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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Fourier Series on [0, L]

如果你也在 怎样代写傅里叶分析Fourier Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。傅里叶分析Fourier Analysis在数学中,傅里叶分析(/ˈfʊrieɪ, -iər/)是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究,并以约瑟夫-傅里叶的名字命名,他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大大简化对热传递的研究。

傅里叶分析Fourier Analysis的主题包含了一个巨大的数学范围。在科学和工程领域,将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析,而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如,确定一个音符中存在哪些频率成分,需要计算采样音符的傅里叶变换。然后,人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。在数学中,傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Fourier Series on [0, L]

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Fourier Series on [0, L]

IN MANY APPLICATIONS WE ARE INTERESTED in determining Fourier series representations of functions defined on intervals other than $[0,2 \pi]$. In this section, we will determine the form of the series expansion and the Fourier coefficients in these cases.

The most general type of interval is given as $[a, b]$. However, this often is too general.
More common intervals are of the form $[-\pi, \pi],[0, L]$, or $[-L / 2, L / 2]$. The simplest generalization is to the interval $[0, L]$. Such intervals arise often in applications. For example, for the problem of a one-dimensional string of length $L$, we set up the axes with the left end at $x=0$ and the right end at $x=L$. Similarly for the temperature distribution along a one-dimensional rod of length $L$ we set the interval to $x \in[0,2 \pi]$. Such problems naturally lead to the study of Fourier series on intervals of length $L$. We will see later that symmetric intervals, $[-a, a]$, are also useful.

Given an interval $[0, L]$, we could apply a transformation to an interval of length $2 \pi$ by simply rescaling the interval. Then we could apply this transformation to the Fourier series representation to obtain an equivalent one useful for functions defined on $[0, L]$.

We define $x \in[0,2 \pi]$ and $t \in[0, L]$. A linear transformation relating these intervals is simply $\mathrm{x}=2 \pi \mathrm{tL}$ as shown in Figure 2.7. So, $t=0$ maps to $x=0$ and $t=L$ maps to $x=2 \pi$. Furthermore, this transformation maps $f(x)$ to a new function $g(t)=f(x(t))$, which is defined on $[0, L]$. We will determine the Fourier series representation of this function using the representation for $f(x)$ from the previous section.

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Parseval’s Identity

ANOTHER APPROACH TO THE SUMMATION OF FOURIER SERIES is through the use of Parseval’s identity. It is named after Marc-Antoine Parseval (1755 – 1836) and a more general form and other derivations are presented in other sections of the text. As will be noted, this can be viewed as a generalization of the Pythagorean theorem in more general spaces as discussed in the next chapter. We will consider here the version of the Parseval identity as given for real-valued functions, $f(x), x \in[0, L]$.

Theorem 2.2. Let $f(x)$ have a uniformly convergent Fourier series representation for $x \in[0$, L]. Then,
$$
2 \mathrm{~L} \int 0 \mathrm{~L}[\mathrm{f}(\mathrm{x}) 2 \mathrm{dx}]=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty(\mathrm{an} 2+\mathrm{bn} 2) .(2.56)
$$
Proof. Let’s assume that $f(x)$ has the uniformly convergent Fourier series representation
$$
f(x)=a 02+\sum n=1 \infty[\operatorname{ancos} 2 n \pi x L+b n \sin 2 n \pi x L] \cdot(2.57)
$$
Treating this sum as a binomial, the square is given by ${ }^4$
$$
[\mathrm{f}(\mathrm{x})] 2=\left[\mathrm{a} 02+\sum \mathrm{n}=1 \infty[\operatorname{ancos} 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]\right] 2=\mathrm{a} 024+2 \mathrm{a} 02 \Sigma \mathrm{n}=1 \infty[a n \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]+\left(\sum \mathrm{n}=1 \infty[\operatorname{ancos} 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]\right) 2 .(2.58)
$$

Next, we integrate $[f(x)]^2$ over the interval $[0, L]$. The first three expressions are easily integrated, leaving

Care should be taken when squaring the infinite series, since the result is a double sum. Therefore, we write
$\left(\sum \mathrm{n}=1 \infty[a n \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]\right) 2=\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty a n a m \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL} \cos 2 \mathrm{~m} \pi \mathrm{xL}+\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty a n b m \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL} \sin 2 \mathrm{~m} \pi \mathrm{xL}+\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty \infty b n a m s \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL} \cos 2 \mathrm{~m}$
Integrating the products of these trigonometric functions, we make use of their orthogonality properties. This then gives,
$$
2 \mathrm{~L} \int 0 \mathrm{~L}[\mathrm{f}(\mathrm{x})] 2 \mathrm{dx}=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty\left[\text { anam+bnbm] } \mathrm{n} m=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty(\operatorname{an} 2+\mathrm{bn} 2) \cdot(2.60)\right.
$$

