Posted on Categories:Measure Theory and Fourier Analysis, 傅里叶分析, 数学代写, 测度论和傅里叶分析

# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Limit Theorems

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Limit Theorems

ONCE WE HAVE DEFINED THE NOTION of convergence of a sequence to some limit, then we can investigate the properties of the limits of sequences. Here we list a few general limit theorems and some special limits, which arise often.

Theorem 1.1. Consider two convergent sequences $\left{a_n\right}$ and $\left{b_n\right}$ and $a$ number $k$. Assume that $\lim {n \rightarrow \infty} a_n=A$ and $\lim {n \rightarrow \infty} b_n=B$. Then we have

1. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \pm b_n\right)=A \pm B$.
2. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(k b_n\right)=k B$.
3. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n b_n\right)=A B$.
4. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty a n b n=A B, B \neq 0$.

Some special limits are given next. These are generally first encountered in a second course in calculus.

Special Limits
Theorem 1.2. The following are special cases:

1. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty \ln n n=0$.
2. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty n 1 n=1$.
3. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty \mathrm{x} 1 \mathrm{n}=1, \mathrm{x}>0$.
4. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty x n=0,|x|<1$.
5. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty(1+x n) n=e x$.
6. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty$ xnn! $=0$.

The proofs generally are straightforward. For example, one can prove the first limit by first realizing that $\operatorname{limn} \rightarrow \infty \ln n n=\operatorname{limx} \rightarrow \infty \ln x \mathrm{x}$. This limit in its current form is indeterminate as $x$ gets large $(x \rightarrow \infty)$ since the numerator and the denominator get large for large $x$. In such cases one employs L’Hopital’s Rule. We find that
$$\lim x \rightarrow \infty \ln x x=\lim x \rightarrow \infty 1 / x 1=0$$
L’Hopital’s Rule is used often in computing limits. We recall this powerful rule here as a reference for the reader.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Infinite Series

IN THIS SECTION WE INVESTIGATE the meaning of infinite series, which are infinite sums of the form
$$a 1+a 2+a 2+\ldots(1.1)$$
A typical example is the infinite series
$$1+12+14+18+\ldots(1.2)$$
There is a story described in E.T. Bell’s Men of Mathematics about Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss’ third grade teacher needed to occupy the students, so she asked the class to sum the first 100 integers thinking that this would occupy the students for a while. However, Gauss was able to do so in practically no time. He recognized the sum could be written as $(1+100)+(2+99)+\ldots(50+51)=50(101)$. This sum is a special case of
$$\Sigma \mathrm{k}=1 \mathrm{nk}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+1) 2$$
This is an example of an arithmetic progression that is a finite sum of terms.
E. T. Bell. Men of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1965.
How would one evaluate this sum? We begin by just adding the terms. For example,
$$1+12=32,1+12+14=74,1+12+14+18=158,1+12+14+18+116=3116, \ldots .(1.3)$$
The values tend to a limit. We can see this graphically in Figure 1.6.

In general, we want to make sense out of Equation (1.1). As with the example, we look at a sequence of partial sums. Thus, we consider the sums
$$\mathrm{s} 1=\mathrm{a} 1, \mathrm{~s} 2=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2, \mathrm{~s} 3=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\mathrm{a} 3, \mathrm{~s} 4=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\mathrm{a} 3+\mathrm{a} 4, \ldots .(1.4)$$
In general, we define the $n$th partial sum as
$$\mathrm{sn}=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\ldots+\mathrm{an} .$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Limit Theorems

1. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \pm b_n\right)=A \pm B$.
2. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(k b_n\right)=k B$.
3. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n b_n\right)=A B$.
4. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty a n b n=A B, B \neq 0$.
接下来给出一些特殊限制。这些通常是在第二门微积分课程中首次遇到的。
特殊极限
定理 1.2。以下是特殊情况:
5. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty \ln n n=0$.
6. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty n 1 n=1$.
7. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty \mathrm{x} 1 \mathrm{n}=1, \mathrm{x}>0$.
8. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty x n=0,|x|<1$.
9. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty(1+x n) n=e x$.
10. $\operatorname{limn} \rightarrow \infty x n n !=0$.
证明通常很简单。例如，可以通过首先意识到 $\operatorname{imn} \rightarrow \infty \ln n n=\operatorname{limx} \rightarrow \infty \ln x \mathrm{x}$. 当前形式 的此限制是不唃定的，因为 $x$ 变大 $(x \rightarrow \infty)$ 因为分子和分母变大 $x$. 在这种情况下，人们会使用 L’Hopital 规则。我们发现
$$\lim x \rightarrow \infty \ln x x=\lim x \rightarrow \infty 1 / x 1=0$$
L’Hopital 法则常用于计算极限。我们在此回顾这条强大的规则，作为读者的参考。

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Infinite Series

$$a 1+a 2+a 2+\ldots(1.1)$$

$$1+12+14+18+\ldots(1.2)$$
ET Bell 的 Men of Mathematics 中描述了一个关于 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 的故 事。Gauss 的三年级老师需要占用学生，所以她要求全班求和前 100 个整数，认为这会占用学生一 段时间。然而，高斯几乎很快就做到了。他认识到总和可以写成 $(1+100)+(2+99)+\ldots(50+51)=50(101)$. 这个和是一个特例
$$\Sigma \mathrm{k}=1 \mathrm{nk}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+1) 2$$

$$1+12=32,1+12+14=74,1+12+14+18=158,1+12+14+18+116=3116, \ldots$$

$$\mathrm{s} 1=\mathrm{a} 1, \mathrm{~s} 2=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2, \mathrm{~s} 3=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\mathrm{a} 3, \mathrm{~s} 4=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\mathrm{a} 3+\mathrm{a} 4, \ldots$$

$$\mathrm{sn}=\mathrm{a} 1+\mathrm{a} 2+\ldots+\mathrm{an}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。