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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Methods with Complete Data

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用,如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计(最佳实验设计)、和结构优化,其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Methods with Complete Data

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonsmooth Models of the Objective Function

In the previous section, we looked at several methods for solving the following problem:
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
where $f$ is a Lipschitz continuous convex function and $Q$ is a closed convex set. We have seen that the optimal method for problem (3.3.1) is the Subgradient Method (3.2.14), (3.2.16). Note that this conclusion is valid for the whole class of Lipschitz continuous functions. However, if we are going to minimize a particular function from this class, we can expect that it will not be as bad as in the worst case. We usually can hope that the actual performance of the minimization methods can be much better than the worst-case theoretical bound. Unfortunately, as far as the Subgradient Method is concerned, these expectations are too optimistic. The scheme of the Subgradient Method is very strict and in general it cannot converge faster than in theory. It can also be shown that the Ellipsoid Method (3.2.53) inherits this drawback of subgradient schemes. In practice it works more or less in accordance with its theoretical bound even when it is applied to a very simple function like $|x|^2$.

In this section, we will discuss algorithmic schemes which are more flexible than the Subgradient Method and Ellipsoid Method. These schemes are based on the notion of a nonsmooth model of a convex objective function.
Definition 3.3.1 Let $X=\left{x_k\right}_{k=0}^{\infty}$ be a sequence of points in $Q$. Define
$$
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq i \leq k}\left[f\left(x_i\right)+\left\langle g\left(x_i\right), x-x_i\right\rangle\right]
$$
where $g\left(x_i\right)$ are some subgradients of $f$ at $x_i$. The function $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ is called a nonsmooth model of the convex function $f$.

Note that $f_k(X ; \cdot)$ is a piece-wise linear function. In view of inequality (3.1.23), we always have
$$
f(x) \geq \hat{f}k(X ; x) $$ for all $x \in \mathbb{R}^n$. However, at all test points $x_i, 0 \leq i \leq k$, we have $$ f\left(x_i\right)=\hat{f}_k\left(X ; x_i\right), \quad g\left(x_i\right) \in \partial \hat{f}_k\left(X ; x_i\right) . $$ Moreover, the next model is always better than the previous one: $$ \hat{f}{k+1}(X ; x) \geq \hat{f}_k(X ; x)
$$
for all $x \in \mathbb{R}^n$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Kelley’s Method

The model $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ represents complete information on the function $f$ accumulated after $k$ calls of the oracle. Therefore, it seems natural to develop a minimization scheme, based on this object. Perhaps, the most natural method of this type is as follows.
Kelley’s Method

Choose $x_0 \in Q$.

$k$ th iteration $(k \geq 0)$. Find $x_{k+1} \in \operatorname{Arg} \min _{x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$.

Intuitively, this scheme looks very attractive. Even the presence of a complicated auxiliary problem is not too disturbing, since for polyhedral $Q$ it can be solved by linear optimization methods in finite time. However, it turns out that this method cannot be recommended for practical applications. The main reason for this is its instability. Note that the solution of the auxiliary problem in method (3.3.2) may be not unique. Moreover, the whole set $\operatorname{Arg} \min {x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$ can be unstable with respect to an arbitrary small variation of data $\left{f\left(x_i\right), g\left(x_i\right)\right}$. This feature results in unstable practical behavior of the scheme. At the same time, it can be used to construct an example of a problem for which method (3.3.2) has a very disappointing lower complexity bound. Example 3.3.1 Consider the problem (3.3.1) with $$ \begin{gathered} f(y, x)=\max \left{|y|,|x|^2\right}, \quad y \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n, \ Q=\left{z=(y, x): y^2+|x|^2 \leq 1\right} \end{gathered} $$ where the norm is standard Euclidean. Thus, the solution of this problem is $z^=$ $\left(y^, x^\right)=(0,0)$, and the optimal value $f^=0$. Denote by $Z_k^=\operatorname{Arg} \min {z \in Q} \hat{f}_k(Z ; z)$ the optimal set of model $\hat{f}_k(Z ; z)$ and let $\hat{f}_k^=\hat{f}_k\left(Z_k^*\right)$ be the optimal value of the model.

