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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Existence of Radius of Convergence

如果你也在 怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中,实分析是数学分析的一个分支,研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。

实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如,将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间,将实分析与一般拓扑学领域联系起来,而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物,导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念,以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究,最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Existence of Radius of Convergence

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Existence of Radius of Convergence

We consider the sequence $S=\left(\left|a_1\right|, \sqrt{\left|a_2\right|}, \sqrt[3]{\left|a_3\right|}, \sqrt[4]{\left|a_4\right|}, \ldots\right)$. If this sequence is unbounded, then for every $x \neq 0$, the sequence $\left(\left|a_1\right||x|, \sqrt{\left|a_2\right|}|x|, \sqrt[3]{\left|a_3\right|}|x|, \sqrt[4]{\left|a_4\right|}|x|, \ldots\right)$ is also unbounded. By the root test (Theorem 4.9), the power series diverges at every value of $x$ other than $x=0$. In this case, the radius of convergence is zero. If $S$ is bounded, then $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ will always be well defined and greater than or equal to zero. It still remains for us to prove that $R=1 / \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ is a radius of convergence.

Theorem 4.14 (Existence of Radius of Convergence). Let $a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ be an arbitrary power series and define
$$
R=\frac{1}{\overline{\lim }{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}} $$ This series converges absolutely for $|x|R$. The power series converges at all values of $x$ when $\overline{\lim }{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=0$, and it converges only at $x=0$ when the upper limit is infinite.

Proof: Let $\lambda=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$. If $|x|<1 / \lambda$, then we can find an $\alpha$ just a little less than 1 and an $\epsilon$ just a little larger than zero so that we still have $$ |x|<\frac{\alpha}{\lambda+\epsilon} . $$ It follows that $$ \sqrt[n]{\left|a_n x^n\right|}=\sqrt[n]{\left|a_n\right|}|x|<\frac{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}{\lambda+\epsilon} \alpha . $$ By the definition of $\lambda$ as the upper limit of $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$, this last term is strictly less than $\alpha$ for all sufficiently large values of $n$. The root test, Theorem 4.9 , tells us that the series converges absolutely. If $|x|>1 / \lambda$, then we can find an $\epsilon$ just a little larger than zero so that we still have
$$
|x|>\frac{1}{\lambda-\epsilon} .
$$
It follows that
$$
\sqrt[n]{\left|a_n x^n\right|}=\sqrt[n]{\left|a_n\right|}|x|>\frac{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}{\lambda-\epsilon}
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Hypergeometric Series

What happens when $|x|$ equals the radius of convergence? The series might converge at both endpoints, diverge at both, or converge at only one of these values. If it converges at both, the convergence might be absolute or conditional. There is no single test that will return a conclusive answer for all power series, but in 1812 Carl Friedrich Gauss did publish a test that determines the convergence at the endpoints for every power series you are likely to encounter outside of a course in real analysis. It is a definitive test that works when the power series is hypergeometric.
The easiest infinite series with which to work is the geometric series,
$$
1+x+x^2+x^3+\cdots .
$$

It converges to $1 /(1-x)$ when $|x|<1$, and it diverges when $|x| \geq 1$. In the seventeenth and eighteenth centuries, mathematicians began to appreciate a larger class of series that was almost as nice, the hypergeometric series. A geometric series is characterized by the fact that the ratio of two successive summands is constant. In a hypergeometric series, the ratio of two succesive nonzero summands is a rational function of the subscript.
Definition: hypergeometric series
A series $a_1+a_2+a_3+\cdots$ is hypergeometric if
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{P(n)}{Q(n)}
$$
where $P(n)$ and $Q(n)$ are polynomials in $n$.
For example, the exponential series is hypergeometric:
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{x^n / n !}{x^{n-1} /(n-1) !}=\frac{x}{n} .
$$
The numerator is the constant $x$ (constant with respect to $n$ ), and the denominator is the linear function $n$. The series for $\sin x$ is also hypergeometric:
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(-1)^n x^{2 n+1} /(2 n+1) !}{(-1)^{n-1} x^{2 n-1} /(2 n-1) !}=\frac{-x^2}{(2 n)(2 n+1)}
$$