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傅里叶分析代写

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在许多应用中,我们感兴趣的是确定函数的傅立叶级数表示 $[0,2 \pi]$. 在本节中,我们将确定这些情况 下的级数展开形式和傅里叶系数。
最一般的区间类型为 $[a, b]$. 然而,这往往过于筏统。
更常见的间隔形式为 $[-\pi, \pi],[0, L]$ ,或者 $[-L / 2, L / 2]$. 最简单的概括是区间 $[0, L]$. 这种间隔经 常出现在应用程序中。例如,对于长度为一维字符串的问题 $L$ ,我们将轴的左端设置为 $x=0$ 右端在 $x=L$. 同样对于沿一维长度杆的温度分布 $L$ 我们将间隔设置为 $x \in[0,2 \pi]$. 这样的问题自然而然地 引出了对长度区间的傅里叶级数的研究 $L$. 稍后我们将看到对称区间, $[-a, a]$ ,也很有用。
给定一个区间 $[0, L]$ ,我们可以对长度区间应用变换 $2 \pi$ 通过简单地重新调整间隔。然后我们可以将 此变换应用于傅立叶级数表示以获得对定义在上的函数有用的等效表示 $[0, L]$.
涐们定义 $x \in[0,2 \pi]$ 和 $t \in[0, L]$. 与这些间隔相关的线性变换很简单 $\mathrm{x}=2 \pi \mathrm{tL}$ 如图 2.7 所示。所 以, $t=0$ 映射到 $x=0$ 和 $t=L$ 映射到 $x=2 \pi$. 此外,这种变换映射 $f(x)$ 到一个新功能 $g(t)=f(x(t))$ ,定义在 $[0, L]$. 我们将使用以下表示来确定此函数的傅立叶级数表示 $f(x)$ 从上一 节。

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Parseval’s Identity

傅里叶级数求和的另一种方法是使用帕塞瓦尔恒等式。它以 Marc-Antoine Parseval (1755 –
1836)的名字命名,更一般的形式和其他派生形式在文本的其他部分中介绍。正如将要指出的那样,
这可以被视为毕达哥拉斯定理在更一般空间中的推广,如下一章所述。我们将在这里考虑为实值函数
给出的 Parseval 身份的版本, $f(x), x \in[0, L]$.
定理 2.2。让 $f(x)$ 具有一致收敛的傅里叶级数表示 $x \in[0, \mathrm{~L}]$. 然后,
$$
2 \mathrm{~L} \int 0 \mathrm{~L}[\mathrm{f}(\mathrm{x}) 2 \mathrm{dx}]=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty(\mathrm{an} 2+\mathrm{bn} 2) .(2.56)
$$
证明。让我们假设 $f(x)$ 具有一致收敛的傅里叶级数表示
$$
f(x)=a 02+\sum n=1 \infty[\operatorname{ancos} 2 n \pi x L+b n \sin 2 n \pi x L] \cdot(2.57)
$$
将此总和视为二项式,平方由下式给出 ${ }^4$
$$
[\mathrm{f}(\mathrm{x})] 2=\left[\mathrm{a} 02+\sum \mathrm{n}=1 \infty[\operatorname{ancos} 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]\right] 2=\mathrm{a} 024+2 \mathrm{a} 02 \Sigma \mathrm{n}=1 \infty[\mathrm{an} \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi 2
$$
接下来我们整合 $[f(x)]^2$ 在区间内 $[0, L]$. 前三个表达式很容易集成,留下
对无穷级数求平方时应小心,因为结果是双重和。因此,我们写
$\left(\sum \mathrm{n}=1 \infty[a n \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}+\mathrm{bn} \sin 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL}]\right) 2=\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty \operatorname{anam} \cos 2 \mathrm{n} \pi \mathrm{xL} \cos 2 \mathrm{~m} \pi \mathrm{xL}+\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum$ 整合这些三角函数的乘积,我们利用了它们的正交性。这然后给出,
$$
2 \mathrm{~L} \int 0 \mathrm{~L}[\mathrm{f}(\mathrm{x})] 2 \mathrm{dx}=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty \sum \mathrm{m}=1 \infty[\text { anam }+\mathrm{bnbm}] \mathrm{n} m=\mathrm{a} 022+\sum \mathrm{n}=1 \infty(\mathrm{an} 2+\mathrm{bn} 2) \cdot(2.1
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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