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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Computing the Fundamental Group of a Circle

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Computing the Fundamental Group of a Circle

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So far, it is not yet clear whether the fundamental group is an interesting invariantthat is, does it ever distinguish spaces? Are there any spaces at all with nontrivial fundamental group? In case the name didn’t give it away, here’s a spoiler: yes! We will show that the circle has nontrivial fundamental group.

This loop appears not to be homotopic to the trivial loop: it seems that this loop goes around once, and the trivial loop goes around 0 times. But how can we prove that, by doing some clever homotopy, we can’t shrink it down to a point?

There are several ways of proving this, and the different techniques highlight different properties of fundamental groups. In this section, we’ll see a way to do it using a first example of covering spaces, while in the next chapter we’ll see a different proof. We won’t talk more about covering spaces in general in this book, but the procedure we employ here to compute fundamental groups is very general and can be used to compute the fundamental group of any reasonably nice space.
The outline of the proof is the following: We want to start with a loop on the circle, lift it up to some other space, and see what the lifted version of the loop looks like.

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We have worked quite hard to find a space whose fundamental group is non-trivial. We should capitalize on this result and see if we can find other, related spaces whose fundamental groups can now be computed easily as a result of our hard work. An example where this approach is successful is for product spaces.

We must first make a small digression and attempt to put the notion of the product of two topological spaces $X$ and $Y$ on a slightly more rigorous footing. Just as we defined the product of two groups, let us define the product space as
$$
X \times Y:={(x, y): x \in X \text { and } y \in Y} .
$$
So far, this just defines $X \times Y$ as a set of points. To really turn $X \times Y$ into a topological space, we have to extend the topological notions from $X$ and $Y$ to $X \times Y$. We gave the precise mathematical definition of a topological space earlier, in Chapter 3 , but let us repeat it once more.

A topological space $X$ is a set of points together with a topology, which we’ll loosely take to mean “a way of defining an open set.” If $X \subseteq \mathbb{R}^3$ then we said that a subset $U \subseteq X$ is open if and only if, for every $x \in U$, we can find $\varepsilon>0$ so that the open ball $B_{\varepsilon}(x) \subseteq \mathbb{R}^3$ satisfies $B_{\varepsilon}(x) \cap X \subseteq U$. Thus we use the relatively open balls $B_{\varepsilon}(x) \cap X$ for all $x \in X$ and $\varepsilon>0$ to prove the openness of any subset of $X$. We say that the relatively open balls of $X$ constitute a “basis” for $X$.

More generally, we may have some space $X$ that is not a subset of $\mathbb{R}^3$-or any $\mathbb{R}^n$ for that matter-yet we still wish to consider it to be a topological space. What this means is that we need a way of deciding whether a subset of $X$ is open or not. We allow ourselves flexibility in how this is done, but we require that certain natural properties of open sets that we have seen before still hold.

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拓扑学代写

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到目前为止,还不清楚基本群是否是一个有趣的不变量,即它曾经区分空间吗?是否存在非平凡基本群的空间?万一这个名字没有泄露,这里有一个剧透:是的!我们将证明圆有非平凡的基本群。

这个循环似乎与平凡循环不同伦:似乎这个循环绕过一次,而平凡循环绕过 0 次。但是我们如何证明,通过一些聪明的同伦,我们不能把它缩小到一个点呢?

有几种方法可以证明这一点,不同的技术突出了基本群的不同性质。在本节中,我们将看到使用覆盖空间的第一个示例来完成此操作的方法,而在下一章中,我们将看到一个不同的证明。我们不会在本书中更多地讨论一般的覆盖空间,但是我们在这里用来计算基本群的过程是非常通用的,可以用来计算任何相当好的空间的基本群。
证明的概要如下:我们想从圆上的一个环开始,将它提升到其他空间,看看提升后的环是什么样子的。

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我们非常努力地寻找一个基本群不平凡的空间。我们应该利用这个结果,看看我们是否可以找到其他相关空 间,作为我们努力工作的结果,现在可以轻松计算其基本群。这种方法成功的一个例子是产品空间。
我们必须先扯个小题外话,尝试把两个拓扑空间乘积的概念 $X$ 和 $Y$ 在稍微严格的基础上。正如我们定义两组的 乘积一样,让我们将乘积空间定义为
$$
X \times Y:=(x, y): x \in X \text { and } y \in Y
$$
到目前为止,这只是定义 $X \times Y$ 作为一组点。真正转 $X \times Y$ 进入拓扑空间,我们必须将拓扑概念从 $X$ 和 $Y$ 到 $X \times Y$. 我们在前面的第 3 章中给出了拓扑空间的精确数学定义,但让我们再重复一遍。
拓扑空间 $X$ 是一组点和一个拓扑,我们将粗略地理解为“一种定义开集的方法”。如果 $X \subseteq \mathbb{R}^3$ 然后我们说一个 子集 $U \subseteq X$ 是开放的,当且仅当,对于每个 $x \in U$ ,我们可以找 $\varepsilon>0$ 这样开球 $B_{\varepsilon}(x) \subseteq \mathbb{R}^3$ 满足 $B_{\varepsilon}(x) \cap X \subseteq U$. 因此我们使用相对开放的球 $B_{\varepsilon}(x) \cap X$ 对全部 $x \in X$ 和 $\varepsilon>0$ 证明任何子集的开放性 $X$. 我们说相对开放的球 $X$ 构成一个“基础” $X$.
更一般地说,我们可能有一些空间 $X$ 那不是的子集 $\mathbb{R}^3$ – 或任何 $\mathbb{R}^n$ 就此而言一一但我们仍㠻望将其视为拓扑空 间。这意味着我们需要一种方法来决定是否 $X$ 是否开放。我们允许自己在如何做到这一点上有灵活性,但我们 要求我们之前看到的开集的某些自然属性仍然成立。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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