.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Existence of Radius of Convergence

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Existence of Radius of Convergence

我们考虚顺序 $S=\left(\left|a_1\right|, \sqrt{\left|a_2\right|}, \sqrt[3]{\left|a_3\right|}, \sqrt[4]{\left|a_4\right|}, \ldots\right)$. 如果这个序列是无界的,那 $\angle$ 对于每个 $x \neq 0$ ,序列 $\left(\left|a_1\right||x|, \sqrt{\mid a_2}|x|, \sqrt[3]{\left|a_3\right|}|x|, \sqrt[4]{\left|a_4\right|}|x|, \ldots\right)$ 也是无界的。通过根检验 (定理 4.9),暮级数在每个值处发散 $x$ 以外 $x=0$. $R=1 / \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ 是收敛半径。
定理 4.14 (收敛半径的存在性)。让 $a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 是任意荀级数并定义
$$
R=\frac{1}{\overline{\lim } n \rightarrow \infty \sqrt[n]{\left|a_n\right|}}
$$
这个系列绝对收玫于 $|x| R$. 冥级数收敛于所有值 $x$ 什么时候 $\varlimsup i m n \rightarrow \infty \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=0$ ,它只收敛于 $x=0$ 当上限为无限时。
证明: 让 $\lambda=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ 如果 $|x|<1 / \lambda$ ,那么我们可以找到一个 $\alpha$ 略小于 1 和 $\mathrm{an} \in$ 只比零大一点,所以我们仍然有 $$ |x|<\frac{\alpha}{\lambda+\epsilon} \text {. } $$ 它遭循 $$ \sqrt[n]{\left|a_n x^n\right|}=\sqrt[n]{\left|a_n\right||x|}<\frac{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}{\lambda+\epsilon} \alpha . $$ 根据定义 $\lambda$ 作为上限 $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$, 这最后一项严格小于 $\alpha$ 对于所有足够大的值 $n$. 根检验定理 4.9 告诉我们级数绝对收玫。如果 $|x|>1 / \lambda$ ,那么我们可以找到一个只比零大一点,所以我们们然有
$$
|x|>\frac{1}{\lambda-\epsilon}
$$
它莮循
$$
\sqrt[n]{\left|a_n x^n\right|}=\sqrt[n]{\left|a_n\right|} x \mid>\frac{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}{\lambda-\epsilon}
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Hypergeometric Series

什么时候发生 $|x|$ 等于收敛半径? 该系列可能会在两个端点收敛,在两个端点发散,或仅在这些值中的一个收 敛。如果它收敛于两者,则收敛可能是绝对的或有条件的。没有单一的测试可以为所有幂级数返回决定性答 案,但在 1812 年,卡尔.弗里德里害·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 确实发布了一个测试,可以确定您在实分析 课程之外可能遇到的每个幂级数的端点处的收玫性。当幂级数是超几何时,它是一个确定的测试。 最简单的无穷级数是几何级数,
$$
1+x+x^2+x^3+\cdots
$$
它收敛于 $1 /(1-x)$ 什么时候 $|x|<1$ ,它发散时 $|x| \geq 1$. 在 17 世纪和 18 世纪,数学家们开始欣赏更大范围的 级数,它们几乎同样漂亮,即超几何级数。几何级数的特点是两个连续的被加数之比是常数。在超几何级数 中,两个连续的非雺加数之比是下标的有理函数。
定义: 超几何级数
A级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 是超几何的,如果
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{P(n)}{Q(n)}
$$
在哪里 $P(n)$ 和 $Q(n)$ 是多项式 $n$.
例如,指数级数是超几何的:
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{x^n / n !}{x^{n-1} /(n-1) !}=\frac{x}{n} .
$$
分子是常数 $x$ (相对于常数 $n$ ), 分母为线性函数 $n$. 该系列为 $\sin x$ 也是超几何的:
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(-1)^n x^{2 n+1} /(2 n+1) !}{(-1)^{n-1} x^{2 n-1} /(2 n-1) !}=\frac{-x^2}{(2 n)(2 n+1)}
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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