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如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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When one begins to think on the variety of equations one tries to solve, it doesn’t take long to realize that each subject has its own objects, upon which are defined a variety of processes that you can use to manipulate them: addition on numbers, matrix multiplication on matrices, etc. But despite the apparent differences between them, they all share one fundamental property: whenever you combine two or more of the objects, you get another object of the same type: the sum of two numbers is a number, the product of two $n \times n$ matrices is another matrix, etc. Hence, that’s where we’ll start our study of abstract algebra proper.

To begin, let’s reflect on what we’re really doing when we “combine” objects. We take two objects from a set and apply some kind of rule or process to this pair of objects, and the result produces an object from that same set. Yet what we’ve described here is nothing more than a function whose domain is ordered pairs of elements from a set and whose range is contained back in that same set. This basic observation is codified in the following definition.

Definition 2.1. Let $G$ be a set. Any function, $$, whose domain is $G \times G$ is a binary operation on $G$ if and only if the range of $$ is a subset of $G$. When $$ is a binary operation on $G$, we say that $G$ is closed under $$. We denote the image of $(a, b)$ under $*$ as $a * b$. We write $\langle G, *\rangle$ to indicate that * is a binary operation on $G$, and we say that $\langle G, *\rangle$ is a binary structure.

Although a binary operation is simply a particular function, it’s probably best to review the terms about functions and how they apply to this definition. If you need, read Section A.2 in Appendix A for a refresher on the relevant terminology.
(1) If $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ cannot be undefined for any elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, then this rule isn’t defined when $c=0$, since division by zero isn’t defined.

(2) Likewise, if $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ must be welldefined for each pair of elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$, then this rule isn’t well-defined, since $\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{4}$ represent the same number, but $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1$, and $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$, which are always different.

Aside. Students often fail to appreciate the import of this example. The issue of a welldefined function always arises whenever the objects in the set have more than one description or form. The standard way to verify that a binary operation $*$ is well-defined is to take two equivalent forms of the objects in your set and prove that the result does not depend on the form of the objects. Functions dealing with rational numbers frequently fall in this category, since every rational number has infinitely many equivalent fractional forms. Hence, to check that a function $f$ is well-defined in this case, you would need to suppose that $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ and prove that $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

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When a set $G$ is small, one way to define a binary operation $*$ on $G$ is to list all of the possible combinations of $a * b$ for elements $a, b \in G$. The most convenient way to do this is to set up a table whose entries indicate the result of applying the binary operation to two elements. Specifically, we create a binary table to define a binary operation on the set $G=\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ in the following way:
1) Write the elements of $G$ in a column, then write them in a row at the top in the same order as you did in the column.
2) Fill in the corresponding $n^2$ entries with exactly one element in $G$.
3) Define the element $a_i * a_j$ to be the entry in the $i^{\text {th }}$ row and the $j^{\text {th }}$ column.
It’s also easy to verify that your table gives a rule that is both well-defined and is defined everywhere. After all, as long as every entry is filled with at least one element of $G$, then $a * b$ is defined everywhere; and as long as you don’t put more than one element from $G$ in any entry, then your rule is well-defined.

Exercise 2.9. Let $G={a, b, c}$. Suppose we define a binary operation on $G$ with the following table:
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline$*$ & $a$ & $b$ & $c$ \
\hline \hline$a$ & $a$ & $c$ & $c$ \
\hline$b$ & $b$ & $b$ & $b$ \
\hline$c$ & $a$ & $a$ & $b$ \
\hline
\end{tabular}
(So, for instance, $c * a=a$.)
(1) Compute $a * b, \quad b * a, \quad b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$, and $(c * c) * c$.
(2) Determine if the operation is commutative, associative, neither, or both.

There’s really no theory about binary tables, but there are several observations that are useful to have. First, since you can put any of the $n$ elements of $G$ into any of the $n^2$ entries, there are a total of $n^{n^2}$ possible ways to construct a binary operation on $G$. Second, checking to see if a binary table’s operation is commutative is easy: reflect the table along the “main diagonal” and compare with the original table. If they’re the same, then it’s a commutative operation; otherwise, you’ll have at least one pair of elements $a_i, a_j$ such that $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.

Associativity, on the other hand, is never easy to check by looking at the table. That’s because checking associativity deals with using the table sequentially. It also means verifying that $(a * b) * c=a *(b * c)$ for all choices of $a, b, c \in G$, which means you’ve got $n^3$ different pairs of triples to compare. That’s just too tedious to do by hand; a computer is almost a necessity if you need to know if your operation is associative.

