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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|CHARACTERIZATIONS BY IDENTICAL DISTRIBUTION

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|CHARACTERIZATIONS BY IDENTICAL DISTRIBUTION

Theorem 9.3.1. Let $X_{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \geq 1$ be a sequence of i.i.d. random variables which has absolutely continuous distribution function $F$ with pdf $f$ and $F(0)$ $=0$. Assume that $F(x)<1$ for all $x>0$. If $X_n$ belongs to the class $C_1$ and $I_{n-}$ $1, \mathrm{n}=\mathrm{X}(\mathrm{n})-\mathrm{X}(\mathrm{n}-1), \mathrm{n}>1$, has an identical distribution with $X_k, \mathrm{k} \geq 1$, then $X_k$ has the $\operatorname{cdf} F(x)=1-e^{-\sigma x}, \mathrm{x} \geq 0, \sigma>0$, it is necessary

Proof. The if condition is easy to establish. We will proof here the only if condition. By the assumption of the identical distribution of $I_{n-1, n}$ and $X_k$, we must have
$\int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} \frac{r(u)}{\Gamma(n)} f(u+z) d u=f(z)$, for all $\mathrm{z}>0$
Substituting
$$\int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} f(u) d u=\Gamma(n)$$
We have
$$\begin{gathered} \int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} r(u) f(u+z) d u=f(z) \ \text { Using } \left.\int_0^{\infty} R(u)\right]^{n-1} f(u) d u-1 . . \end{gathered}$$

\begin{aligned} & \int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} f(u)\left[f(u+z)(\bar{F}(u))^{-1}-f(z)\right] d u=0, \ & \mathrm{z}>0 \text {. } \ & \end{aligned}
Integrating the above expression with respect to $\mathrm{z}$ from $\mathrm{z}_1$ to $\infty$, we get from (9.3.5)
\begin{aligned} & \left.\int_0^{\infty} R(u)\right]^{n-1} f(u)\left[\bar{F}\left(u+z_1\right)(\bar{F}(u))^{-1}-\bar{F}\left(z_1\right)\right] d u=0, \ & \mathrm{z}_1>0 . \end{aligned}
If $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ is $\mathrm{NBU}$, then (9.3.5) is true if
$$\bar{F}\left(u+z_1\right)(\bar{F}(u))^{-1}=\bar{F}\left(z_1\right), z_1>0 .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|DOMAIN OF ATTRACTION

In this section we will study the domain of attraction of various distributions. The maximum order statistics $X_{n, n}$ of $\mathrm{n}$ independent and identically distributed random variable will be considered. We will say that $X_{n, n}$ will belong to the domain of attraction of $T(x)$ if the $\lim {n \rightarrow \infty} P\left(X{n n} \leq a_n+b_n x\right)=\mathrm{T}(\mathrm{x})$ for some sequence of normalizing constants $a_n$ and $b_n$.

For example consider the uniform distribution with pdf $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1,0<\mathrm{x}<$ 1. Then for $\mathrm{t}<0, \mathrm{P}\left(\mathrm{X}{\mathrm{nn}} \leq 1+\mathrm{t} / \mathrm{n}\right)=(1+\mathrm{t} / \mathrm{n})^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{t}}$. Thus $\mathrm{X}{\mathrm{nn}}$ from the uniform distribution belong to the domain of attraction of $\mathrm{T}(\mathrm{x}), \mathrm{T}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}},-\infty<\mathrm{x}<0$.
The following lemma will be helpful in proving the theorems of the domain of attraction.

Lemma 10.2.1. Let $\left{X_{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \geq 1\right}$ be a sequence of independent and identically distributed random variables with distribution function $F$. Consider a sequence $\left(e_n, \mathrm{n} \geq 1\right}$ of real numbers. Then for any $\xi, 0 \leq \xi<\infty$, the following two statements are equivalent
(i) $\lim {n \rightarrow \infty} n\left(\bar{F}\left(e_n\right)\right)=\xi$ (ii) $\lim {n \rightarrow \infty} P\left(X_{n, n} \leq e_n\right)=\frac{\mathrm{e}^{-\xi}}{}$
Proof. Suppose (i) is true, then
\begin{aligned} & \left.\lim {n \rightarrow \infty} P\left(X{n, n} \leq e_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} F^n\left(e_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)\right)^n \ & =\lim {n \rightarrow \infty}(1-\xi / \mathrm{n}+\mathrm{o}(1))^{\mathrm{n}}=\mathrm{e}^{-\xi} . \end{aligned} Suppose (ii) is true, then $$\left.\mathrm{e}^{-\bar{\zeta}}=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(X_{n, n} \leq e_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} F^n\left(e_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)\right)^n$$
Taking the logarithm of the above expression, we get
$$\left.\lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)=-\xi \cdot n \bar{F}\left(e_n\right)\right)(1+o(1)) \rightarrow \xi$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|CHARACTERIZATIONS BY IDENTICAL DISTRIBUTION

$$\int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} f(u) d u=\Gamma(n)$$

$$\begin{gathered} \left.\int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} r(u) f(u+z) d u=f(z) \text { Using } \int_0^{\infty} R(u)\right]^{n-1} f(u) d u-1 . \ \int_0^{\infty}[R(u)]^{n-1} f(u)\left[f(u+z)(\bar{F}(u))^{-1}-f(z)\right] d u=0, \quad \mathrm{z}>0 . \end{gathered}$$

$$\left.\int_0^{\infty} R(u)\right]^{n-1} f(u)\left[\bar{F}\left(u+z_1\right)(\bar{F}(u))^{-1}-\bar{F}\left(z_1\right)\right] d u=0, \quad \mathrm{z}_1>0 .$$

$$\bar{F}\left(u+z_1\right)(\bar{F}(u))^{-1}=\bar{F}\left(z_1\right), z_1>0 .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|DOMAIN OF ATTRACTION

$F$. 考虑一个序列 $\backslash$ left(e_n, \mathrm ${\mathrm{n}} \backslash \mathrm{geq} 1 \backslash r i g h t}$ 的实数。然后对于任何 $\xi, 0 \leq \xi<\infty$, 下面两个语句 是等价的
(i) $\lim n \rightarrow \infty n\left(\bar{F}\left(e_n\right)\right)=\xi\left(\right.$ 二 $\lim n \rightarrow \infty P\left(X_{n, n} \leq e_n\right)=\frac{\mathrm{e}^{-\xi}}{}$

$\left.\lim n \rightarrow \infty P\left(X n, n \leq e_n\right)=\lim n \rightarrow \infty F^n\left(e_n\right)=\lim n \rightarrow \infty\left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)\right)^n \quad=\lim n \rightarrow \infty(1-\xi / \mathrm{n}+\mathrm{o}(1))^{\mathrm{n}}=\mathrm{e}^{-\xi}$

$$\left.\mathrm{e}^{-\bar{\zeta}}=\lim n \rightarrow \infty P\left(X_{n, n} \leq e_n\right)=\lim n \rightarrow \infty F^n\left(e_n\right)=\lim n \rightarrow \infty\left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)\right)^n$$

$$\left.\lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1-\bar{F}\left(e_n\right)\right)=-\xi \cdot n \bar{F}\left(e_n\right)\right)(1+o(1)) \rightarrow \xi$$

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## MATLAB代写

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