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物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|CURVED SURFACES

如果你也在 怎样代写广义相对论General Relativity 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。广义相对论General Relativity又称广义相对论和爱因斯坦引力理论,是爱因斯坦在1915年发表的引力几何理论,是目前现代物理学中对引力的描述。广义相对论概括了狭义相对论并完善了牛顿的万有引力定律,将引力统一描述为空间和时间或四维时空的几何属性。特别是,时空的曲率与任何物质和辐射的能量和动量直接相关。这种关系是由爱因斯坦场方程规定的,这是一个二阶偏微分方程系统。

广义相对论General Relativity描述经典引力的牛顿万有引力定律,可以看作是广义相对论对静止质量分布周围几乎平坦的时空几何的预测。然而,广义相对论的一些预言却超出了经典物理学中牛顿的万有引力定律。这些预言涉及时间的流逝、空间的几何、自由落体的运动和光的传播,包括引力时间膨胀、引力透镜、光的引力红移、夏皮罗时间延迟和奇点/黑洞。到目前为止,对广义相对论的所有测试都被证明与该理论一致。广义相对论的时间相关解使我们能够谈论宇宙的历史,并为宇宙学提供了现代框架,从而导致了大爆炸和宇宙微波背景辐射的发现。尽管引入了一些替代理论,广义相对论仍然是与实验数据一致的最简单的理论。然而,广义相对论与量子物理学定律的协调仍然是一个问题,因为缺乏一个自洽的量子引力理论;以及引力如何与三种非引力–强、弱和电磁力统一起来。

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物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|CURVED SURFACES

物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|CURVED SURFACES

Gauss’ brilliant realisation is that there are two distinct ways in which a surface can be curved: it can have ‘extrinsic’ or ‘intrinsic’ curvature. Understanding this distinction is the basis for understanding general relativity.

Extrinsic curvature is simple: we say that a $2 \mathrm{~d}$ surface immersed in $3 \mathrm{~d}$ Euclidean space has extrinsic curvature if it is not (a portion of) a $2 \mathrm{~d}$ plane. The definition of intrinsic curvature, on the other hand, is Gauss’ stroke of genius.

Intrinsically flat surfaces
Imagine a flat sheet of paper, which can bend but not stretch, with some geometrical figures drawn on it (see Figure 3.1, first panel). These obey two-dimensional Euclidean geometry. Imagine bending the paper (Figure 3.1, second panel). When we bend the paper, a straight segment drawn on the paper becomes bent, but it is still the shortest among all the lines between its extremes that can be drawn on the surface. Call the shortest line on the surface between two given points ‘(intrinsically) straight’, and call its length the ‘(intrinsic) distance’ between its extremes. Obviously these ‘(intrinsically) straight lines’ and the ‘(intrinsic) distances’ between the points on the bent sheet satisfy the same properties as the straight lines and the distances on a 2 d plane.

For instance, imagine a triangle drawn on the paper. Neither the length of its sides nor the amplitude of its angles changes when bending the paper. Therefore, the triangle drawn on the bent paper satisfies the standard properties of $2 \mathrm{~d}$ Euclidean triangles: if one angle is straight, the lengths $a, b, c$ of its sides satisfy Pythagoras’ theorem $a^2+b^2=c^2$; the sum of the three angles is $\pi(\mathrm{rad})$. Similarly, a circle drawn on the paper (the set of points at equal intrinsic distance $r$ from a central point) has a perimeter $p$ that still satisfies $p=2 \pi r$ when drawn on the paper. And so on: standard Euclidean geometry holds.

Let’s put it visually: if you were a small ant moving on the bent paper and capable of measuring angles and lengths of lines on the surface, but incapable of looking ‘outside’ the paper, you would not be able to figure out that you are on a surface that is not a plane. The two-dimensional geometry defined by the length of the intrinsically straight lines is the same geometry as the geometry of a plane. This geometry is called ‘intrinsic geometry’. Hence we say that ‘the intrinsic geometry of the bent sheet of paper is flat’, even if the paper itself is actually curved.

物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|Intrinsically curved surfaces

What is described above, however, is not true for generic curved surfaces. Consider, for instance, a sphere of unit radius. The intrinsic geometry defined by the length of the lines drawn on the sphere itself is not the geometry of a plane.

Given two points on the sphere, the shortest line on the sphere connecting them is a portion of a maximal circle. These are the ‘intrinsically straight’ segments on the sphere. Take the North Pole of the sphere and two points on the equator at one quarter of the equator length from one another. These define a triangle, formed by a portion of the equator and two meridians. It is evident immediately that the sum of the angles of this triangle is not $\pi$ but $\frac{3}{2} \pi$ ! Similarly, the equator is a circle or length $p=2 \pi$ at intrinsic distance $r=\pi / 2$ from the North Pole, hence it does not satisfy $p=2 \pi r$, but rather $p=4 r$

Thus, straight lines on the sphere define an intrinsic geometry which is different from the geometry of the $2 d$ plane. If you were a small ant moving on the sphere, capable of measuring lengths of lines on the surface but incapable of looking ‘outside’ the surface, you would be able to figure out that you are not on a plane: it would suffice to measure the length $p$ of the line formed by points at a distance $r$ from a centre: if $p \neq 2 \pi r$, your intrinsic geometry is not flat. When the intrinsic geometry is not flat, we say that the surface has ‘intrinsic curvature’.

