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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

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As we have seen in Chapter 3 , examples of groups are quite varied: sets of numbers or matrices under addition or multiplication, sets of functions under composition, and even finite sets with a suitably constructed table are groups. However, for many of these examples, it’s not the operation that’s different, but rather only the set that changes.
Example 4.1. Consider the groups $G=\mathbb{R}$ and $H=\mathbb{Q}$. Although they are both groups in their own right, there’s a natural relationship between them: not only is $\mathbb{Q}$ a subset of $\mathbb{R}$, but their operations are identical: addition of elements of $\mathbb{Q}$ is identical to addition of those same elements in $\mathbb{R}$. When this special relationship of being both a subset and agreement on the operation occurs, we tend to think not of two different groups, but of one “large” group inside of which lies the “smaller” group as a subset.

There is a technical issue we must first raise. The binary operation of a group $\langle G, \cdot\rangle$ is a function with domain $G \times G$. Given a subset $H \subset G$, we can restrict the domain of – to $H \times H$ and see if this restricted operation – the “same” one used to define a valid operation on $G$ – yields a group (or a binary operation, at least). Hence, we need a preliminary definition to deal with this technicality.

Definition 4.2. Let $\langle G, \cdot\rangle$ be a binary structure and let $H \subset G$. Then the function $: H \times H \rightarrow G$ given by $(a, b)=a \cdot b$ is called the operation induced by $\cdot$
With this terminology, we can now define the key term precisely.
Definition 4.3. Let $G$ be a group. We say a subset $H \subset G$ is a subgroup of $G$ if and only if $H$ is a group under the operation induced by the operation on $G$. We write $H<G$ to denote that $H$ is a subgroup of $G$.

Given a group $G$, there are always two (not necessarily different) subgroups of $G$ : the group $G$ itself, and the subgroup consisting of the identity element alone. Since we’re often interested in subgroups other than those two, let’s name them for future reference.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The center of a group

All we’ve done so far is identify what subgroups are, so we might try to use them to help us understand the structure of a group. To begin, let’s see if we can use subgroups to measure how close to abelian a given group is.

Theorem 4.13. Let $G$ be a group. Then the subset $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.14. Let $G$ be a group. The subgroup $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is called the center of $G$.
Corollary 4.15. Let $G$ be a group. Then $G$ is abelian if and only if $Z(G)=G$.
Ah, an actual object that detects if a group is abelian or not. But even if a group $G$ isn’t abelian, that doesn’t mean that the center is the trivial subgroup. After all, there might be only a few elements that don’t commute. Can we use subgroups to see if an individual element commutes well?

Theorem 4.16. Let $G$ be a group and $a \in G$. Then the subset $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.17. Let $G$ be a group and $a \in G$. The subgroup $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is called the centralizer of $a$ in $G$.

This means that centralizers are objects that tell us how well individual elements commute with others in the group. In fact, you might have anticipated this next theorem.
Theorem 4.18. Let $G$ be a group. Then $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
Exercise 4.19. Find the centralizers of the elements $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 2\end{array}\right]$ and $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]$ in the group $G L_2(\mathbb{R})$. Use this to state what elements are in $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$, and justify your answer.

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抽象代数代写

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正如我们在第 3 章中看到的,群的例子是多种多样的:加法或乘法下的数集或矩阵集、组合下的函数集,甚至 具有适当构造的表的有限集都是群。但是,对于其中许多示例,不同的不是操作,而是集合发生了变化。
例 4.1。考虑群体 $G=\mathbb{R}$ 和 $H=\mathbb{Q}$. 虽然他们本身都是群体,但他们之间有一种天然的关系:不仅是 $\mathbb{Q}$ 的一个 子集 $\mathbb{R}$ ,但它们的操作是相同的: 添加元渍 $\mathbb{Q}$ 与添加那些相同的元素相同 $\mathbb{R}$. 当这种既是子集又是操作一致的特 殊关系出现时,我们往往不会想到两个不同的组,而是想到一个“大”组,其中“较小”组作为一个子集。
我们必须首先提出一个技术问题。群的二元运算 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个有定义域的函数 $G \times G$. 给定一个子集 $H \subset G$ , 我们可以将 – 的域限制为 $H \times H$ 并查看此受限操作是否与用于定义有效操作的“相同“操作 $G$ – 产生一个组 (或至少是一个二元运算) 。因此,我们需要一个初步的定义来处理这个技术问题。
定义 4.2。让 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个二元结构,让 $H \subset G$. 然后是函数: $H \times H \rightarrow G$ 由 $(a, b)=a \cdot b$ 称为由. 有了这个术语,我们现在可以精确定义关键术语。
定义 4.3。让 $G$ 成为一个团体。我们说一个子集 $H \subset G$ 是一个子群 $G$ 当且仅当 $H$ 是由操作诱导的操作下的一组 $G$. 我们写 $H<G$ 表示 $H$ 是一个子群 $G$.
给定一组 $G$ ,总有两个 (不一定不同) 的子群 $G$ :群组 $G$ 本身,以及仅由身份元素组成的子群。由于我们通常 对这两个以外的子组感兴趣,所以让我们为它们命名以供将来参考。

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到目前为止,我们所做的只是确定子群是什么,因此我们可能会尝试使用它们来帮助我们理解群的结构。首 先,让我们看看是否可以使用子群来衡量给定群与阿贝尔群的接近程度。
定理 4.13。让 $G$ 成为一个团体。然后是子集 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 是一个子群 $G$.
定义 4.14。让 $G$ 成为一个团体。子群 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 被称为中心 $G$.
推论 4.15。让 $G$ 成为一个团体。然后 $G$ 是交换的当且仅当 $Z(G)=G$.
啊,检测一个群是否是交换群的实际对象。但即使是一群 $G$ 不是阿贝尔群,这并不意味着中心是平凡子群。毕 竟,可能只有少数元龶不通勤。我们可以使用子组来龺看单个元龶是否通勒良好吗?
定理 4.16。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 然后是子集 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 是一个子群 $G$.
定义 4.17。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 子群 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 称为中心化器 $a$ 在 $G$.
这意味着中心化器是告诉我们各个元清与组中其他元嫊的交换情况的对象。事实上,您可能已经预料到下一个 定理。
定理 4.18。让 $G$ 成为一个团体。然后 $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
练习 4.19。找到元淸的中心化器 $\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{llll}3 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 在群里 $G L_2(\mathbb{R})$. 用它来说明元龶是什么 $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$ ,并证明你的答案。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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