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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用,如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计(最佳实验设计)、和结构优化,其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

In this section, we will often use the cubic power function
$$
d_3(x)=\frac{1}{3}\left|x-x_0\right|^3, \quad \nabla d_3(x)=\left|x-x_0\right| \cdot B\left(x-x_0\right), \quad x \in \mathbb{E} .
$$
This is the simplest example of the uniformly convex function. In order to understand their properties, we need to develop some theory.

Let the function $d(\cdot)$ be differentiable on a closed convex set $Q$. We call it uniformly convex on $Q$ of degree $p \geq 2$ if there exists a constant $\sigma_p=\sigma_p(d)>0$ such that $^1$
$$
d(y) \geq d(x)+\langle\nabla d(x), y-x\rangle+\frac{1}{p} \sigma_p|y-x|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
The constant $\sigma_p$ is called the parameter of uniform convexity of this function. By adding such a function to an arbitrary convex function, we get a uniformly convex function of the same degree and with the same value of parameter. Recall that degree $p=2$ corresponds to strongly convex functions (see (2.1.20)). In our old notation, the parameter $\mu$ of strong convexity for the function $f$ corresponds to $\sigma_2(f)$.
Note that any uniformly convex function grows faster than any linear function. Therefore, its level sets are always bounded. This implies that any minimization problem with uniformly convex objective is always solvable provided that its feasible set is nonempty. Moreover, its solution is always unique.
Adding two copies of inequality (4.2.10) with $x$ and $y$ interchanged, we get
$$
\langle\nabla d(x)-\nabla d(y), x-y\rangle \geq \frac{2}{p} \sigma_p|x-y|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
It appears that this condition is sufficient for uniform convexity (however, for $p>2$ the convexity parameter is changing).

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Newton Iteration

Consider the following minimization problem:
$$
\min _{x \in \mathbb{E}} f(x)
$$
where $\mathbb{E}$ is a finite-dimension real vector space, and $f$ is a twice differentiable convex function with Lipschitz-continuous Hessian. As was shown in Sect. 4.1, the global rate of convergence of the Cubic Newton Method (CNM) on this problem class is of the order $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$, where $k$ is the iteration counter (see Theorem 4.1.4). However, note that $\mathrm{CNM}$ is a local one-step second-order method. From the complexity theory of smooth Convex Optimization, it is known that the rate of convergence of the local one-step first-order method (this is just the Gradient Method, see Theorem 2.1.14) can be improved from $O\left(\frac{1}{k}\right)$ to $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ by applying a multi-step strategy (see, for example, Theorem 2.2.3). In this section we show that a similar trick also works with CNM. As a result, we get a new method, which converges on the specified problem class as $O\left(\frac{1}{k^3}\right)$.

Let us recall the most important properties of cubic regularization of Newton’s method, taking into account the convexity of the objective function.
As suggested in Sect. 4.1, we introduce the following mapping:
$$
T_M(x) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{Arg} \min {y \in \mathbb{E}}\left[\hat{f}_M(x ; y) \stackrel{\text { def }}{=} f_2(x ; y)+\frac{M}{6}|y-x|^3\right] . $$ Note that $T=T_M(x)$ is a unique solution of the following equation $$ \nabla f(x)+\nabla^2 f(x)(T-x)+\frac{1}{2} M \cdot|T-x| \cdot B(T-x)=0 $$ Define $r_M(x)=\left|x-T_M(x)\right|$. Then, $$ \begin{aligned} |\nabla f(T)|* & \stackrel{(4.2 .25)}{=}\left|\nabla f(T)-\nabla f(x)-\nabla^2 f(x)(T-x)-\frac{M}{2} r_M(x) B(T-x)\right|_* \
& \stackrel{(4.2 .8)}{\leq} \frac{L_3+M}{2} r_M^2(x)
\end{aligned}
$$
Further, multiplying (4.2.25) by $T-x$, we obtain
$$
\langle\nabla f(x), x-T\rangle=\left\langle\nabla^2 f(x)(T-x), T-x\right\rangle+\frac{1}{2} M r_M^3(x)
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