These examples illustrate the difference between extrinsic and intrinsic curvature.

The ‘intrinsic geometry’ of a surface is the geometry defined by the length of the lines lying on the surface. If this geometry is the same as that of the lines on a plane, we say that the surface is ‘intrinsically flat’, or that it has no ‘intrinsic curvature’. If instead, the geometry defined by these lines is different from the geometry of the lines on a plane, we say that the geometry is ‘intrinsically curved’, or that there is ‘intrinsic curvature’.

The importance of this intuition by Gauss is that in this manner we can talk about the curvature of a surface using only the geometry of the distances on the surface itself, with no need of looking at how the surface is embedded in a larger space. This is exactly what we shall do in general relativity.

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广义相对论代写

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高斯的绝妙发现是,曲面可以通过两种不同的方式弯曲: 它可以具有“外在”曲率或“内在“曲率。理解这种区别是 理解广义相对论的基础。
外曲率很简单: 我们说 $2 \mathrm{~d}$ 表面浸入 $3 \mathrm{~d}$ 如果欧氏空间不是 (的一部分),则它具有外曲率 $2 \mathrm{~d}$ 飞机。另一方 面,固有曲率的定义是高斯的天才之作。
本质平坦的表面
想象一张可以弯曲但不能拉伸的平面纸,上面画了一些几何图形 (见图 3.1,第一幅图) 。这些服从二维欧几里 德几何。想象一下弯曲纸张 (图 3.1,第二个面板) 。当我们弯曲纸时,画在纸上的一条直线段变弯了,但它仍 然是所有可以画在表面上的两端之间的直线中最短的。将表面上两个给定点之间的最短线称为“ (固有) 直 线”,并将其长度称为其极端之间的“ (固有) 距离”。显然,弯曲板上各点之间的这些“ (固有) 直线”和“ (固 有)距离”满足与二维平面上的直线和距离相同的属性。
例如,想象在纸上画一个三角形。弯曲纸张时,它的边长和角度幅度都不会改变。因此,在弯曲纸上绘制的三 角形满足标准属性 $2 \mathrm{~d}$ 欧几里德三角形: 如果一个角是直的,则长度 $a, b, c$ 它的边满足毕达哥拉斯定理 $a^2+b^2=c^2$; 三个角的和是 $\pi(\mathrm{rad})$. 类似地,画在纸上的圆 (固有距离相等的点集 $r$ 从一个中心点) 有一个 周长 $p$ 那仍然满足 $p=2 \pi r$ 在纸上画的时候。依此类推: 标准欧几里德几何成立。
让我们形象地说: 如果你是一只在弯曲的纸上移动的小蚂蚊,并且能够测量表面上的角度和线的长度,但不能 看”纸外面”,你就无法弄清楚你是在不是平面的表面上。由本质直线的长度定义的二维几何与平面的几何是相 同的几何。这种几何被称为“内在几何”。因此我们说“弯曲纸张的内在几何形状是平坦的”,即使纸张本身实际上 是弯曲的。

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然而,上述内容不适用于一般曲面。例如,考虑一个单位半径的球体。由在球体上绘制的线的长度定义的内在 几何不是平面的几何。
给定球体上的两个点,球体上连接它们的最短线是最大圆的一部分。这些是球体上的“本质上直的”部分。取球 体的北极和赤道上彼此相距四分之一赤道长度的两个点。这些定义了一个三角形,由赤道的一部分和两条子午 线形成。很明显,这个三角形的内角和不是 $\pi$ 但 $\frac{3}{2} \pi$ ! 同样,赤道是一个圆或长度 $p=2 \pi$ 固有距离 $r=\pi / 2$ 来 自北极,因此不满足 $p=2 \pi r$ ,反而 $p=4 r$
因此,球体上的直线定义了一个内在的几何形状,它不同于球体的几何形状 $2 d 飞$ 机。如果你是一只在球体上移 动的小蚂蚁,能够测量表面上的线的长度但不能看到表面“外面”,你将能够弄清楚你不在一个平面上:测量就 足够了长度 $p$ 由远处的点组成的线 $r$ 从一个中心: 如果 $p \neq 2 \pi r$ ,您的固有几何形状不平坦。当固有几何形状不 平坦时,我们说表面具有“固有曲率”。
这些示例说明了外在曲率和内在曲率之间的区别。
表面的“固有几何”是由位于表面上的线的长度定义的几何。如果这个几何形状与平面上的直线相同,我们就说 这个表面是“本质上平坦的”,或者说它没有“固有曲率”。相反,如果这些线定义的几何与平面上线的几何不同, 我们就说该几何是“固有弯曲的”,或者说存在“固有曲率”。
高斯的这种直觉的重要性在于,通过这种方式,我们可以仅使用表面本身距离的几何学来讨论表面的曲率,而 无需查看表面如何嵌入更大的空间。这正是我们在广义相对论中要做的。

物理代写|广义相对论代写General Relativity代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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