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统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Dirichlet Distribution and Sparsity

如果你也在 怎样代写贝叶斯分析Bayesian Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。贝叶斯分析Bayesian Analysis一种统计推断方法(以英国数学家托马斯-贝叶斯命名),它允许人们将关于人口参数的先验信息与样本中包含的信息证据相结合,以指导统计推断过程。首先指定一个感兴趣的参数的先验概率分布。然后通过应用贝叶斯定理获得并结合证据,为参数提供一个后验概率分布。后验分布为有关该参数的统计推断提供了基础。

贝叶斯分析Bayesian Analysis自1763年以来,我们现在所知道的贝叶斯统计学并没有一个明确的运行。尽管贝叶斯的方法被拉普拉斯和当时其他领先的概率论者热情地接受,但在19世纪却陷入了不光彩的境地,因为他们还不知道如何正确处理先验概率。20世纪上半叶,一种完全不同的理论得到了发展,现在称为频繁主义统计学。但贝叶斯思想的火焰被少数思想家保持着,如意大利的布鲁诺-德-菲内蒂和英国的哈罗德-杰弗里斯。现代贝叶斯运动开始于20世纪下半叶,由美国的Jimmy Savage和英国的Dennis Lindley带头,但贝叶斯推断仍然极难实现,直到20世纪80年代末和90年代初,强大的计算机开始广泛使用,新的计算方法被开发出来。随后,人们对贝叶斯统计的兴趣大增,不仅导致了贝叶斯方法论的广泛研究,也导致了使用贝叶斯方法来解决天体物理学、天气预报、医疗保健政策和刑事司法等不同应用领域的迫切问题。

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统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Dirichlet Distribution and Sparsity

统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Dirichlet Distribution and Sparsity

A symmetric Dirichlet distribution (Section 2.2.1) is hyperparametrized by $\alpha>0$. It is a specific case of the Dirichlet distribution in which the hyperparameter vector of the general Dirichlet distribution contains only identical values to $\alpha$. When the hyperparameter of a symmetric Dirichlet distribution $\alpha \in \mathbb{R}$ is chosen such that $\alpha<1$, any point $x \in \mathbb{R}^K$ drawn from the respective Dirichlet will have most of its coordinates close to 0 , and only a few will have a value significantly larger than zero.

The intuition behind this property of the symmetric Dirichlet distribution can be understood when inspecting the main term in the density of the Dirichlet distribution: $\prod_{i=1}^K \theta_i^{\alpha-1}$. When $\alpha<1$, this product becomes $\frac{1}{\prod_{i=1}^K \theta_i^\beta}$ for $0<\beta=\alpha-1$. Clearly, this product becomes very large if one of the $\theta_i$ is close to 0 . If many of the $\theta_i$ are close to 0 , this effect is multiplied, which makes the product even larger. It is therefore true that most of the density for the symmetric Dirichlet with $\alpha<1$ is concentrated around points in the probability simplex where the majority of the $\theta_i$ are close to 0 .

This property of the symmetric Dirichlet has been exploited consistently in the Bayesian NLP literature. For example, Goldwater and Griffiths (2007) defined a Bayesian part-of-speech tagging with hidden Markov models (Chapter 8), in which they used a Dirichlet prior as a prior over the set of multinomials for the transition probabilities and emission probabilities in the trigram hidden Markov model.

For the first set of experiments, Goldwater and Griffiths used a fixed sparse hyperparameter for all transition probabilities and a fixed, different hyperparameter for all emission probabilities. Their findings show that choosing a small value for the transition hyperparameter (0.03) together with a choice of hyperparameter 1 for the emission probabilities achieves the best prediction accuracy of the part-of-speech tags. This means that the optimal transition multinomials are similarly likely to be very sparse. This is not surprising, since only a small number of part-of-speech tags can appear in a certain context. However, the emission hyperparameter 1 means that the Dirichlet distribution is simply a uniform distribution. The authors argued that the reason a sparse prior was not very useful for the emission probabilities is that all emission probabilities shared the same hyperparameter.

统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|Gamma Representation of the Dirichlet

The Dirichlet distribution has a reductive representation to the Gamma distribution. This representation does not contribute directly to better modeling, but helps to demonstrate the limi- tations of the Dirichlet distribution, and suggest alternatives to it (such as the one described in the next section).

