0^t \lambda(s) d s$$
请注意，如果 $\lambda(t)=\lambda$ (常数) 对所有人 $t$ ，然后 $\mu(t)=\lambda t$ ，我们知道是 $Y(t)$.

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