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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Fundamental Theorem of Algebra

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Fundamental Theorem of Algebra

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Complex Numbers. We begin with a quick review of some facts about complex numbers. Complex numbers are numbers of the form $z=x+i y$, where $x, y \in \mathbb{R}$ and $i$ satisfies $i^2=-1$. In other words, $i$ and also $-i$ are roots of the polynomial $p(z)=z^2+1$

  • We can add two complex numbers: $\left(x_1+i y_1\right)+\left(x_2+i y_2\right)=\left(x_1+x_2\right)+i\left(y_1+\right.$ $\left.y_2\right)$.
  • We can multiply a complex number by a real number: $c(x+i y)=c x+i c y$.
    Thus, in this respect, complex numbers behave just like points in $\mathbb{R}^2$ – the complex number $x+i y$ becomes the point $(x, y)$ and now addition and real number multiplication of complex numbers become vector addition and scalar multiplication in $\mathbb{R}^2$
  • We can also multiply one complex number by another. The product $\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2+\right.$ $i y_2$ ) is found by fully multiplying these two brackets out, and replacing $i^2$ by -1 when it occurs. The answer is $\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(y_1 x_2+y_2 x_1\right)$.

In $\mathbb{R}^2$, we can use polar coordinates to represent points. We represent $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ by its distance from the origin $r=\sqrt{x^2+y^2}$, and the angle $\theta$ made by the line connecting $(x, y)$ to $(0,0)$, so that $\tan (\theta)=y / x$. Now $(x, y)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta))$. We can thus also use polar coordinates to describe complex numbers.

  • The length of a complex number $z=x+i y$ is denoted $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
  • The polar angle of $z$ is denoted $\arg (z)$, and $\tan (\arg (z))=y / x$.
  • Now $z=|z|(\cos (\arg (z))+i \sin (\arg (z)))$.
  • De Moivre’s Theorem states that $(\cos (\theta)+i \sin (\theta))^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)$. This formula can be proven easily by induction on $n$, using the angle-sum formulae for cosine and sine. It follows that $z^n=|z|^n(\cos (n \arg (z))+i \sin (n \arg (z)))$.
  • We therefore define $e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$, because it has the analogous property $\left(e^{i \theta}\right)^n=e^{i n \theta}$. (There’s more to this, but we won’t get into it here.)
  • Note that $\left|e^{i \theta}\right|=1$ and that as $\theta \in[0,2 \pi]$ advances, the curve $\alpha(\theta)=e^{i \theta}$ traces out the unit circle in $\mathbb{C}$ when it is viewed as $\mathbb{R}^2$.
  • As a consequence, the curve $\gamma(\theta)=e^{i n \theta}$ traces out $n$ windings of the unit circle for $\theta \in[0,2 \pi]$.

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The Borsuk-Ulam Theorem. The Borsuk-Ulam Theorem is a classical result in topology that asserts the existence of a special kind of point (the solution of an equation) based on very minimal assumptions!

Theorem 11.3 (Borsuk-Ulam) Suppose $f: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ is a continuous function from the sphere to the plane. Then there exists $x \in \mathbb{S}^2$ so that $f(x)=f(-x)$.

Therefore, no matter the function, there exist two antipodal points on the sphere with identical function values. A surprising, silly application of this theorem (which everyone is contractually obligated to mention when first discussing the BorsukUlam Theorem) is that there exists a pair of antipodal points on the surface of the Earth (or a perfectly spherical version of the Earth, at least, so that we can define antipodes) where the temperature and atmospheric pressure are exactly the same.
Proof Suppose the Borsuk-Ulam Theorem is false. Define a new function $\widehat{f}: \mathbb{S}^2 \rightarrow$ $\mathbb{R}^2$ by $\widehat{f}(x):=f(x)-f(-x)$, which by our assumption on the falsehood of the Borsuk-Ulam Theorem is actually a function $\widehat{f}: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)}$. Note that $\widehat{f}$ is an odd function because $\widehat{f}(-x)=-\widehat{f}(x)$. Next, let $\alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{S}^2$ be the curve that winds once around the equator, i.e. $\alpha(s):=(\cos (s), \sin (s), 0)$. The curve $\widehat{f} \circ \alpha$ : $[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)}$ now winds a certain number of times around the origin $(0,0)$; this number is $\operatorname{deg}_{(0,0)}(\widehat{f} \circ \alpha)$. This number has to be zero because we can easily construct a homotopy of the curve $\alpha$ to a point by sliding it upwards to the north pole of $\mathbb{S}^2$. Hence this homotopy must also allow the curve $\widehat{f} \circ \alpha$ to shrink continuously to a point inside $\mathbb{R}^2 \backslash{(0,0)}$. Consequently, the degree of the curve $\widehat{f} \circ \alpha$, as defined in Chapter 10, is zero.

