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# 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Multiplicative Logistic Normal Distribution

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## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Multiplicative Logistic Normal Distribution

Another type of a logistic normal distribution is that of the multiplicative logistic normal. The definition of the multiplicative logistic normal distribution resembles that of the additive one. The difference is in Equations 3.13-3.14, which are substituted with:
\begin{aligned} \theta_i & =\frac{\exp \left(\mu_i\right)}{\prod_{j=1}^{K-1}\left(1+\exp \left(\mu_j\right)\right)} \forall i \in{1, \ldots, K-1}, \ \theta_K & =\frac{1}{\prod_{j=1}^{K-1}\left(1+\exp \left(\mu_j\right)\right)} . \end{aligned}
The multiplicative logistic normal distribution is not often used in Bayesian NLP models, and is given here mostly for completeness.

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Logistic Normal Distribution vs. the Dirichlet Distribution

According to Aitchison (1986), the family of logistic normal distributions and the family of Dirichlet distributions are quite disparate, and it is hard to find a distribution in one family that approximates another distribution in the other family in a useful manner.

Aitchison points out that the value of the minimal KL divergence (Kullback-Leibler divergence, see Appendix A) between a Dirichlet distribution with hyperparameters $\alpha=$ $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_K\right)$ and the family of logistic normal distributions can be approximated as follows. Whenever $\alpha_i$ are relatively large values, then the minimal KL divergence is approximately $(1 / 12)\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i^{-1}+2 /\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i\right)\right)$

Dirichlet distributions tend to logistic normality as $\alpha_i$ goes to infinity. More specifically, when $\theta$ is distributed from a Dirichlet distribution with hyperparameters $\alpha$, as $\alpha \rightarrow \infty$, it holds that $p(\theta \mid \alpha)$ behaves very much like a logistic normal distribution with hyperparameters $\mu \in$ $\mathbb{R}^{K-1}$ and $\Sigma \in \mathbb{R}^{K-1} \times \mathbb{R}^{K-1}$ such that:
\begin{aligned} & \mu_i=\psi\left(\alpha_i\right)-\psi\left(\alpha_K\right) \quad i \in{1, \ldots, K-1} \ & \Sigma_{i i}=\psi^{\prime}\left(\alpha_i\right)+\psi\left(\alpha_K\right) \quad i \in{1, \ldots, K-1} \ & \Sigma_{i j}=\psi^{\prime}\left(\alpha_K\right) \quad i \neq j, i, j \in{1, \ldots, K-1}, \ & \end{aligned}
where $\psi$ is the digamma function and $\psi^{\prime}$ is its derivative (see Appendix B).

# 贝叶斯分析代写

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Multiplicative Logistic Normal Distribution

$$\theta_i=\frac{\exp \left(\mu_i\right)}{\prod_{j=1}^{K-1}\left(1+\exp \left(\mu_j\right)\right)} \forall i \in 1, \ldots, K-1, \theta_K \quad=\frac{1}{\prod_{j=1}^{K-1}\left(1+\exp \left(\mu_j\right)\right)} .$$

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Logistic Normal Distribution vs. the Dirichlet Distribution

Aitchison 指出具有超参数的 Dirichlet 分布之间的最小 KL 散度（Kullback-Leibler 散度，参见附 录 A) 的值 $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_K\right)$ 逻辑正态分布族可以近似如下。每当 $\alpha_i$ 是相对较大的值，则最小 $\mathrm{KL}$ 散度约为 $(1 / 12)\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i^{-1}+2 /\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i\right)\right)$

$$\mu_i=\psi\left(\alpha_i\right)-\psi\left(\alpha_K\right) \quad i \in 1, \ldots, K-1 \quad \Sigma_{i i}=\psi^{\prime}\left(\alpha_i\right)+\psi\left(\alpha_K\right) \quad i \in 1, \ldots, K-1 \Sigma_{i j}=\psi^{\prime}\left(\alpha_K\right) \quad i \neq j, i, j$$

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