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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

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数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

Closely related to the Jacobi Method is an iteration called the Gauss-Seidel Method. The only difference between Gauss-Seidel and Jacobi is that in the former, the most recently updated values of the unknowns are used at each step, even if the updating occurs in the current step. Returning to Example 2.19, we see that Gauss-Seidel looks like this:
$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{l}
u_0 \
v_0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \
0
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_1 \
v_1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_0}{3} \
\frac{5-u_1}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5-0}{3} \
\frac{5-5 / 3}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5}{3} \
\frac{5}{3}
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_2 \
v_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_1}{3} \
\frac{5-u_2}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5-5 / 3}{3} \
\frac{5-10 / 9}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{10}{9} \
\frac{35}{18}
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_3 \
v_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_2}{3} \
\frac{5-u_3}{2}
\end{array}\right]=\left[\frac{5-35 / 18}{3}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{55}{54} \
\frac{5-55 / 54}{2}
\end{array}\right] .}
\end{aligned}
$$
Note the difference between Gauss-Seidel and Jacobi: The definition of $v_1$ uses $u_1$, not $u_0$. We see the approach to the solution $[1,2]$ as with the Jacobi Method, but somewhat more accurately at the same number of steps. Gauss-Seidel often converges faster than Jacobi if the method is convergent. Theorem 2.11 verifies that the GaussSeidel Method, like Jacobi, converges to the solution as long as the coefficient matrix is strictly diagonally dominant.

Gauss-Seidel can be written in matrix form and identified as a fixed-point iteration where we isolate the equation $(L+D+U) x=b$ as
$$
(L+D) x_{k+1}=-U x_k+b
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Convergence of iterative methods

In this section we prove that the Jacobi and Gauss-Seidel Methods converge for strictly diagonally dominant matrices. This is the content of Theorems 2.10 and 2.11 .
The Jacobi Method is written as
$$
x_{k+1}=-D^{-1}(L+U) x_k+D^{-1} b
$$
Theorem A.7 of Appendix A governs convergence of such an iteration. According to this theorem, we need to know that the spectral radius $\rho\left(D^{-1}(L+U)\right)<1$ in order to guarantee convergence of the Jacobi Method. This is exactly what strict diagonal dominance implies, as shown next.

Proof of Theorem 2.10. Let $R=L+U$ denote the nondiagonal part of the matrix. To check $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$, let $\lambda$ be an eigenvalue of $D^{-1} R$ with corresponding eigenvector $v$. Choose this $v$ so that $|v|_{\infty}=1$, so that for some $1 \leq m \leq n$, the component $v_m=1$ and all other components are no larger than 1 . (This can be achieved by starting with any eigenvector and dividing by the largest component. Any constant multiple of an eigenvector is again an eigenvector with the same eigenvalue.) The definition of eigenvalue means that $D^{-1} R v=\lambda v$, or $R v=\lambda D v$.

Since $r_{m m}=0$, taking absolute values of the $m$ th component of this vector equation implies
$$
\begin{aligned}
& \left|r_{m 1} v_1+r_{m 2} v_2+\cdots+r_{m, m-1} v_{m-1}+r_{m, m+1} v_{m+1}+\cdots+r_{m n} v_n\right| \
& \quad=\left|\lambda d_{m m} v_m\right|=|\lambda|\left|d_{m m}\right| .
\end{aligned}
$$
Since all $\left|v_i\right| \leq 1$, the left-hand side is at most $\sum_{j \neq m}\left|r_{m j}\right|$, which, according to the strict diagonal dominance hypothesis, is less than $\left|d_{m m}\right|$. This implies that $|\lambda|\left|d_{m m}\right|<$ $\left|d_{m m}\right|$, which in turn forces $|\lambda|<1$. Since $\lambda$ was an arbitrary eigenvalue, we have shown $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$, as desired. Now Theorem A.7 from Appendix A implies that Jacobi converges to a solution of $A x=b$. Finally, since $A x=b$ has a solution for arbitrary $b$, $A$ is a nonsingular matrix.
Putting the Gauss-Seidel Method into the form of (2.43) yields
$$
x_{k+1}=-(L+D)^{-1} U x_k+(L+D)^{-1} b
$$

