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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Global Efficiency Bounds on Specific Problem Classes

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用,如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计(最佳实验设计)、和结构优化,其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Global Efficiency Bounds on Specific Problem Classes

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Star-Convex Functions

Let us start from a definition.
Definition 4.1.1 We call the function $f$ star-convex if its set of global minimums $X^$ is not empty and for any $x^ \in X^$ and any $x \in \mathbb{R}^n$ we have $$ f\left(\alpha x^+(1-\alpha) x\right) \leq \alpha f\left(x^*\right)+(1-\alpha) f(x) \quad \forall x \in \mathscr{F}, \forall \alpha \in[0,1]
$$
A particular example of a star-convex function is a usual convex function. However, in general star-convex function need not to be convex, even in the scalar case. For instance, $f(x)=|x|\left(1-e^{-|x|}\right), x \in \mathbb{R}$, is star-convex, but not convex. Star-convex functions arise quite often in optimization problems related to sum of squares. For example the function $f(x, y)=x^2 y^2+x^2+y^2$ with $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ belongs to this class.

Theorem 4.1.4 Assume that the objective function in the problem (4.1.14) is starconvex, and the set $\mathscr{F}$ is bounded: diam $\mathscr{F}=D<\infty$. Let the sequence $\left{x_k\right}$ be generated by method (4.1.16).

  1. If $f\left(x_0\right)-f^* \geq \frac{3}{2} L D^3$, then $f\left(x_1\right)-f^* \leq \frac{1}{2} L D^3$.
  2. If $f\left(x_0\right)-f^* \leq \frac{3}{2} L D^3$, then the rate of convergence of process (4.1.16) is as follows:
    $$
    f\left(x_k\right)-f\left(x^\right) \leq \frac{3 L D^3}{2\left(1+\frac{1}{3} k\right)^2}, \quad k \geq 0 $$ Proof Indeed, in view of inequality (4.1.11) the upper bound on the parameters $M_k$, and definition (4.1.25), for any $k \geq 0$ we have: $$ \begin{aligned} & f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x^\right) \leq \min y[ f(y)-f\left(x^\right)+\frac{L}{2}\left|y-x_k\right|^3: \ &\left.y=\alpha x^+(1-\alpha) x_k, \alpha \in[0,1]\right] \
    & \leq \min {\alpha \in[0,1]}[ f\left(x_k\right)-f\left(x^\right) \ &\left.-\alpha\left(f\left(x_k\right)-f\left(x^\right)\right)+\frac{L}{2} \alpha^3\left|x^-x_k\right|^3\right] \ & \leq \min _{\alpha \in[0,1]}\left[f\left(x_k\right)-f\left(x^\right)-\alpha\left(f\left(x_k\right)-f\left(x^*\right)\right)+\frac{L}{2} \alpha^3 D^3\right] .
    \end{aligned}
    $$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient-Dominated Functions

Let us now look at another interesting class of nonconvex functions.
Definition 4.1.3 A function $f(\cdot)$ is called gradient dominated of degree $p \in[1,2]$ if it attains a global minimum at some point $x^$ and for any $x \in \mathscr{F}$ we have $$ f(x)-f\left(x^\right) \leq \tau_f|\nabla f(x)|^p
$$
where $\tau_f$ is a positive constant. The parameter $p$ is called the degree of domination.
We do not assume here that the global minimum of function $f$ is unique. Let us give several examples of gradient dominated functions.

Example 4.1.1 (Convex Functions) Let $f$ be convex on $\mathbb{R}^n$. Assume it achieves its minimum at point $x^$. Then, for any $x \in \mathbb{R}^n$ with $\left|x-x^\right|<R$, we have
$$
f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R
$$
Thus, the function $f$ is a gradient dominated function of degree one on the set $\mathscr{F}=\left{x:\left|x-x^*\right|<R\right}$ with $\tau_f=R$.

