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数学代写|信息论代写Information Theory代考|A Baffling Experiments in Systems of Interacting Particles

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数学代写|信息论代写Information Theory代考|A Baffling Experiments in Systems of Interacting Particles

数学代写|信息论代写Information Theory代考|“Entropy of Mixing” of Two Different Ideal Gas

In this section we briefly mention two baffling experiment. For more details, the reader is referred to Ben-Naim [11]. In this Chapter we studied two apparently very different processes. One is an expansion of an ideal gas from $V$ to $2 V$. The second is mixing of two different gases. In both of this processes we saw that the main “driving force” is the tendency of the locational distribution function to evolve into a distribution that maximizes the SMI. In both processes, at the instant we remove the partition we have a distribution which is a step-function with a constant value in one compartment, and zero value in the second compartment. This distribution starts to evolve right after the removal of the partition until we reach a final distribution which is uniform in the entire new volume of $2 \mathrm{~V}$. This final distribution is also the equilibrium one. This is the reason why we identify the distribution which maximizes the SMI with the equilibrium distribution. This is also why we identify the tendency to evolve into the new equilibrium state as one manifestation of the Second Law of thermodynamics.

We say that these two processes are irreversible-meaning that we never observe the reversal of these processes. A gas occupying the volume $2 V$ will never be found in a smaller region, say, in one compartment of volume $V$, and a mixture of two gases will never separate into two places each containing only one component.

All that has been said above regarding ideal gases is true. It is, in general not true when there are strong intermolecular interactions. Here, we describe in a qualitative manner how a seemingly reversal of both of the processes of expansion and mixing can occur. A more quantitative discussion of such processes is available in Ben-Naim $[11]$

Supposed we start with a system of two compartments, Fig. 4.11. The left contains $N_A$ molecules of type $A$ in a solvent $\alpha$. The right contains $N_A$ molecules of type $A$ in a solvent $\beta$. The two solvents are transparent, but $\mathrm{A}$ is blue.

Initially, all the $2 N_A$ molecules are distributed in the entire system of volume $2 \mathrm{~V}$. We now remove the constraint that allows the passage of A molecules between the two compartments. If $\mathrm{A}$ interacts very strongly and attractively with the solvent $\alpha$, then we shall observe that most of the A molecules will move into the left compartment. The “driving force” for this process is the strong solvation of A in $\alpha$. Since the two solvents are transparent, an observer who is not aware of the existence of the solvents $\alpha$ and $\beta$ will “see” that the blue molecules A move from occupying the entire volume $2 V$ into the smaller region of volume $V$. This will seem to the observer as a “reversal” of the expansion process.

数学代写|信息论代写Information Theory代考|Communal SMI and Communal Entropy

The concept of communal entropy has featured within the lattice models of liquids and mixtures. In this section we show first that this communal SMI is due to a combination of assimilation and expansion. And second, that this communal SMI turns to entropy only when the number of particles in each cell is very large.

Figure 4.12 depicts a process which called delocalization. Initially, we have $N$ particles, each confined to a cell of size $v$. We remove all the partitions and the particles are allowed to occupy the entire volume $V$. The change in entropy in this process is:
$$
\begin{aligned}
\Delta S= & S(\text { ideal gas })-S(\text { localized }) \
= & k N \ln \left(\frac{V}{\Lambda^3}\right)-k \ln N !+\frac{3 k N}{2} \
& -k N \ln \left(v / \Lambda^3\right)-\frac{3 k N}{2}
\end{aligned}
$$
Here $v=V / N$ is the volume of each call. Application of the Stirling approximation to $\ln N$ ! yields:
$$
\Delta S=k N
$$
The quantity $k N$, in Eq. (4.27) is known as the communal entropy, or the “delocalization” entropy. In fact, $\Delta S$ in Eq. (4.27) is the sum of two effects; the increase of the accessible volume, for each particle from $v$ to $V$, and the assimilation of $N$ particles. These two contributions are explicitly given by:

$$
\Delta S=k \ln \left(\frac{V}{v}\right)-k \ln N !
$$
Note that the volume per particle is denoted by $v=V / N$. Clearly, first term on the right hand side of (4.28) is the dominating one, i.e., the contribution of the volume change accessible to each particle is larger than the assimilation contribution.
Using the Stirling approximation, we get approximately:
$$
\Delta S=k N \ln N-(k N \ln N-k N)=k N
$$