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抽象代数代写

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当一个人开始思考试图求解的各种方程式时,很快就会意识到毎个主题都有自己的对象,在这些对象上定义了可以用来操它们的 各种过程: 数字加法,矩阵乘法等。尽管它们之间存在明显差异,但它们都具有一个其本属性: 无论何时组合两个或多个对彖,都 会得到另一个相同类型的对象:两个数字的总和是一个数字,两个的乘积 $n \times n$ 矩阵是另一个矩阵,等等。因此,这就是我们开始 研究抽象代数的地方。
首先,让我们反思一下当我们”组合”对象时我们实际上在做什么。我们从一组中取出两个对彖,并将某种规则或过程应用于这对对 象,结果从同一组中生成一个对彖。然而,我们在这里描述的只不过是一个函数,它的域是一个集合中有序的元䋤对,并且它的范 围包含在同一个集合中。这一基本观察被編入以下定义。
定义 2.1。让 $G$ 是一个集合。任何功能,
, whosedomainis $\$ G \times G$ \$isabinaryoperationon $\$ G \$$ fandonlyiftherangeof
是一个子集 $G$. 什么时候
isabinaryoperationon $\$ G \$$, wesaythat $\$ G$ sclosedunder
. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面*作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, *\rangle$ 表示 * 是对的二元运算 $G$ ,我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制结构。

. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面 $*$ 作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, \rangle$ 表示 $$ 是对的二元运算 $G$ ,我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制姞构。
尽管二元运算只是一个特定的函数,但最好还是复习一下有关函数的术语以及它们如何应用于此定义。如果需要,请阅渎附录 $A$ 中的 A.2节以复习相关术语。 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, 则此规则末定义时 $c=0$, 因为末定义被零除。
(2) 同样,如果 $*$ 是对集合的二元运算 $G$ ,那 $/$ 元䋤 $a * b$ 必须为每对元表明确定义 $a, b \in G$. 例如,如果我们让 $G=\mathbb{Q}$ 并定义 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$ ,那么这个规则没有明确定义,因为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{4}$ 代表相同的数字,但 $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1 ,$ 和 $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$ ,它们总 是不同的。
在旁边。学生们常常无法理解这个例子的重要性。每当集合中的对象具有不止一种描述或形式时,总会出现定义良好的函数问题。 验证二元运算的标准方法*定义明确的是取集合中对象的两种等价形式,并证明结果不依赖于对象的形式。处理有理数的函数经常 属于这一类,因为每个有理数都陏无限多个等价的小数形式。因此,要检龺一个函数 $f$ 在这种情况下是明确定义的,您需要假设 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 并证明 $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

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当一镸 $G$ 很小,一种定义二元运算的方法*在 $G$ 是列出所有可能的组合 $a * b$ 对于元素 $a, b \in G$. 最方便的方法是建立一个表,表中
的条目表示将二元运算应用于两个元表的结果。具体来说,我们创建一个二进制表来定义集合上的二进制操作
$G=\backslash$ left{a_l, \Idots, a_n right $}$ 以下列方式:
1) 编写元責 $G$ 在一列中,然后按照与在该列中相同的顺序将它们写在顶部的一行中。
2) 填写相应的 $n^2$ 条目中只有一个元綘 $G$.
3) 定义元莍 $a_i * a_j$ 成为 $i^{\text {th }}$ 行和 ${ }^{\text {th }}$ 柱子。
也很容易验证您的表给出的规则是否定义明确且在任何地方都陏定义。毕竟只要每一个entry都至少填充了一个元䋤 $G ,$ 然后 $a * b$ 到处都有定义; 只要你不放一个以上的元䋤 $G$ 在任何条目中,那么您的规则定义明确。
练习2.9。让 $G=a, b, c$ 假设我们定义一个二元运算 $G$ 与下表:
(所以,例如, $c * a=a$.)
(1) 计算 $a * b, b * a, b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$ ,和 $(c * c) * c$.
(2) 确定运算是可交换的、结合的、两者都不是,还是两者都是。
确实没有关于二进制表的理论,但有一些有用的观䕓结果。首先,因为你可以把任何 $n$ 要点 $G$ 进入任何一个 $n^2$ 条目,共有 $n^{n^2}$ 构造
二元运算的可能方法 $G$. 其次,检龺二进制表的操作是否可交换很容易: 沿“主对角线”反映该表并与原始表进行比较。如果它们相
同,那么这是一个交换㨐作; 否则,您将至少有一对元䋘 $a_i, a_j$ 伩样 $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.
另一方面,结合性从来都不容易通过查看表格来检龺。那是因为检龺关联性涉及按顺序使用表格。这也意味着验证
$(a * b) * c=a *(b * c)$ 对于所有的选择 $a, b, c \in G$ ,这意味着你有 $n^3$ 要比较的不同对的三元组。手工操作太乏味了;如果您
需要知道您的操作是否具有关联性, 那么计算机几乎是必不可少的。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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