We can now reach a contradiction, because we can actually show that the degree of $\widehat{f} \circ \alpha$ has to be an odd number. This is due to the following calculation:
$$
\begin{aligned}
\widehat{f} \circ \alpha(s+\pi) & =\widehat{f}(\cos (s+\pi), \sin (s+\pi), 0) \
& =\widehat{f}(-\cos (s),-\sin (s), 0) \
& =-\widehat{f}(\cos (s), \sin (s), 0) \
& =-\widehat{f} \circ \alpha(s) .
\end{aligned}
$$

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拓扑学代写

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复数。我们首先快速回顾一些关于复数的事实。复数是形式的数字 $z=x+i y$ ,在哪 里 $x, y \in \mathbb{R}$ 和 $i$ 满足 $i^2=-1$. 换句话说, $i$ 并且 $-i$ 是多项式的根 $p(z)=z^2+1$

  • 我们可以添加两个复数:
    $$
    \left(x_1+i y_1\right)+\left(x_2+i y_2\right)=\left(x_1+x_2\right)+i\left(y_1+y_2\right) .
    $$
  • 我们可以将一个复数乘以一个实数: $c(x+i y)=c x+i c y$.
    因此,在这方面,复数的行为就像中的点 $\mathbb{R}^2-$ 复数 $x+i y$ 成为重点 $(x, y)$ 现在 复数的加法和实数乘法变成了向量加法和标量乘法 $\mathbb{R}^2$
  • 我们还可以将一个复数乘以另一个。产品 $\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2+i y_2\right)$ 是通过将这两 个括号完全相乘并替换 $i^2$ 发生时减 -1 。答案是
    $$
    \left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(y_1 x_2+y_2 x_1\right) \text {. }
    $$
    在 $\mathbb{R}^2$ ,我们可以用极坐标来表示点。我们代表 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 通过它到原点的距离 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ,和角度 $\theta$ 由连接线制成 $(x, y)$ 到 $(0,0)$ ,以便 $\tan (\theta)=y / x$. 现在 $(x, y)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta))$. 因此,我们也可以使用极坐标来描述复数。
  • 复数的长度 $z=x+i y$ 表示为 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
  • 的极角 $z$ 表示为 $\arg (z)$ , 和 $\tan (\arg (z))=y / x$.
  • 现在 $z=|z|(\cos (\arg (z))+i \sin (\arg (z)))$.
  • De Moivre 定理指出 $(\cos (\theta)+i \sin (\theta))^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)$. 这个公 式可以很容易地通过归纳证明 $n$ ,使用余弦和正弦的角和公式。它遵循 $z^n=|z|^n(\cos (n \arg (z))+i \sin (n \arg (z)))$.
  • 因此我们定义 $e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$ ,因为它具有类似的属性 $\left(e^{i \theta}\right)^n=e^{i n \theta}$. (还有更多内容,但我们不会在这里讨论。)
  • 注意 $\left|e^{i \theta}\right|=1$ 那作为 $\theta \in[0,2 \pi]$ 进步,曲线 $\alpha(\theta)=e^{i \theta}$ 追踪出单位圆 $C$ 当它 被视为 $\mathbb{R}^2$.
  • 因此,曲线 $\gamma(\theta)=e^{i n \theta}$ 查出 $n$ 单位圆的绕组为 $\theta \in[0,2 \pi]$.

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Borsuk-Ulam 定理。Borsuk-Ulam 定理是拓扑学中的经典结果,它基于非常小的假 设断言存在一种特殊的点 (方程的解) !
定理 11.3 (Borsuk-Ulam) 假设 $f: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是从球面到平面的连续函数。那么存在 $x \in \mathbb{S}^2$ 以便 $f(x)=f(-x)$.
因此,无论函数如何,球面上都存在两个函数值相同的对映点。这个定理的一个令人惊 讶的、愚螹的应用 (每个人在第一次讨论 BorsukUlam 定理时根据合同有义务提及) 是地球表面存在一对对映点 (或者至少是一个完美的球形地球),这样我们就可以定义 温度和大气压力完全相同的对映体。
证明假设 Borsuk-Ulam 定理是错误的。定义一个新函数 $\widehat{f}: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 经过 $\widehat{f}(x):=f(x)-f(-x)$ ,根据我们对 Borsuk-Ulam 定理的错误假设,它实际上 是一个函数 $\widehat{f}: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \backslash(0,0)$. 注意 $\widehat{f}$ 是奇函数,因为 $\widehat{f}(-x)=-\widehat{f}(x)$. 接下 来,让 $\alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{S}^2$ 是绕赤道一周的曲线,即 $\alpha(s):=(\cos (s), \sin (s), 0)$. 曲 线 $\widehat{f} \circ \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^2 \backslash(0,0)$ 现在围绕原点缠绕一定次数 $(0,0)$; 这个数字是 $\operatorname{deg}_{(0,0)}(\widehat{f} \circ \alpha)$. 这个数字必须为零,因为我们可以很容易地构造曲线的同伦 $\alpha$ 通过将 其向上滑动到北极点 $\mathbb{S}^2$. 因此这个同伦也必须允许曲线 $\widehat{f} \circ \alpha$ 不断缩小到里面的一点 $\mathbb{R}^2 \backslash(0,0)$. 因此,曲线的度数 $\widehat{f} \circ \alpha$ ,如第 10 章所定义,为零。
我们现在可以得出一个矛盾,因为我们实际上可以证明 $\widehat{f} \circ \alpha$ 必须是奇数。这是由于以 下计算:
$$
\widehat{f} \circ \alpha(s+\pi)=\widehat{f}(\cos (s+\pi), \sin (s+\pi), 0) \quad=\widehat{f}(-\cos (s),-\sin (s), 0)=-\widehat{f}(\cos (s), \sin (s), 0)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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