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如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础,对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述,只对其状态有部分了解,如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程(为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象,这些过程或测量量可能是单一发生的,或以随机方式随时间演变)。尽管不可能完美地预测随机事件,但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一组公理来表达它。


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The reader will be familiar with the topology of the real line and, more expansively, finite-dimensional Euclidean space. In this setting she is no doubt familiar, at least at an intuitive level, with the concept of open sets. We begin with the real line.

DEFINITION 1 A subset $\mathbb{A}$ of the real line is open if, for each $x \in \mathbb{A}$, there exists an open interval wholly contained in $\mathbb{A}$ which has $x$ as an interior point, that is, there exists $(a, b) \subseteq \mathbb{A}$ with $a<x<b$. A subset of the line is closed if its complement is open.

The union of any collection-finite, countably infinite, or even uncountably infiniteof open sets is open. This is easy to see as, if $\wedge$ is any index set and $\left{\mathbb{A}\lambda, \lambda \in \Lambda\right}$ is any collection of open sets, then any point $x$ in the union must lie in some set $\mathbb{A}\lambda$ and, as $\mathbb{A}\lambda$ is open, there exists an open interval wholly contained in $\mathbb{A}\lambda$, and hence also in $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \mathbb{A}_\lambda$, that contains $x$ as an interior point. This might suggest that open sets may have a very complicated structure. But a little thought should convince the reader that the elaboration of the structure of open sets on the line that follows is quite intuitive.

We need two elementary notions from the theory of numbers. A subset $\mathbb{A}$ of real numbers is bounded if there are numbers $a$ and $b$ such that $a<x<b$ for every $x \in \mathbb{A}$. The largest of the lower bounds $a$ is the greatest lower bound (or infimum) of $\mathbb{A}$ and is denoted $\inf \mathbb{A}$; the smallest of the upper bounds $\mathrm{b}$ is the least upper bound (or supremum) of $\mathbb{A}$ and is denoted sup $\mathbb{A}$. The key fact that we will need is that every bounded set $\mathbb{A}$ has a greatest lower bound and a least upper bound. (The reader who is not familiar with these notions will find them fleshed out in Section XXI.1 in the Appendix.)

THEOREM 1 Any open set on the line is the union of a countable number of pairwise disjoint open intervals and a fortiori every open set is a Borel set.

PROOF: Suppose $\mathbb{A}$ is an open subset of the real line, $x$ a point in $\mathbb{A}$. Let $\mathbb{I}_x$ be the union of all the open intervals wholly contained in $\mathbb{A}$ for which $x$ is an interior point. (It is clear that $\mathbb{I}_x$ is non-empty as $x$ has to be contained in at least one such interval.) Then $\mathbb{I}_x \subseteq \mathbb{A}$ for each $x \in \mathbb{A}$, whence $\bigcup_x \mathbb{I}_x \subseteq \mathbb{A}$; on the other hand, each $y \in \mathbb{A}$ lies in $\mathbb{I}_y$, hence also in $\bigcup_x \mathbb{I}_x$, and so $\bigcup_x \mathbb{I}_x \supseteq \mathbb{A}$. Thus, $\bigcup_x \mathbb{I}_x=\mathbb{A}$.

We now claim that $\mathbb{I}_x$ is an open interval for each $x \in \mathbb{A}$ and, moreover, if $a=\inf \mathbb{I}_x$ and $\mathrm{b}=\sup \mathbb{I}_x$ then $\mathbb{I}_x=(a, b)$. To see this, consider any point $t$ with $a<t<x$. Then, by definition of infimum, there exists a point $s \in \mathbb{I}_x$ with $a<s<t$. But then $s$ lies in some open interval wholly contained in $\mathbb{A}$ and which contains $x$ as an interior point. It follows that all points in the closed interval $[s, x]$ are contained in this interval and $a$ fortiori so is $t$. This implies that all points $t \in(a, x)$ are contained in $\mathbb{I}_x$. An identical argument using the definition of supremum shows that all points $t \in(x, b)$ are also contained in $\mathbb{I}_x$. And, of course, it is patent that $x \in \mathbb{I}_x$. Thus, ( $\left.a, b\right) \subseteq \mathbb{I}_x$. But it is clear that $\mathbb{I}_x \subseteq(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ by the definition of the points $a$ and $b$. It follows that, indeed, $\mathbb{I}_x=(a, b)$. Thus, we may identify $\mathbb{I}_x$ as the largest open interval wholly contained in $\mathbb{A}$ with $x$ as an interior point.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Chance domains with side information

