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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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To begin our second part of our survey of group theory, consider the following two functions: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ given by $\phi(x)=x$, and the function $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ given by $\psi(x)=r$, where $r$ is the remainder of $x$ divided by $n$. Neither map is an isomorphism, since $\phi$ is not surjective and $\psi$ is not injective. Yet despite this fact, the maps do preserve the group structure of the domain; that is, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ and $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (this latter fact is tedious to check, but true nonetheless). Hence, while neither map matches the two groups up perfectly, they at least relate the group structures faithfully. Consequently, we’ll define such maps precisely and turn our attention to their properties.

Definition 6.1. Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups. A function $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ is a (group) homomorphism from $G$ to $G^{\prime}$ if and only if $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in G$.

Notice then that an isomorphism is simply a bijective homomorphism. It’s worthwhile to see what properties of isomorphisms still hold even when the homomorphism isn’t bijective.
Theorem 6.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a group homomorphism and let $H<G$.
(1) The image of the identity of $G$ under $\phi$ is the identity of $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ for all $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ for all $g \in G$ and integers $n$.
(4) If $g \in G$ has finite order, then $\phi(g)$ has finite order and is a divisor of the order of $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) If $H$ is abelian, then $\phi(H)$ is abelian.
(7) If $A \subset H$ generates $H$, then $\phi(A)$ generates $\phi(H)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroups

Theorem 6.10 gives us the opportunity to do something truly innovative. Recall that an isomorphism matched elements from two groups in such a way that the operations on the two groups also matched. A homomorphism still matches the operation, but the function need not be bijective, so individual elements aren’t always matched up perfectly. However, we just saw that it’s not the individual elements that are matched up: it’s the cosets of the kernel that are matched with elements of $G^{\prime}$. Does that mean that, somehow, we can put a group operation on cosets? What would that even mean?
Let’s first play with the kernel $K$ of a group homomorphism $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. If we pick two elements $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ and take their inverse images, we’ll get two cosets $a K$ and $b K$, where $\phi(a)=a^{\prime}$ and $\phi(b)=b^{\prime}$. On the other hand, if we take the inverse image of the product $a^{\prime} b^{\prime}$, we’ll get some coset $c K$, where $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. But wait: since $\phi$ is a homomorphism, we know that $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. Thus, we can choose $c=a b$. It therefore makes sense that we would want to say something like, “Define the product of cosets by $a K \cdot b K=(a b) K$.” Will this always work?

Let’s begin with a group $G$ and an arbitrary subgroup $H<G$. What we’re going to attempt is to define an operation on the set $G / H$ of left cosets of $H$ in $G$. The previous paragraph gives us what looks like the natural binary operation to use: given two left cosets $a H, b H \in G / H$, define
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
But any time we define a function on cosets – and a binary operation is a function – we have to prove that the function is well-defined. This is now our first crucial theorem.
Theorem 6.11. Let $G$ be a group and $H<G$. Then the binary operation on $G / H$ given by $(a H)(b H)=(a b) H$ is well defined if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$.

In other words, this operation makes sense – and only makes sense – when the left and right cosets of $H$ in $G$ are the same. These subgroups form the backbone of much of group theory.

Definition 6.12. Let $G$ be a group and $H<G$. The subgroup $H$ is a normal subgroup of $G$ if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, we write $H<G$.

Using this definition, the operation $(a H)(b H)=(a b) H$ is well-defined if and only if $H$ is a normal subgroup of $G$. Let’s now verify that $G / H$ is a group under this operation when $H$ is a normal subgroup of $G$.

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抽象代数代写

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开始我们的群论调查的第二部分,考虑以下两个函数: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 由 $\phi(x)=x$, 和功能 $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ 由 $\psi(x)=r \mathrm{~ , 在 哪 里 ~} r$ 是剩下的 $x$ 除以 $n$. 两个映射都不是同构的,因为 $\phi$ 不是满射的并且 $\psi$ 不是单射的。尽管如 此,地图确实保留了域的组结构;那是, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ 和 $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (后一 个事实很难检查,但仍然是事实)。因此,虽然两张地图都无法完美匹配这两个群体,但它们至少忠实地关联 了群体结构。因此,我们将精确定义此类地图并将注意力转移到它们的属性上。
定义 6.1。让 $G$ 和 $G^{\prime}$ 成为团体。一个功能 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个 (群) 同态来自 $G^{\text {到 }} G^{\prime}$ 当且仅当 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对全部 $a, b \in G$.
请注意,同构只是双射同态。值得一看的是,即使同态不是双射的,同构的哪些性质仍然成立。 定理 6.2。让 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态并且让 $H<G$.
(一)身份形象 $G$ 在下面 $\phi$ 是的身份 $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ 对全部 $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ 对全部 $g \in G$ 和整数 $n$.
(4) 如果 $g \in G$ 有有限阶,那么 $\phi(g)$ 具有有限阶并且是阶的除数 $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) 如果 $H$ 是交换矩阵,那么 $\phi(H)$ 是阿贝尔的。
(7) 如果 $A \subset H$ 产生 $H$ ,然后 $\phi(A)$ 产生 $\phi(H)$.

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定理 6.10 让我们有机会做一些真正创新的事情。回想一下,同构以这样的方式匹配来自两个组的元淸,使得对 两个组的操作也匹配。同态仍然匹配操作,但函数不必是双射的,因此单个元素并不总是完美匹配。然而,我 们刚刚看到,匹配的不是单个元龶:匹配的是核的陪集 $G^{\prime}$. 这是否意味看我们可以以某种方式对陪集进行群操 作? 这甚至意味着什么?
让我们先玩一下内核 $K$ 群同态 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. 如果我们选择两个元素 $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ 并拍摄他们的反像,我们会得 到两个陪集 $a K$ 和 $b K$ ,在哪里 $\phi(a)=a^{\prime}$ 和 $\phi(b)=b^{\prime}$. 另一方面,如果我们取产品的反像 $a^{\prime} b^{\prime}$ ,我们会得到 一些陪集 $c K$ ,在哪里 $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. 但是等等: 因为 $\phi$ 是同态的,我们知道 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. 这 样,我们可以选择 $c=a b$. 因此,我们想说这样的话是有道理的,“定义陪集的乘积 $a K \cdot b K=(a b) K^{\prime \prime}$ 这会 一直有效吗?
让我们从一组开始 $G$ 和任意子群 $H<G$. 我们要尝试的是在集合上定义一个操作 $G / H$ 的左陪集 $H$ 在 $G$. 上一段 给了我们使用的自然二元运算: 给定两个左陪集 $a H, b H \in G / H$ ,定义
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
但是任何时候我们在陪集上定义一个函数一一而二元运算是一个函数一一我们必须证明这个函数是明确定义的。 现在这是我们的第一个关键定理。
定理 6.11。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 然后二元运算 $G / H$ 由 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅 当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$.
换句话说,当 $H$ 在 $G$ 是相同的。这些子群构成了大部分群论的支柱。
定义 6.12。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 子群 $H$ 是正规子群 $G$ 当且仅当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$. 如果 $H$ 是 正规子群 $G$ ,我们写 $H<G$.
使用这个定义,操作 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅当 $H$ 是正规子群 $G$. 现在让我们验证一下 $G / H$ 是这个操作下的一个组,当 $H$ 是正规子群 $G$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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