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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity without Uniform Convergence

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity without Uniform Convergence

Uniform convergence is sufficient to patch up Cauchy’s theorem. It is not necessary. It is possible that the series is continuous even when we do not have uniform convergence. An example of this is the series
$$S(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x+x^3\left(k-k^2\right)}{\left(1+k^2 x^2\right)\left(1+(k-1)^2 x^2\right)}$$
Observing that
$$\frac{x+x^3\left(k-k^2\right)}{\left(1+k^2 x^2\right)\left(1+(k-1)^2 x^2\right)}=\frac{k x}{1+k^2 x^2}-\frac{(k-1) x}{1+(k-1)^2 x^2},$$
we can evaluate the partial sums,
\begin{aligned} S_n(x)= & \frac{x}{1+x^2}+\left(\frac{2 x}{1+4 x^2}-\frac{x}{1+x^2}\right)+\left(\frac{3 x}{1+9 x^2}-\frac{2 x}{1+4 x^2}\right) \ & \quad+\cdots+\left(\frac{n x}{1+n^2 x^2}-\frac{(n-1) x}{1+(n-1)^2 x^2}\right) \ = & \frac{n x}{1+n^2 x^2} . \end{aligned}

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Differentiation and Integration

As we saw in section 3.2 , it is not always safe to differentiate a series by differentiating each term. For example, the Fourier series
$$F(x)=\frac{4}{\pi}\left[\cos (\pi x / 2)-\frac{1}{3} \cos (3 \pi x / 2)+\frac{1}{5} \cos (5 \pi x / 2)-\frac{1}{7} \cos (7 \pi x / 2)+\cdots\right],$$
is equal to 1 for $-1<x<1$. Its derivative is zero at each $x$ between -1 and 1 . If we try to differentiate each term, we obtain the series
$$-2[\sin (\pi x / 2)-\sin (3 \pi x / 2)+\sin (5 \pi x / 2)-\sin (7 \pi x / 2)+\cdots]$$
which does not converge unless $x$ is an even integer.

Worse than this can happen. Trying to differentiate a series by differentiating each summand can give us a series that converges to the wrong answer. Consider the series
$$F(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^3}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)} .$$
The derivative of the $k$ th summand is
\begin{aligned} f_k^{\prime}(x)= & \frac{3 x^2}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)}-\frac{2 k x^4}{\left(1+k x^2\right)^2\left(1+(k-1) x^2\right)} \ & -\frac{2(k-1) x^4}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)^2} \end{aligned}

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity without Uniform Convergence

$$S(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x+x^3\left(k-k^2\right)}{\left(1+k^2 x^2\right)\left(1+(k-1)^2 x^2\right)}$$

$$\frac{x+x^3\left(k-k^2\right)}{\left(1+k^2 x^2\right)\left(1+(k-1)^2 x^2\right)}=\frac{k x}{1+k^2 x^2}-\frac{(k-1) x}{1+(k-1)^2 x^2}$$

$$S_n(x)=\frac{x}{1+x^2}+\left(\frac{2 x}{1+4 x^2}-\frac{x}{1+x^2}\right)+\left(\frac{3 x}{1+9 x^2}-\frac{2 x}{1+4 x^2}\right) \quad+\cdots+\left(\frac{n x}{1+n^2 x^2}-\frac{(n-1) x}{1+(n-1)^2 x^2}\right)=\frac{n x}{1+n^2 x^2}$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Differentiation and Integration

$$F(x)=\frac{4}{\pi}\left[\cos (\pi x / 2)-\frac{1}{3} \cos (3 \pi x / 2)+\frac{1}{5} \cos (5 \pi x / 2)-\frac{1}{7} \cos (7 \pi x / 2)+\cdots\right]$$

$$-2[\sin (\pi x / 2)-\sin (3 \pi x / 2)+\sin (5 \pi x / 2)-\sin (7 \pi x / 2)+\cdots]$$

$$F(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^3}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)} .$$

$$f_k^{\prime}(x)=\frac{3 x^2}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)}-\frac{2 k x^4}{\left(1+k x^2\right)^2\left(1+(k-1) x^2\right)} \quad-\frac{2(k-1) x^4}{\left(1+k x^2\right)\left(1+(k-1) x^2\right)^2}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。