The character of the definition of conditional probability is best illustrated by settings in our common experience.

EXAMPLES: 1) Return to coin tossing. Suppose a (fair) coin is tossed thrice. Identifying the results of the tosses sequentially, the sample space is identified as the set of eight elements
\Omega={\mathfrak{H H H}, \mathfrak{H} \mathfrak{H}, \mathfrak{H} \mathfrak{H}, \mathfrak{H} \mathfrak{T}, \mathfrak{T H}, \mathfrak{T} \mathfrak{H}, \mathfrak{T} \mathfrak{T}, \mathfrak{T} \mathfrak{T}}
each of which has equal probability $1 / 8$ of occurrence. Let $A$ be the event that the first toss is a head. It is clear that the probability of $A$ is $4 / 8=1 / 2$.

Suppose now that one is informed that the outcome of the experiment was exactly one head. What is the probability of A conditioned upon this information? Let $\mathrm{H}$ be the event that exactly one head occurs. Then $\mathrm{H}$ consists of the sample points $\mathfrak{H} \mathfrak{T} \mathfrak{T}, \mathfrak{H} \mathfrak{T}$, and $\mathfrak{T} \mathfrak{T} \mathfrak{H}$. If exactly one head occurs then the outcome must be one of the three elements of $\mathrm{H}$ each of which perforce is equally likely to have been the observed outcome. The event $A$ can then occur if, and only if, the observed outcome was $\mathfrak{H T}$ T. Consequently, the probability of $A$ given that $\mathrm{H}$ has occurred is now $1 / 3$. Side information about the outcome of the experiment in the form of the occurrence of $\mathrm{H}$ affects the projections of whether the outcomes comprising $A$ could have occurred.

2) Dice. Suppose two six-sided dice are thrown. The probability of the event A that at least one six is recorded is then easily computed to be $1-25 / 36=$ $11 / 36$. If one is informed, however, that the sum of the face values is 8 then the possible outcomes of the experiment reduce from 36 pairs of integers $(i, j)$ with $1 \leq i, j \leq 6$ to the outcomes ${(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}$ only, each of which is equally likely to occur. The probability that at least one six is recorded, conditioned on the sum of face values being 8 , is then $2 / 5$.
3) Families. A family has two children. If one of them is known to be a boy, what is the probability that the other is also a boy? Unprepared intuition may suggest a probability of one-half. But consider: listing the genders of the two children, elder first, the sample space for this problem may be considered to be $\Omega={\mathfrak{b} \mathfrak{b}, \mathfrak{b g}, \mathfrak{g} \mathfrak{b}, \mathfrak{g g}}$ with the natural assignment of probability $1 / 4$ to each of the four possibilities. If it is known that one child is a boy, the sample space reduces to the three equally likely possibilities ${\mathfrak{b} \mathfrak{b}, \mathfrak{b} \mathfrak{g}, \mathfrak{g} \mathfrak{b}}$. Only one of the outcomes, $\mathfrak{b} \mathfrak{b}$, in the reduced space is identified with the event that the other child is a boy and so, given that one child is a boy, the probability that the other is also a boy is $1 / 3$. Again, side information about the outcome of the experiment in the form of the occurrence of an auxiliary event affects event probabilities.

