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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Completion of a Metric Space

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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何,在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的,线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域,因为它可以对许多自然现象进行建模,并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统,它经常被用来处理一阶近似,利用这样一个事实:一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。

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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Completion of a Metric Space

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Completion of a Metric Space

While not all metric spaces are complete, any metric space can be embedded in a complete metric space. To be more specific, we have the following important theorem.

Theorem 12.8 Let $(M, d)$ be any metric space. Then there is a complete metric space $\left(\mathrm{M}^{\prime}, d^{\prime}\right)$ and an isometry $\tau: M \rightarrow \tau(\mathrm{M}) \subset \mathrm{M}^{\prime}$ for which $\tau(M)$ is dense in $M^{\prime}$. The metric space $\left(M^{\prime}, d^{\prime}\right)$ is called a completion of $(\mathrm{M}, d)$. Moreover, $\left(\mathrm{M}^{\prime}, d^{\prime}\right)$ is unique, up to bijective isometry.

Proof. The proof is a bit lengthy, so we divide it into various parts. We can simplify the notation considerably by thinking of sequences $\left(x_n\right)$ in $M$ as functions $f: N \rightarrow M$, where $f(n)=x_n$.
Cauchy Sequences in $M$
The basic idea is to let the elements of $M^{\prime}$ be equivalence classes of Cauchy sequences in M. So let $\operatorname{CS}(M)$ denote the set of all Cauchy sequences in $M$. If $f, g \in C S(M)$ then, intuitively speaking, the terms $f(n)$ get closer together as $n \rightarrow \infty$, and so do the terms $g(n)$. Therefore, it seems reasonable that $d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})$ ) should approach a finite limit as $\mathrm{n} \rightarrow \infty$. Indeed, according to Exercise 2 ,
$$
|d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))-d(\mathrm{f}(\mathrm{m}), \mathrm{g}(\mathrm{m}))| \leq d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{f}(\mathrm{m}))+d(\mathrm{~g}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{m})) \rightarrow 0
$$
as $\mathrm{n}, \mathrm{m} \rightarrow \infty$, and so $d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})$ ) is a Cauchy sequence of real numbers, which implies that
$$
\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))<\infty
$$
(That is, the limit exists and is finite.)

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Equivalence Classes of Cauchy Sequences in M

We would like to define a metric $d^{\prime}$ on the set $\operatorname{CS}(\mathrm{M})$ by
$$
d^{\prime}(\mathrm{f}, \mathrm{g})=\lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) $$ However, it is possible that $$ \lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))=0
$$
for distinct sequences $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$, so this does not define a metric. Thus, we are lead to define an equivalence relation on $\operatorname{CS}(\mathrm{M})$ by
$$
\mathrm{f} \sim \mathrm{g} \Leftrightarrow \lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))=0 $$ Let $\overline{\operatorname{CS}(M)}$ be the set of all equivalence classes of Cauchy sequences, and define, for $\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}} \in \overline{\mathrm{CS}(\mathrm{M})}$ $$ d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}})=\lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
where $\mathrm{f} \in \overline{\mathrm{f}}$ and $\mathrm{g} \in \overline{\mathrm{g}}$.
To see that $d^{\prime}$ is well-defined, suppose that $f^{\prime} \in \bar{f}$ and $g^{\prime} \in \bar{g}$. Then since $f^{\prime} \sim \mathrm{f}$ and $g^{\prime} \sim \mathrm{g}$, we have
$$
\left|d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{n})\right)-d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))\right| \leq d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{f}(\mathrm{n})\right)+d\left(\mathrm{~g}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})\right) \rightarrow 0
$$
as $\mathrm{n} \rightarrow \infty$. Thus,
$$
\begin{aligned}
\mathrm{f}^{\prime} \sim \mathrm{f} \text { and } \mathrm{g}^{\prime} \sim \mathrm{g} & \Rightarrow \lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{n})\right)=\lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \
& \Rightarrow d^{\prime}\left(\mathrm{f}^{\prime}, \mathrm{g}^{\prime}\right)=d^{\prime}(\mathrm{f}, \mathrm{g})
\end{aligned}
$$
which shows that $d^{\prime}$ is well-defined. To see that $d^{\prime}$ is a metric, we verify the triangle inequality, leaving the rest to the reader. If $f, g$ and $\mathrm{h}$ are Cauchy sequences, then
$$
d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \leq d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{h}(\mathrm{n}))+d(\mathrm{~h}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
Taking limits gives
$$
\lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \leq \lim {\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{h}(\mathrm{n}))+\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{~h}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
and so
$$
d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}}) \leq d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{h}})+d^{\prime}(\overline{\mathrm{h}}, \overline{\mathrm{g}})
$$

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Completion of a Metric Space

线性代数代写

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Completion of a Metric Space