Let $\mu_i \sim \Gamma\left(\alpha_i, 1\right)$ be $K$ i.i.d. random variables distributed according to the Gamma distribution with shape $\alpha_i>0$ and scale 1 (see also Appendix B). Then, the definition of
$$
\theta_i=\frac{\mu_i}{\sum_{i=1}^K \mu_i},
$$
for $i \in{1, \ldots, K}$ yields a random vector $\theta$ from the probability simplex of dimension $K-$ 1 , such that $\theta$ distributes according to the Dirichlet distribution with hyperparameters $\alpha=$ $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_K\right)$

The representation of the Dirichlet as independent, normalized, Gamma variables explains a limitation inherent to the Dirichlet distribution. There is no explicit parametrization of the rich structure of relationships between the coordinates of $\theta$. For example, given $i \neq j$, the ratio $\theta_i / \theta_j$, when treated as a random variable, is independent of any other ratio $\theta_k / \theta_{\ell}$ calculated from two other coordinates, $k \neq \ell$. (This is evident from Equation 3.12: the ratio $\theta_i=\theta$ is $\mu_i=\mu_j$, where all $\mu_i$ for $i \in{1, \ldots, K}$ are independent.) Therefore, the Dirichlet distribution is not a good modeling choice when the $\theta$ parameters are better modeled even with a weak degree of dependence.

统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Dirichlet Distribution and Sparsity

贝叶斯分析代写

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对称 Dirichlet 分布 (第 2.2.1 节) 超参数化为 $\alpha>0$. 这是 Dirichlet 分布的一个特例,其中一般 Dirichlet 分布的超参数向量仅包含与 $\alpha$. 当对称 Dirichlet 分布的超参数 $\alpha \in \mathbb{R}$ 被选择使得 $\alpha<1$ , 任意点 $x \in \mathbb{R}^K$ 从各自的 Dirichlet 中提取的大部分坐标都接近 0 ,只有少数坐标的值明显大于零。
当检查 Dirichlet 分布的密度中的主要项时,可以理解对称 Dirichlet 分布的这一特性背后的直觉: $\prod_{i=1}^K \theta_i^{\alpha-1}$. 什么时候 $\alpha<1$, 这个产品变成 $\frac{1}{\prod_{i=1}^K \theta_i^\beta}$ 为了 $0<\beta=\alpha-1$. 显然,如果其中之一, 该产品将变得非常大 $\theta_i$ 接近于 0 。如果许多 $\theta_i$ 接近于 0 时,这种效果会成倍增加,从而使乘积更 大。因此,对于对称 Dirichlet 的大部分密度是真实的 $\alpha<1$ 集中在概率单纯形中的点周围,其中大 多数 $\theta_i$ 接近于 0 。
对称狄利克雷的这一性质在贝叶斯 NLP 文献中得到了一致的利用。例如,Goldwater 和 Griffiths (2007) 定义了带有隐马尔可夫模型的贝叶斯司性标注 (第 8 章),其中他们使用狄利克雷先验作为 多项式集的先验,用于转换概率和发射概率三元组隐马尔可夫模型。
对于第一组实验,Goldwater 和 Griffiths 对所有转移概率使用一个固定的稀疏超参数,对所有发射 概率使用一个固定的、不同的超参数。他们的发现表明,为过渡超参数选择较小的值 (0.03) 以及为 发射概率选择超参数 1 可以实现词性标签的最佳预测精度。这意味着最优转换多项式同样可能非常稀 疏。这并不奇怪,因为只有少数词性标签可以出现在特定上下文中。然而,发射超参数 1 意味着 Dirichlet 分布只是一个均匀分布。

统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|Gamma Representation of the Dirichlet

Dirichlet 分布具有对 Gamma 分布的还原表示。这种表示不会直接有助于更好的建模,但有助于 证明 Dirichlet 分布的局限性,并提出替代方案(例如下一节中描述的)。
让 $\mu_i \sim \Gamma\left(\alpha_i, 1\right)$ 是 $K \mathrm{iid}$ 随机变量根据具有形状的 Gamma 分布分布 $\alpha_i>0$ 和等级 1 (另见附录
B) 。然后,定义
$$
\theta_i=\frac{\mu_i}{\sum_{i=1}^K \mu_i}
$$
为了 $i \in 1, \ldots, K$ 产生一个随机向量 $\theta$ 从维数的概率单纯形 $K-1$ ,这样 $\theta$ 根据带有超参数的 Dirichlet 分布进行分布 $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_K\right)$
Dirichlet 表示为独立的、归一化的 Gamma 变量,这解释了 Dirichlet 分布固有的局限性。坐标之 间丰富的关系结构没有明确的参数化 $\theta$. 例如,给定 $i \neq j$ ,比例 $\theta_i / \theta_j$ ,当被视为随机变量时,独立 于任何其他比率 $\theta_k / \theta_{\ell}$ 从另外两个坐标计算, $k \neq \ell$. (从公式 3.12 可以明显看出这一点: 比率 $\theta_i=\theta$ 是 $\mu_i=\mu_j$, 其中所有 $\mu_i$ 为了 $i \in 1, \ldots, K$ 是独立的。) 因此,Dirichlet 分布不是一个好 的建模选择,当 $\theta$ 即使依赖程度较弱,参数也能更好地建模

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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