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读者将熟悉实线的拓扑结构,更广泛地熟悉有限维欧几里得空间。在这种情况下,她无疑孰悉(至少在直觉层 面上) 开集的概念。我们从实线开始。
定义 1 子集 $\mathbb{A}$ 如果对于每个 $x \in \mathbb{A}$, 存在一个开区间完全包含在 $\mathbb{A}$ 其中有 $x$ 作为内点,即存在 $(a, b) \subseteq \mathbb{A}$ 和 $a<x<b$. 如果线的补集是开的,则该线的子集是闭合的。
任何有限集合、可数无限集合或什至不可数无限集合的并集都是开集。这很容易看出,如果へ是任何索引集并 且 \left } { \backslash m a t h b b { A } \backslash \text { lambda, \lambda \in \Lambda \right } } \text { 是开集的任意集合,则任意点 } x \text { 在联合中必须 } 位于某个集合中 $\mathbb{A} \lambda$ 并作为 $\mathbb{A} \lambda$ 是开的,存在一个完全包含在 $\mathbb{A} \lambda$ ,因此也在 $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \mathbb{A}$ ,包含 $x$ 作为内点。这可能 表明开集可能具有非常复杂的结构。但是稍加思考就会让读者相信,在接下来的行中对开集结构的阐述是非常 直观的。
我们需要数论中的两个基本概念。一个子集 $\mathbb{A}$ 如果有数字,则实数是有界的 $a$ 和 $b$ 这样 $a<x<b$ 每一个 $x \in \mathbb{A}$ . 最大的下界 $a$ 是的最大下界 (或下界) $\mathbb{A}$ 并表示inf $\mathbb{A}$; 上界中最小的b是的最小上限 (或上界) $\mathbb{A}$ 并表示为 sup $\mathbb{A}$. 我们需要的关键事实是每个有界集 $\mathbb{A}$ 具有最大下界和最小上界。 (不孰悉这些概念的读者会发现它们在 附录的第 XXI.1 节中得到了充实。)
定理 1 直线上的任何开集都是可数个成对不相交的开区间的并集,并且更不用说每个开集都是 Borel 集。
证明: 假设 $\mathbb{A}$ 是实线的开子集, $x$ 一点在 $\mathbb{A}$. 让 $\mathbb{I}_x$ 是完全包含在中的所有开区间的并集 $\mathbb{A}$ 为了哪个 $x$ 是一个内 点。(很清楚 $\mathbb{I}_x$ 是非空的 $x$ 必须包含在至少一个这样的间隔中。)然后 $\mathbb{I}_x \subseteq \mathbb{A}$ 每个 $x \in \mathbb{A}$, 从那里 $\bigcup_x \mathbb{I}_x \subseteq \mathbb{A}$; 另一方面,每个 $y \in \mathbb{A}$ 在于 $\mathbb{I}_y$ ,因此也在 $\bigcup_x \mathbb{I}_x$ ,所以 $\bigcup_x \mathbb{I}_x \supseteq \mathbb{A}$. 因此, $\bigcup_x \mathbb{I}_x=\mathbb{A}$.
我们现在声称 $\mathbb{I}_x$ 是每个的开区间 $x \in \mathbb{A}$ 而且,如果 $a=\inf \mathbb{I}_x$ 和b $=\sup \mathbb{I}_x$ 然后 $\mathbb{I}_x=(a, b)$. 要看到这一 点,请考虑任何一点 $t$ 和 $a<t<x$. 那么,根据下确界的定义,存在一个点 $s \in \mathbb{I}_x$ 和 $a<s<t$. 但是之后 $s$ 位于完全包含在的某个开区间内 $\mathbb{A}$ 其中包含 $x$ 作为内点。则闭区间内的所有点 $[s, x]$ 包含在这个区间内,并且 $a$ 所以他更强壮 $t$. 这意味着所有点 $t \in(a, x)$ 包含在 $\mathbb{I}_x$. 使用 supremum 定义的相同论证表明所有点 $t \in(x, b)$ 也包含在 $\mathbb{I}_x$. 而且,当然,这是专利 $x \in \mathbb{I}_x$. 因此, $(a, b) \subseteq \mathbb{I}_x$. 但很明显 $\mathbb{I}_x \subseteq(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 根据点的定义 $a$ 和 $b$. 由此可见,确实, $\mathbb{I}_x=(a, b)$. 因此,我们可以识别 $\mathbb{I}_x$ 作为完全包含在中的最大开区间 $\mathbb{A}$ 和 $x$ 作为内点。