虽然并非所有度量空间都是完备的,但任何度量空间都可以嵌入到完备度量空间中。更具体地说,我 们有以下重要定理。
定理 12.8 让 $(M, d)$ 是任何度量空间。则有完备度量空间 $\left(\mathrm{M}^{\prime}, d^{\prime}\right)$ 和等距 $\tau: M \rightarrow \tau(\mathrm{M}) \subset \mathrm{M}^{\prime}$ 为了哪个 $\tau(M)$ 密集在 $M^{\prime}$. 度量空间 $\left(M^{\prime}, d^{\prime}\right)$ 称为完成 $(\mathrm{M}, d)$. 而且, $\left(\mathrm{M}^{\prime}, d^{\prime}\right)$ 是唯一的,直到双 身等距。
证明。证明有点长,所以我们把它分成不同的部分。我们可以通过考虑序列来大大简化符号 $\left(x_n\right)$ 在 $M$ 作为功能 $f: N \rightarrow M$ , 在哪里 $f(n)=x_n$.
中的柯西序列 $M$
基本思想是让元素 $M^{\prime}$ 是 M 中 Cauchy 序列的等价类。所以让 $\mathrm{CS}(M)$ 表示所有柯西序列的集合 $M$ . 如果 $f, g \in C S(M)$ 那么,直觉上,术语 $f(n)$ 靠得更近 $n \rightarrow \infty$, 条款也是如此 $g(n)$. 因此,这似 平是合理的 $d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))$ 应该接近一个有限的极限 $\mathrm{n} \rightarrow \infty$. 事实上,根据练习2,
$$
|d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))-d(\mathrm{f}(\mathrm{m}), \mathrm{g}(\mathrm{m}))| \leq d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{f}(\mathrm{m}))+d(\mathrm{~g}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{m})) \rightarrow 0
$$
作为 $\mathrm{n}, \mathrm{m} \rightarrow \infty$ ,所以 $d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))$ 是一个柯西实数序列,这意味着
$$
\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))<\infty
$$
(也就是说,极限存在并且是有限的。)

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Equivalence Classes of Cauchy Sequences in M

我们想定义一个指标 $d^{\prime}$ 在片场 $\mathrm{CS}(\mathrm{M})$ 经过
$$
d^{\prime}(\mathrm{f}, \mathrm{g})=\lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
然而,有可能
$$
\lim n \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))=0
$$
对于不同的序列和g,所以这没有定义度量。因此,我们被引导定义一个等价关系CS $\mathrm{CM})$ 经过
$$
\mathrm{f} \sim \mathrm{g} \Leftrightarrow \lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))=0
$$
让 $\overline{\mathrm{CS}(M)}$ 是柯西序列的所有等价类的集合,并定义,对于 $\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}} \in \overline{\mathrm{CS}(\mathrm{M})}$
$$
d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}})=\lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
在哪里 $\mathrm{f} \in \overline{\mathrm{f}}$ 和 $g \in \overline{\mathrm{g}}$.
看到那个 $d^{\prime}$ 是明确定义的,假设 $f^{\prime} \in \bar{f}$ 和 $g^{\prime} \in \bar{g}$. 然后因为 $f^{\prime} \sim \mathrm{f}$ 和 $g^{\prime} \sim \mathrm{g}$ ,我们有
$$
\left|d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{n})\right)-d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))\right| \leq d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{f}(\mathrm{n})\right)+d\left(\mathrm{~g}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})\right) \rightarrow 0
$$
作为 $n \rightarrow \infty$. 因此,
$$
\mathrm{f}^{\prime} \sim \mathrm{f} \text { and } \mathrm{g}^{\prime} \sim \mathrm{g} \Rightarrow \lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{n}), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{n})\right)=\lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \quad \Rightarrow d^{\prime}\left(\mathrm{f}^{\prime}, \mathrm{g}^{\prime}\right)=d^{\prime}(\mathrm{f}, \mathrm{g})
$$
这表明 $d^{\prime}$ 定义明确。看到那个 $d^{\prime}$ 是一个度量,我们验证二角不等式,剩下的留给读者。如果 $f, g$ 和h 是柯西序列,那么
$$
d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \leq d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{h}(\mathrm{n}))+d(\mathrm{~h}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
采取限制给
$$
\lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n})) \leq \lim \mathrm{n} \rightarrow \infty d(\mathrm{f}(\mathrm{n}), \mathrm{h}(\mathrm{n}))+\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} d(\mathrm{~h}(\mathrm{n}), \mathrm{g}(\mathrm{n}))
$$
所以
$$
d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{g}}) \leq d^{\prime}(\overline{\mathrm{f}}, \overline{\mathrm{h}})+d^{\prime}(\overline{\mathrm{h}}, \overline{\mathrm{g}})
$$

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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