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# 经济代写|宏观经济学代考Macroeconomics代写|Determining The Catastrophe Date T

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## 经济代写|宏观经济学代考Macroeconomics代写|Determining The Catastrophe Date T

Given the time path for debt in equation (18.7), we can determine roughly in which period $T$ the catastrophe hits. I say “roughly” because to keep the algebra neat we are going to assume that, at the monetary policy $\theta$, end-of-period $T$ debt $b_T^g$ is perfectly equal to $\bar{b}$. You can see that it is easy to imagine cases in which $b_T^g$ is slightly less than $\bar{b}$, in which case in period $T+1$ a residual amount of borrowing is allowed. However if $T$ is large, this effect is unimportant. Thus at the end of period $T$ :
$$\left[d-\frac{\theta}{1+\theta}\right] \sum_{i=1}^T\left(\frac{1+r}{1+n}\right)^{i-1}=\bar{b} .$$
For notational convenience, let $\gamma \equiv(1+r) /(1+n)$. Thus:
$$\sum_{j=0}^{T-1} \gamma^j=\frac{\bar{b}}{d-\frac{\theta}{1+\theta}}$$
Recall that the sum on the left hand side of this equation is equal to $\left(1-\gamma^T\right) /(1-\gamma)$. Thus:
$$\frac{1-\gamma^T}{1-\gamma}=\frac{\bar{b}}{d-\frac{\theta}{1+\theta}} \equiv J$$
where I have introduced $J$ to keep the notation down. Manipulation produces:
$$\gamma^T=1-(1-\gamma) J$$

## 经济代写|宏观经济学代考Macroeconomics代写|Application: Optimal Inflati

In this section we consider the trade-off between two monetary policies: (1) A policy of high inflation in which the catastrophe never occurs and (2) A low-inflation policy which brings forward the catastrophe date.
Notice from equation (18.7) that if the government sets $\theta=\theta^{\star}$, where:
$$\theta^{\star} \equiv \frac{d}{1-d}$$
then each period’s seigniorage revenue is:
$$\frac{\theta^{\star}}{1+\theta^{\star}}=d$$
That is, with the money supply growth rule set to $\theta^{\star}$ as defined above, the government raises enough seigniorage revenue to completely finance the real deficit each period. As a result the government never resorts to bond finance, so $b_t^g=0$ all $t=0,1,2, \ldots, \infty$ and the catastrophe never happens. When $\theta=\theta^{\star}$ inflation satisfies:
$$\pi_{\theta^{\star}}=\frac{\theta^{\star}-n}{1+n}=\frac{\alpha}{1-\alpha}$$
where $\alpha=d-n+n d$. Notice that if $d=n /(1+n)$ then $\pi_{\theta^*}=0$. That is, the government can pay for the real deficit entirely with seigniorage revenue and have zero inflation.

# 宏观经济学代写

## 经济代写|宏观经济学代考Macroeconomics代写|Determining The Catastrophe Date T

$$\left[d-\frac{\theta}{1+\theta}\right] \sum_{i=1}^T\left(\frac{1+r}{1+n}\right)^{i-1}=\bar{b} .$$

$$\sum_{j=0}^{T-1} \gamma^j=\frac{\bar{b}}{d-\frac{\theta}{1+\theta}}$$

$$\frac{1-\gamma^T}{1-\gamma}=\frac{\bar{b}}{d-\frac{\theta}{1+\theta}} \equiv J$$

$$\gamma^T=1-(1-\gamma) J$$

## 经济代写|宏观经济学代考Macroeconomics代写|Application: Optimal Inflati

$$\theta^{\star} \equiv \frac{d}{1-d}$$

$$\frac{\theta^{\star}}{1+\theta^{\star}}=d$$

$$\pi_{\theta^{\star}}=\frac{\theta^{\star}-n}{1+n}=\frac{\alpha}{1-\alpha}$$

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