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数学代写|信息论代写Information Theory代考|“Entropy of Mixing” of Two Different Ideal Gas

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The reader should note that we enclosed the words “Entropy of Mixing” in quotation marks. The reason, as we shall soon see, is that the very term “entropy of mixing” is not appropriate for the change in entropy we observe in the processes shown in Fig. 4.1a.

Before we analyze and interpret this process we first discuss a simpler process; an expansion of ideal gas from $V$ to $2 V$, Fig. 4.2. It is straightforward to calculate the entropy-change for this process. The partition function (PF) of an ideal gas of $N$ particles at temperature $T$ and volume $V$ is:
$$
Q(T, V, N)=\frac{q^N V^N}{\Lambda^{3 N} N !}
$$
Here, $q$ is the internal function of each molecule, $\Lambda^{3 N}$ is the momentum PF. Both of these quantities will be unchanged in all the processes discussed in this chapter, for details see Ben-Naim $[5,6]$.

The change in the Helmholtz energy for the process of expansion in Fig. 4.2 is:
$$
\begin{aligned}
& \Delta A=-k_B T \ln \frac{(2 V)^N}{V^N}=-k_B T \ln 2^N \
& \Delta S=-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=k_B \ln 2^N=-k_B N \ln 2
\end{aligned}
$$
Dividing $\Delta S$ by $k_B \ln 2$, we obtain the change in the SMI for this process:
$$
\Delta \mathrm{SMI}=N
$$

数学代写|信息论代写Information Theory代考|Entropy of Assimilation

Before we define the concept of assimilation, let us go back to Gibbs who analyzed the process of mixing. As we pointed out in Sect. 4.1, Gibbs was puzzled by the fact that the so-called “entropy of mixing” for the process shown in Fig. 4.1a is independent of the type of gases. Gibbs is also credited for the introduction of the factor $N$ ! to account for the indistinguishability of the particles (see Ben-Naim [5-7]). Gibbs also understood why the entropy-change in the process of Fig. $4.1 \mathrm{~b}$ is zero. Numerous authors who discuss the two processes in Fig. 4.1, noted that the entropychange drops sharply and discontinuously from $k_B N \ln 2$ to zero when the two gases become identical. They referred to this puzzling fact as the Gibbs Paradox. In fact, there is no Gibbs Paradox, and Gibbs never saw any paradox in the fact that $\Delta S=0$ in the process of Fig. 4.1b. Gibbs, as we noted in the previous section attributed the “entropy of mixing” in Fig. 4.1a to the mixing. In the process of Fig. 4.1b there is no mixing, hence we should not expect any “entropy of mixing.” Here is what Gibbs had to say about this process.

If we should bring into contact two masses of the same kind of gas, they would also mix but there would be no increase in entropy.

When we say that when two different gases mix by diffusion … and the entropy receives a certain increase, we mean that the gases could be separated and brought to the same volume…by means of certain changes in external bodies, for example, by the passage of a certain amount of heat from a warmer to a colder body. But when we say that when two gas masses of the same kind are mixed under similar circumstances, there is no change of energy or entropy, we do not mean that the gases which have been mixed can be separated without change to external bodies. On the contrary, the separation of the gases is entirely impossible.
Gibbs distinguished between the two processes in Fig. 4.1, by referring to the first as mixing of “two different gases,” and to the second as mixing “two gas masses of the same kind.” We shall use the term “mixing” (i.e. proper mixing) for the former, and “assimilation” for the latter, i.e. when two gases of the same kind are mixed. A more precise definition of assimilation will be discussed below.

In the quoted paragraph Gibbs states something quite interesting. The process in Fig. 4.1a, which we all know is an irreversible process, can be reversed. On the other hand, the process in Fig. 4.1b, which is a “non-process,” or a “reversible process,” cannot be reversed, “on the contrary, the separation of the gases is entirely impossible.”

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信息论代写

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读者应该注意到,我们用引号将“混合樀”这个词括起来了。正如我们很快就会看到的那样,原因是术语“混合樀” 并不适合我们在图 4.1a 所示过程中观察到的樀变化。
在我们分析和解释这个过程之前,我们首先讨论一个更简单的过程;理想气体的膨胀 $V$ 到 $2 V$ ,图 4.2。计算此 过程的樀变很简单。理想气体的配分函数 (PF) $N$ 温度下的颗粒 $T$ 和音量 $V$ 是:
$$
Q(T, V, N)=\frac{q^N V^N}{\Lambda^{3 N} N !}
$$
这里, $q$ 是每个分子的内部功能, $\Lambda^{3 N}$ 是动量 PF。这两个量在本章讨论的所有过程中都不会发生变化,详情参 见 Ben-Naim $[5,6]$.
图 4.2 中膨胀过程的亥姆霍兹能量变化为:
$$
\Delta A=-k_B T \ln \frac{(2 V)^N}{V^N}=-k_B T \ln 2^N \quad \Delta S=-\frac{\partial \Delta A}{\partial T}=k_B \ln 2^N=-k_B N \ln 2
$$
划分 $\Delta S$ 经过 $k_B \ln 2$ ,我们获得此过程的 $\mathrm{SMI}$ 的变化:
$$
\Delta \mathrm{SMI}=N
$$

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在我们定义同化的概念之前,让我们回到分析混合过程的吉布斯。正如我们在 Sect. 4.1,吉布斯对 图 4.1a 所尔过程的所谓“混合熵”与气体类型无关这一事实感到困惑。Gibbs 也因引入该因子而受到 兟誉 $N$ ! 以解释粒子的不可区分性(参见 Ben-Naim [5-7]) 。吉布斯也理解了为什么图 1 过程中 的樀变。 4.1 b为零。许多讨论图 4.1 中两个过程的作者指出,樀变从 $k_B N \ln 2$ 当两种气体变得相 同时为零。他们将这个令人费解的事实称为吉布斯悖论。事实上,不存在吉布斯悖论,而且吉布斯也 从末在以下事实中看到任何悖论: $\Delta S=0$ 在图 4.1b 的过程中。正如我们在上一节中提到的,吉布 斯将图 4.1a 中的“混合熵”归因于混合。在图 4.1b 的过程中没有混合,因此我们不应该期待任何“混 合熵”。以下是 Gibbs 对这个过程的看法。
如果我们让两团同种气体接触,它们也会混合,但熵不会增加。
当我们说当两种不同的气体通过扩散混合……并且熵得到一定的增加时,我们的意思是气体可以分离 并达到相同的体积…..通过外部物体的某些变化,例如,通过通道一定量的热量从温暖的身体传到寒 冷的身体。但是,当我们说两种同类气体在相似情况下混合时,能量或熵没有变化,并不是说混合后 的气体可以在不改变外界物体的情况下分离。相反,气体的分离是完全不可能的。
吉布斯在图 4.1 中区分了这两个过程,将第一个过程称为“两种不同气体”的混合,将第二个过程称为 “相同种类的两种气体“的混合。我们将对前者使用术语“混合”(即适当混合),对后者使用术语“同 化”,即当两种相同种类的气体混合时。下面将讨论同化的更精确定义。
在引用的段落中,吉布斯陈述了一些非常有趣的事情。图 4.1a 中的过程,众所周知是一个不可逆的 过程,是可以逆转的。另一方面,图4.1b中的过程是“非过程”或“可逆过程”,不能逆转,“相反,气 体的分离是完全不可能的。”

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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