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数值分析代写

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与雅可比方法密切相关的是称为高斯-褰德尔方法的迭代。Gauss-Seidel 和 Jacobi 之间的唯一区别是,在前 者中,即使更新发生在当前步骙中,每一步都使用最近更新的末知数值。回到示例 2.19 ,我们看到 GaussSeidel 看起来像这样:
$$
\left[\begin{array}{ll}
u_0 & v_0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0
\end{array}\right] \quad\left[u_1 v_1\right]=\left[\frac{5-v_0}{3} \frac{5-u_1}{2}\right]=\left[\frac{5-0}{3} \frac{5-5 / 3}{2}\right]=\left[\frac{5}{3} \frac{5}{3}\right]\left[u_2 v_2\right]=\left[\frac{5-v_1}{3} \frac{5-u_2}{2}\right]=\left[\frac{5-5 / 3}{3} \frac{5-10 / 9}{2}\right]=\left[\frac{10}{9} \frac{35}{18}\right]
$$
注意 Gauss-Seidel 和 Jacobi 的区别: $v_1$ 使用 $u_1$ ,不是 $u_0$. 我们看到解决方案的方法 $[1,2]$ 与雅可比方法一 样,但在相同的步数下更准确。如果方法收敛,Gauss-Seidel 通常比 Jacobi 收敛得更快。定理 2.11 验证了 只要系数矩阵严格对角占优,GaussSeidel 方法与雅可比一样收敛于解。
Gauss-Seidel 可以写成矩阵形式并确定为定点迭代,我们在其中分离方程 $(L+D+U) x=b$ 作为
$$
(L+D) x_{k+1}=-U x_k+b
$$

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在本节中,我们证明 Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法收敛于严格对角占优矩阵。这就是定理 2.10 和 2.11 的内 容。
雅可比方法写为
$$
x_{k+1}=-D^{-1}(L+U) x_k+D^{-1} b
$$
附录 A 的定理 A.7 控制此类迭代的收敛。根据这个定理,我们需要知道光谱半径 $\rho\left(D^{-1}(L+U)\right)<1$ 为了 保证雅可比方法的收敛性。这正是严格的对角线优势所暗示的,如下所示。
定理 2.10 的证明。让 $R=L+U$ 表示矩阵的非对角线部分。去检查 $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$ ,让 $\lambda$ 是一个特征值 $D^{-1} R$ 具有相应的特征向量 $v$. 选择这个 $v$ 以便 $|v|{\infty}=1$, 所以对于一些 $1 \leq m \leq n$, 组件 $v_m=1$ 和所有其他 组件不大于 1。。这可以通过从任何特征向量开始并除以最大分量来实现。特征向量的任何常数倍数也是具有 相同特征值的特征向量。)特征值的定义意味着 $D^{-1} R v=\lambda v$ ,或者 $R v=\lambda D v$. 自从 $r{m m}=0$ ,取的绝对值 $m$ 这个向量方程的第 th 个分量意味着
$$
\left|r_{m 1} v_1+r_{m 2} v_2+\cdots+r_{m, m-1} v_{m-1}+r_{m, m+1} v_{m+1}+\cdots+r_{m n} v_n\right| \quad=\left|\lambda d_{m m} v_m\right|=|\lambda|\left|d_{m m}\right| .
$$
由于所有 $\left|v_i\right| \leq 1$ ,左边最多 $\sum_{j \neq m}\left|r_{m j}\right|$ ,根据严格的对角优势假设,它小于 $\left|d_{m m}\right|$. 这意味蒠 $|\lambda|\left|d_{m m}\right|<$ $\left|d_{m m}\right|$ ,这反过来又迫使 $|\lambda|<1$. 自从 $\lambda$ 是一个任意的特征值,我们已经证明 $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$ ,如预期的。 现在附录 A 中的定理 A.7 意味着 Jacobi 收玫到一个解 $A x=b$. 最后,由于 $A x=b$ 有任意解 $b, A$ 是非奇异矩 阵。
将 Gauss-Seidel 方法转化为 (2.43) 的形式得到
$$
x_{k+1}=-(L+D)^{-1} U x_k+(L+D)^{-1} b
$$

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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