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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

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数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法(相对于符号操作)来解决数学分析的问题(区别于离散数学)。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用,在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能,在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括:天体力学中的常微分方程(预测行星、恒星和星系的运动),数据分析中的数值线性代数,以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

The elimination step for a system of $n$ equations in $n$ variables can be completed in $\frac{2}{3} n^3$ $+\frac{1}{2} n^2-\frac{7}{6} n$ operations.

Normally, the exact operation count is less important than order-of-magnitude estimates, since the details of implementation on various computer processors differ. The main point is that the number of operations is approximately proportional to the execution time of the algorithm. We will commonly make the approximation of $\frac{2}{3} n^3$ operations for elimination, which is a reasonably accurate approximation when $n$ is large.
After the elimination is completed, the tableau is upper triangular:
$$
\left[\begin{array}{cccc:c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} & b_1 \
0 & a_{22} & \ldots & a_{2 n} & b_2 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
0 & 0 & \ldots & a_{n n} & b_n
\end{array}\right]
$$
In equation form,
$$
\begin{aligned}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =b_1 \
a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n & =b_2 \
& \vdots \
a_{n n} x_n & =b_n,
\end{aligned}
$$
where, again, the $a_{i j}$ refer to the revised, not original, entries. To complete the computation of the solution $x$, we must carry out the back-substitution step, which is simply a rewriting of $(2.8)$ :
$$
\begin{aligned}
x_1 & =\frac{b_1-a_{12} x_2-\cdots-a_{1 n} x_n}{a_{11}} \
x_2 & =\frac{b_2-a_{23} x_3-\cdots-a_{2 n} x_n}{a_{22}} \
& \vdots \
x_n & =\frac{b_n}{a_{n n}} .
\end{aligned}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the back-substitution step of Gaussian elimination

The back-substitution step for a triangular system of $n$ equations in $n$ variables can be completed in $n^2$ operations.

The two operation counts, taken together, show that Gaussian elimination is made up of two unequal parts: the relatively expensive elimination step and the relatively cheap back-substitution step. If we ignore the lower order terms in the expressions for the number of multiplication/divisions, we find that elimination takes on the order of $2 n^3 / 3$ operations and that back substitution takes on the order of $n^2$.

We will often use the shorthand terminology of “big-O” to mean “on the order of,” saying that elimination is an $O\left(n^3\right)$ algorithm and that back substitution is $O\left(n^2\right)$. This usage implies that the emphasis is on large $n$, where lower powers of $n$ become negligible by comparison. For example, if $n=100$, only about 1 percent or so of the calculation time of Gaussian elimination goes into the back-substitution step. Overall, Gaussian elimination takes $2 n^3 / 3+n^2 \approx 2 n^3 / 3$ operations. In other words, for large $n$, the lower order terms in the complexity count will not have a large effect on the estimate for running time of the algorithm and can be ignored if only an estimated time is required.

Estimate the time required to carry out back substitution on a system of 500 equations in 500 unknowns, on a computer where elimination takes 1 second.

Since we have just established that elimination is far more time consuming than back substitution, the answer will be a fraction of a second. Using the approximate number $2(500)^3 / 3$ for the number of multiply/divide operations for the elimination step, and $(500)^2$ for the back-substitution step, we estimate the time for back substitution to be
$$
\frac{(500)^2}{2(500)^3 / 3}=\frac{3}{2(500)}=0.003 \mathrm{sec} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

系统的消除步骤 $n$ 中的方程式 $n$ 变量可以完成 $\frac{2}{3} n^3+\frac{1}{2} n^2-\frac{7}{6} n$ 操作。
通常,准确的操作计数不如数量级估计重要,因为不同计算机处理器的实现细节不同。要点是运算次数与算法 的执行时间大致成正比。我们通常会做出近似值 $\frac{2}{3} n^3$ 消除操作,这是一个相当准确的近似值,当 $n$ 很大。 消元完成后,画面为上三角:
在方程式中,
$$
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \quad=b_2 \vdots a_{n n} x_n \quad=b_n,
$$
又是哪里 $a_{i j}$ 请参阅修订后的条目,而非原始条目。完成解的计算 $x$ ,我们必须执行反向替换步骙,这只是重写 $(2.8):$
$$
x_1=\frac{b_1-a_{12} x_2-\cdots-a_{1 n} x_n}{a_{11}} x_2=\frac{b_2-a_{23} x_3-\cdots-a_{2 n} x_n}{a_{22}} \vdots x_n \quad=\frac{b_n}{a_{n n}} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the back-substitution step of Gaussian elimination

三角系统的反代换步骤 $n$ 中的方程式 $n$ 变量可以完成 $n^2$ 操作。
这两个操作计数加在一起表明高斯消元由两个不相等的部分组成: 相对昂贵的消元步骙和相对便宜的反向代入 步骤。如果我们忽略乘法/除法次数表达式中的低阶项,我们会发现消元法的顺序为 $2 n^3 / 3$ 操作和反向替换的顺 序 $n^2$.
我们经常使用“big-O”的简写术语来表示“按顺序”,表示消除是一种 $O\left(n^3\right)$ 算法和反向替换是 $O\left(n^2\right)$. 这种用 法意味着重点是大 $n$ ,其中较低的权力 $n$ 相比之下变得微不足道。例如,如果 $n=100$ ,只有约 $1 \%$ 左右的高斯 消元计算时间进入了反向代入步骤。总的来说,高斯消元法需要 $2 n^3 / 3+n^2 \approx 2 n^3 / 3$ 操作。换句话说,对 于大 $n$ ,筫杂度计数中的低阶项不会对算法运行时间的估计产生很大影响,如果只需要估计时间,则可以忽略。
估计在计算机上对包含 500 个方程和 500 个末知数的系统进行反向替换所需的时间,其中消除需要 1 秒。
由于我们刚刚确定消除比回代更耗时,所以答案将是几分之一秒。使用近似数 $2(500)^3 / 3$ 对于消除步骙的乘 法/除法运算次数,以及 $(500)^2$ 对于反向替换步骙,我们估计反向替换的时间为
$$
\frac{(500)^2}{2(500)^3 / 3}=\frac{3}{2(500)}=0.003 \mathrm{sec}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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