Let us choose $z_0=(1,0)$. Then the initial model of the function $f$ is $\hat{f}_0(Z ; z)=$ $y$. Therefore, the first point, generated by Kelley’s method, is $z_1=(-1,0)$. Hence, the next model of the function $f$ is as follows:
$$
\hat{f}_1(Z ; z)=\max {y,-y}=|y|
$$

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凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonsmooth Models of the Objective Function

在上一节中,我们研究了解决以下问题的几种方法:
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
在哪里 $f$ 是 Lipschitz 连续凸函数,并且 $Q$ 是闭凸集。我们已经看到问题(3.3.1)的最优方法是次梯度法(3.2.14),(3.2.16)。 请注意,此结论适用于整类 Lipschitz 连续函数。但是,如果我们要最小化此类中的某个特定函数,我们可以预期它不会像最坏的 情况那样糟糕。我们通常希望最小化方法的实际性能比最坏情况下的理论界限好得多。不幸的是,就 Subgradient Method 而 言,这些期望过于乐观。Subgradient Method 的方案非常严格,一般来说它不能比理论收玫得面快。还可以证明椭圆体方法 (3.2.53) 继承了次梯度方案的这个缺点。 $|x|^2$.
在本节中,我们将讨论比次梯度法和椭球法更灵活的算法方穼。这些方案基于凸目标函数的非光滑模型的概念。 定义 3.3.1 诀 $\mathrm{x}=\backslash$ left $\left{\mathrm{x} _k \backslash\right.$ right $} _{\mathrm{k}=0} \wedge{\backslash i n f t y}$ 是点序列 $Q$. 定义
$$
\hat{f} k(X ; x)=\max 0 \leq i \leq k\left[f\left(x_i\right)+\left\langle g\left(x_i\right), x-x_i\right\rangle\right]
$$
在哪里 $g\left(x_i\right)$ 是一些子梯度 $f$ 在 $x_i$. 功能 $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ 称为凸函数的非光滑模型 $f$.
注意 $f_k(X ; \cdot)$ 是分段线性函数。䇺于不等式 (3.1.23),我们总是有
$$
f(x) \geq \hat{f} k(X ; x)
$$
对全部 $x \in \mathbb{R}^n$. 然而,在所有测试点 $x_i, 0 \leq i \leq k$ ,我们有
$$
f\left(x_i\right)=\hat{f}_k\left(X ; x_i\right), \quad g\left(x_i\right) \in \partial \hat{f}_k\left(X ; x_i\right) .
$$
此外,下一个模型总是比前一个模型电好:
$$
\hat{f} k+1(X ; x) \geq \hat{f}_k(X ; x)
$$
对全部 $x \in \mathbb{R}^n$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Kelley’s Method

该模型 $\hat{f}k(X ; \cdot)$ 表示函数的完整信息 $f$ 異积后 $k$ 神谕的召唤。因此,基于此对象开发最小化方案似乎很自然。也许,这种棠型最自 然的方法如下。 凯利法 选择 $x_0 \in Q$. $k$ 第次迭代 $(k \geq 0)$. 寻找 $x{k+1} \in \operatorname{Arg} \min {x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$. 直觉上,这个方案看起来很有吸引力。即使存在晵杂的辅助问题也不会太令人不安,因为对于多面体 $Q$ 可以在有限时间内用线性优 化方法求解。然而,事实证明这种方法不能推荐用于实际应用。造成这种情况的主要原因是它的不稳定性。请注意,方法 (3.3.2) 中的辅助问题的解可能不是唯一的。而且,整套Arg $\min x \in Q \hat{f}_k(X ; x)$ 对于数据的任意小变化可能是不稳定的 方法 (3.3.2) 的复杂度下界非常令人失望。示例 3.3.1 考虑问题 (3.3.1) $Z{\bar{k}} \operatorname{Arg} \min z \in Q \hat{f}_k(Z ; z)$ 最佳模型集 $\hat{f}_k(Z ; z)$ 然后让 $\hat{f}_k^{=} \hat{f}_k\left(Z_k^*\right)$ 是模型的最优值。
让我们选择 $z_0=(1,0)$. 然后是函数的初始模型 $f$ 是 $\hat{f}_0(Z ; z)=y$. 因此,由 Kelley 方法生成的第一个点是 $z_1=(-1,0)$. 因 此,函数的下一个模型 $f$ 如下:
$$
\hat{f}_1(Z ; z)=\max y,-y=|y|
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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