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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|The Hahn–Banach theorem

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|The Hahn–Banach theorem

Among the affine subspaces we will pay attention to the hyperplanes, those of codimension 1 , which means that they are defined by a single equation $\xi(x)=c$, where $\xi$ is a nonzero linear form on the vector space. Other important sets are the half-spaces, which are defined by an inequality $\xi(x) \geqslant c$ or $\xi(x)>c$.

A topological vector space is a vector space $E$ equipped with a topology such that both addition
$$E \times E \ni(x, y) \mapsto x+y \in E$$
and multiplication by scalars
$$\mathbf{C} \times E \ni(t, x) \mapsto t x \in E$$
are continuous.
After having restricted some variables, we see that all translations $x \mapsto x+a$ are continuous as well as all mappings $t \mapsto t a$ for a fixed a. The latter property implies that the inverse image of an open set in $E$ under the mapping $t \mapsto t a$ is open for the usual topology in $\mathbf{C}$. Similarly of the field of scalars is $\mathbf{R}$.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Supporting hyperplanes

Definition 9.2.9. Given any set $A$ in a topological vector space $E$, a supporting hyperplane is a hyperplane $Y$ such that $A$ is contained in one of the closed half-spaces defined by $Y$ and such that the closure of A meets $Y$.

Theorem 9.2.10 Let $A$ be a convex subset of a topological vector space $E$ with $\emptyset \neq A \neq E$ and let a be any boundary point of $A$. Then there exists a supporting hyperplane of $A$ passing through a.

Proof In view of the Hahn-Banach theorem, there is a closed hyperplane $Y$ that passes through $a$ and such that $A$ is in one of the closed half-spaces defined by $Y$.

A set $A$ in a topological vector space is said to be bounded if for any neighborhood $U$ of the origin there exists a number $\lambda_0$ such that $\lambda U$ contains $A$ for all $\lambda$ with $|\lambda| \geqslant \lambda_0$.

Corollary 9.2.11 Let $A$ be a bounded nonempty subset of a topological vector space and let a be any boundary point of $\operatorname{cvxh}(A)$. Then there exists a supporting hyperplane of $A$ passing through a.

Proof We apply the theorem to $\mathbf{c} \mathbf{v x h}(A)$. A supporting hyperplane of $\mathbf{c v x h}(A)$ must also be a supporting hyperplane of $A$.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|The Hahn–Banach theorem

$$E \times E \ni(x, y) \mapsto x+y \in E$$

$$\mathbf{C} \times E \ni(t, x) \mapsto t x \in E$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。