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示例:1) 返回到抛硬币。假设一枚 (公平的) 硬币被抛三次。依次识别投掷的结果,样本空间被识别为八个元 责的集合
\Omega=\mathfrak{H} \mathfrak{H} \mathfrak{H}, \mathfrak{H}, \mathfrak{H H}, \mathfrak{H} \mathfrak{T}, \mathfrak{T} \mathfrak{H}, \mathfrak{H}, \mathfrak{T} \mathfrak{T}, \mathfrak{T}
每个都有相等的概率 $1 / 8$ 的发生。让 $A$ 是第一次抛㚘是正面的事件。很明显,概率 $A$ 是 $4 / 8=1 / 2$.
假设现在有人被告知实验的结果恰好是一个人头。以这些信息为条件的 $\mathrm{A}$ 的概率是多少? 让 $\mathrm{H}$ 是恰好出现一个 正面的事件。然后 $\mathrm{H}$ 由样本点组成 $\mathfrak{H T T}, \mathfrak{H T}$ ,和 $\mathfrak{T} \mathfrak{T} \mathfrak{H}$. 如果恰好出现一个正面,则结果必须是以下三个要溸 之一 $\mathrm{H}$ 其中每一个都同样可能是观察到的结果。事件 $A$ 当且仅当观察到的结果是 $\mathfrak{H T} \mathrm{T}$. 因此,概率 $A$ 鉴于 $\mathrm{H}$ 现在 已经发生 $1 / 3$. 以发生的形式出现的关于实验结果的辅助信息 $\mathrm{H}$ 影响结果是否包括的预测 $A$ 可能已经发生。
2)骰子。假设郑出两个六面骰子。事件 $A$ 至少有一个六被记录的概率很容易计算为 $1-25 / 36=11 / 36$. 然 而,如果有人被告知面值之和为 8 ,则实验的可能结果会从 36 对整数减少 $(i, j)$ 和 $1 \leq i, j \leq 6$ 结果 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ 只有,其中每一个都同样可能发生。以面值总和为 8 为条件,至少有一个 六被记录的概率是 $2 / 5$.
3)家庭。一个家庭有两个孩子。如果已知其中一个是男孩,那么另一个也是男孩的概率是多少? 毫无准备的直 觉可能表明概率是二分之一。但是考虑: 列出两个孩子的性别,大在前,这个问题的样本空间可以认为是 $\Omega=\mathfrak{b} \mathfrak{b}, \mathfrak{b g}, \mathfrak{g} \mathfrak{b}, \mathfrak{g} \mathfrak{g}$ 随着概率的自然分配 $1 / 4$ 四种可能性中的每一种。如果已知一个孩子是男孩,则样本空间 减少为三个等可能的可能性 $\mathfrak{b} \mathfrak{b}, \mathfrak{b} \mathfrak{g}, \mathfrak{g} \mathfrak{b}$. 结果只有一个, $\mathfrak{b} \mathfrak{b}$ ,在缩小的空间中,被识别为另一个孩子是男孩的 事件,因此,假设一个孩子是男孩,另一个孩子也是男孩的概率是 $1 / 3$. 同样,以辅助事件发生的形式出现的关 于实验结果的辅助信息会影响事件概率。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





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