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信息论代写

数学代写|信息论代写Information Theory代考|“Entropy of Mixing” of Two Different Ideal Gas

在本节中,我们简要提及两个莫名其妙的实验。有关详细信息,请读者参考 Ben-Naim [11]。在本章中,我们 研究了两个明显不同的过程。一种是理想气体的膨胀 $V$ 到 $2 V$. 第二种是混合两种不同的气体。在这两个过程 中,我们看到主要的“驱动力”是位置分布函数演化为最大化 SMI 的分布的趋势。在这两个过程中,在我们删除 分区的那一刻,我们有一个分布,它是一个阶梯函数,在一个隔间中具有常量值,在第二个隔间中具有䨐值。 该分布在删除分区后立即开始演变,直到我们达到在整个新体积中均匀的最终分布 $2 \mathrm{~V}$. 这个最终分布也是均衡 分布。这就是为什么我们用均衡分布来确定最大化 SMI 的分布的原因。这也是为什么我们将进化到新的平衡状 态的趋势确定为热力学第二定律的一种表现形式。
我们说这两个过程是不可逆的一一意思是我们从来没有观察到这些过程的逆转。占据体积的气体 $2 V$ 永远不会在 较小的区域中找到,例如,在体积的一个隔间中 $V$ ,并且两种气体的混合物永远不会分成两个地方,每个地方只 包含一种成分。
上面所说的关于理想气体的所有内容都是正确的。当存在强烈的分子间相互作用时,通常情况并非如此。在这 里,我们以定性的方式描述了膨胀和混合过程的看似逆转是如何发生的。在 Ben-Naim 中可以找到对此类过程 的更定量的讨论 $[11]$
假设我们从两个隔间的系统开始,图 4.11。左边包含 $N_A$ 分子类型 $A$ 在溶剂中 $\alpha$. 权利包含 $N_A$ 分子类型 $A$ 在溶剂 中 $\beta$. 两种溶剂都是逶明的,但 $\mathrm{A}$ 是蓝色的。
最初,所有的 $2 N_A$ 分子分布在整个体积系统中 $2 \mathrm{~V}$. 我们现在移除允许 A 分子在两个隔间之间通过的约束。如 果 $\mathrm{A}$ 与溶剂相互作用非常强烈且有吸引力 $\alpha$, 然后我们将观察到大多数 $\mathrm{A}$ 分子将移动到左侧隔间。这个过程的 “驱动力”是 $\mathrm{A}$ 在 $\alpha$. 由于这两种溶剂是透明的,观察者不知道溶剂的存在 $\alpha$ 和 $\beta$ 将“看到”蓝色分子 A 不再占据整 个体积 $2 V$ 进入较小的体积区域 $V$. 在观察者看来,这似乎是扩张过程的“逆转”。

数学代写|信息论代写Information Theory代考|Communal SMI and Communal Entropy

公共謪的概念在液体和混合物的晶格模型中具有特色。在本节中,我们首先表明这种公共 SMI 是由于同化和扩 张的结合。其次,只有当每个细胞中的粒子数量非常大时,这种公共 SMI 才会转化为樀。
图 4.12 描绘了一个称为离域化的过程。最初,我们有 $N$ 颗粒,每个都限制在一个大小的单元格中 $v$. 我们移除所 有分区,允许粒子占据整个体积 $V$. 这个过程中樀的变化是:
$$
\Delta S=S(\text { ideal gas })-S(\text { localized })=\quad k N \ln \left(\frac{V}{\Lambda^3}\right)-k \ln N !+\frac{3 k N}{2}-k N \ln \left(v / \Lambda^3\right)-\frac{3 k N}{2}
$$
这里 $v=V / N$ 是每次通话的音量。斯特林近似的应用 $\ln N !$ 产量:
$$
\Delta S=k N
$$
数量 $k N$ ,在方程式中。(4.27) 被称为公共樀,或“离域”樀。实际上, $\Delta S$ 在等式中 (4.27) 是两个效应的总 和;可访问体积的增加,对于来自 $v$ 到 $V$ ,以及同化 $N$ 粒子。这两个贡献由以下人员明确给出:
$$
\Delta S=k \ln \left(\frac{V}{v}\right)-k \ln N !
$$
请注意,每个粒子的体积表示为 $v=V / N$. 显然,(4.28) 右边的第一项是主导项,即每个粒子可及的体积变 化的贡献大于同化贡献。
使用斯特林近似,我们得到大约:
$$
\Delta S=k N \ln N-(k N \ln N-k N)=k N
$$

数学代写|信息论代写Information Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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