在本节中,我们将经常使用三次募函数
$$
d_3(x)=\frac{1}{3}\left|x-x_0\right|^3, \quad \nabla d_3(x)=\left|x-x_0\right| \cdot B\left(x-x_0\right), \quad x \in \mathbb{E} .
$$
这是一致凸函数的最简单示例。为了理解它们的特性,我们需要发展一些理论。
让函数 $d(\cdot)$ 在闭凸集上可微 $Q$. 我们称它为一致凸的 $Q$ 学位 $p \geq 2$ 如果存在常数 $\sigma_p=\sigma_p(d)>0$ 这样 ${ }^1$
$$
d(y) \geq d(x)+\langle\nabla d(x), y-x\rangle+\frac{1}{p} \sigma_p|y-x|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
常量 $\sigma_p$ 称为该函数的一致凸性参数。通过将这样的函数添加到任意凸函数,我们得到相同次数和相同参数值的 一致凸函数。回忆那个学位 $p=2$ 对应于强凸函数(见 (2.1.20) ) 。在我们的旧符号中,参数 $\mu$ 函数的强凸性 $f$ 对应于 $\sigma_2(f)$.
请注意,任何一致凸函数比任何线性函数增长得都快。因此,它的水平集总是有界的。这意味着任何具有一致 凸目标的最小化问题总是可解的,只要它的可行集是非空的。而且,它的解总是唯一的。
添加两个不等式 (4.2.10) 与 $x$ 和 $y$ 互换,我们得到
$$
\langle\nabla d(x)-\nabla d(y), x-y\rangle \geq \frac{2}{p} \sigma_p|x-y|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
看起来这个条件对于均匀凸性是足够的 (但是,对于 $p>2$ 凸性参数正在改变)。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Newton Iteration

考虑以下最小化问题:
$$
\min {x \in \mathbb{E}} f(x) $$ 在哪里止是有限维实向量空间,并且 $f$ 是具有 Lipschitz 连续 Hessian 矩阵的二次可微凸函数。如节所示。 4.1、三次牛顿法 (CNM) 在该问题坣上的全局收敛速度为 $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ ,在哪里 $k$ 是迭代计数器(见定理 4.1.4) 。但是,请注意 $\mathrm{CNM}$ 是局部一步二阶方法。从平滑凸优化的复杂性理论可知,局部一步一阶法(这只 是梯度法,见定理2.1.14) 的收敛速度可以提高为 $O\left(\frac{1}{k}\right)$ 到 $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ 通过应用多步策略 (例如,参见定理 2.2.3) 。在本节中,我们将展示类似的技巧也适用于 $\mathrm{CNM}{\text {。 }}$ 结果,我们得到了一种新方法,它收敛于指定的 问题类,如下所示 $O\left(\frac{1}{k^3}\right)$.
让我们回顾一下牛顿法三次正则化的最重要性质,同时考虑到目标函数的凸性。 正如 Sect 中所建议的那样。4.1、我们引入如下映射:
$$
T_M(x) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{Arg} \min y \in \mathbb{E}\left[\hat{f}M(x ; y) \stackrel{\text { def }}{=} f_2(x ; y)+\frac{M}{6}|y-x|^3\right] . $$ 注意 $T=T_M(x)$ 是下列方程的唯一解 $$ \nabla f(x)+\nabla^2 f(x)(T-x)+\frac{1}{2} M \cdot|T-x| \cdot B(T-x)=0 $$ 定义 $r_M(x)=\left|x-T_M(x)\right|$ 然后, $$ |\nabla f(T)| * \stackrel{(4.2 .25)}{=}\left|\nabla f(T)-\nabla f(x)-\nabla^2 f(x)(T-x)-\frac{M}{2} r_M(x) B(T-x)\right|* \stackrel{(4.2 .8)}{\leq} \frac{L_3+M}{2} r_M^2(x)
$$
此外,将 (4.2.25) 乘以 $T-x$ ,我们获得
$$
\langle\nabla f(x), x-T\rangle=\left\langle\nabla^2 f(x)(T-x), T-x\right\rangle+\frac{1}{2} M r_M^3(x)
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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