Example 4.1.2 (Strongly Convex Functions) Let $f$ be differentiable and strongly convex on $\mathbb{R}^n$. This means that there exists a constant $\mu>0$ such that
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
for all $x, y \in \mathbb{R}^n$. Then, minimizing both sides of this inequality in $y$, we obtain,
$$
f(x)-f\left(x^\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n $$ Thus, $f$ is a gradient dominated function of degree two on the set $\mathscr{F}=\mathbb{R}^n$ with $\tau_f=\frac{1}{2 \mu}$ Example 4.1.3 (Sum of Squares) Consider a system of non-linear equations: $$ g(x)=0 $$ where $g(x)=\left(g_1(x), \ldots, g_m(x)\right)^T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ is a differentiable vector function. We assume that $m \leq n$ and that there exists a solution $x^$ to (4.1.33). Let us assume in addition that the Jacobian
$$
J^T(x)=\left(\nabla g_1(x), \ldots, \nabla g_m(x)\right)
$$
is uniformly non-degenerate on a certain convex set $\mathscr{F}$ containing $x^*$. This means that the value
$$
\sigma \equiv \inf {x \in \mathscr{F}} \lambda{\min }\left(J(x) J^T(x)\right)
$$
is positive. Consider the function
$$
f(x)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m g_i^2(x)
$$

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凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Star-Convex Functions

让我们从一个定义开始。
$$
f\left(\alpha x^{+}(1-\alpha) x\right) \leq \alpha f\left(x^*\right)+(1-\alpha) f(x) \quad \forall x \in \mathscr{F}, \forall \alpha \in[0,1]
$$
星-凸函数的一个特殊例子是通常的凸函数。然而,通常星凸函数不需要是凸的,即使在标量情兄下也是如此。例如,
$f(x)=|x|\left(1-e^{-|x|}\right), x \in \mathbb{R}$ ,是星凸的,但不是凸的。星凸函数经常出现在与平方和相关的优化问题中。例如函数
$f(x, y)=x^2 y^2+x^2+y^2$ 和 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 属于这一类。
生成。

  1. 如果 $f\left(x_0\right)-f^* \geq \frac{3}{2} L D^3$ ,然后 $f\left(x_1\right)-f^* \leq \frac{1}{2} L D^3$.
  2. 如果 $f\left(x_0\right)-f^* \leq \frac{3}{2} L D^3$ ,则过程 (4.1.16) 的收玫速度如下:
    $f \backslash$ feft $\left(x_{-} k \backslash\right.$ right)-f $\backslash$ left( $(x \wedge \backslash$ right) $\backslash$ leq $\backslash$ frac ${3 L D \wedge 3}{2 \backslash$ left(1+|frac ${1}{3} k \backslash$ right) $\wedge 2}, \mid$ quad $k \backslash$ Igeq 0
    证明事实上,鉴于不等式 (4.1.11) 参数的上界 $M_k$, 和定义 (4.1.25), 对于任何 $k \geq 0$ 我们有:

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现在让我们看看另一类有趣的非凸函数。
$$
f(x)-f \backslash \text { left }(x \wedge \backslash r i g h t) \backslash \text { leq } \backslash \text { tau_f } f \backslash \text { nabla } f(x) \mid \wedge p
$$
在哪里 $\tau_f$ 是正常数。参数 $p$ 称为支配度。
我们这里不假设函数的全局最小值 $f$ 是独特的。让我们举几个梯度主导函数的例子。
例 4.1.1 (凸函数) 令 $f$ 凸出 $\mathbb{R}^n$. 假设它在点达到最小值 $\times \wedge$. 那么,对于任何 $x \in \mathbb{R}^n$ 和 $\backslash$ 左 $\mid \times \times \wedge \backslash$ 右|0$ 这样
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
对全部 $x, y \in \mathbb{R}^n$. 然后,最小化这个不等式的两边 $y$ ,我们获得,
$$
f(x) \text {-f \left } ( x \wedge \backslash r i g h t ) \backslash \text { leq } \backslash \text { frac } { 1 } { 2 \backslash m u } | \backslash \text { nabla } f ( x ) | \wedge 2 \backslash q u a d \backslash \text { forall } x \backslash \text { in } \backslash m a t h b b { R } \wedge n}
$$
因此, $f$ 是集合上二次的梯度主导函数 $\mathscr{F}=\mathbb{R}^n$ 和 $\tau_f=\frac{1}{2 \mu}$ 示例 4.1.3 (平方和) 考虑一个非线性方程组:
$$
g(x)=0
$$
让我们另外假设雅可比矩阵
$$
J^T(x)=\left(\nabla g_1(x), \ldots, \nabla g_m(x)\right)
$$
在某个凸集上一致非退化 $\mathscr{F}$ 含有 $x^*$. 这意味着价值
$$
\sigma \equiv \inf x \in \mathscr{F} \lambda \min \left(J(x) J^T(x)\right)
$$
是积极的。考虞函数
$$
f(x)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m g_i^2(x)
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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