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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Sphere Theorems

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几何组合Geometric combinatorics其他重要领域包括多面体的度量几何,如关于凸多面体刚性的考奇定理。对规则多面体、阿基米德实体和接吻数的研究也是几何组合学的一部分。特殊的多面体也被考虑在内,如全等面体,协和面体和伯克霍夫多面体。

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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Sphere Theorems

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As mentioned in our discussion at the end of Section 5, one can sometimes use discrete Morse theory to make statements about more than just the homotopy type of the simplicial complex. One can sometimes classify the complex up to homeomorphism or combinatorial equivalence. In this section we give some examples of such arguments. An interesting application of these ideas is presented in the next section. So far, we have not placed any restrictions on the simplicial complexes under consideration. The main idea of this section is that if our simplicial complex has some additional structure, then one may be able to strengthen the conclusion. This idea rests on some very deep work of J. H. C. Whitehead [95].

A simplicial complex $K$ is a combinatorial $d$-ball if $K$ and the standard $d$ simplex $\sigma_d$ have isomorphic subdivisions. A simplicial complex $K$ is a combinatorial $(d-1)$-sphere if $K$ and $\dot{\sigma}_d$ have isomorphic subdivisions (where $\dot{\sigma}_d$ denotes the boundary of $\sigma_d$ with its induced simplicial structure). A simplicial complex $K$ is a combinatorial d-manifold with boundary if the link of every vertex is either a combinatorial $(d-1)$-sphere or a combinatorial $(d-1)$-ball. The following is a special case of the powerful main theorem of $[\mathbf{9 5}]$.

Theorem 14. Let $K$ be a combinatorial d-manifold with boundary which simplicially collapses to a vertex. (That is, $K$ can be a reduced to a vertex by a sequence of elementary simplicial collapses.) Then $K$ is a combinatorial d-ball.

With this theorem, and its generalizations, one can sometimes strengthen the conclusion of Theorem 11 beyond homotopy equivalence. We present just one example.
Theorem 15. Let $X$ be a combinatorial d-manifold with a discrete gradient vector field with exactly two critical simplices. Then $X$ is a combinatorial d-sphere.

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Our Second Example

In this section we demonstrate some of the ideas of the previous sections with a simple example from algebra. Fix a positive integer $n$, and consider the following $(n-2)$-dimensional simplicial complex, which we denote $M_n$. Starting with the following expression
$$
\left(x_0 x_1 x_2 \ldots x_n\right)
$$
consider all ways of adding legal pairs of parentheses. An expression resulting from adding $p+1$ pairs of parentheses will be a $p$-simplex in our complex. The faces of this $p$-simplex are all expressions that result from removing corresponding pairs of parentheses.

For example, consider the case $n=3$. The vertices of $M_3$ are the expressions
$$
\begin{gathered}
v_1=\left(\left(x_0 x_1\right) x_2 x_3\right), \quad v_2=\left(\left(x_0 x_1 x_2\right) x_3\right), \quad v_3=\left(x_0\left(x_1 x_2\right) x_3\right), \
v_4=\left(x_0\left(x_1 x_2 x_3\right)\right), \quad v_5=\left(x_0 x_1\left(x_2 x_3\right)\right)
\end{gathered}
$$
and the edges are the expressions
$$
\begin{gathered}
e_1=\left(\left(\left(x_0 x_1\right) x_2\right) x_3\right), \quad e_2=\left(\left(x_0\left(x_1 x_2\right)\right) x_3\right), \quad e_3=\left(x_0\left(\left(x_1 x_2\right) x_3\right)\right), \
e_4=\left(x_0\left(x_1\left(x_2 x_3\right)\right)\right), \quad e_5=\left(\left(x_0 x_1\right)\left(x_2 x_3\right)\right) .
\end{gathered}
$$
One can easily check the relations
$$
\begin{gathered}
e_1=\left{v_1, v_2\right}, \quad e_2=\left{v_2, v_3\right}, \quad e_3=\left{v_3, v_4\right} \
e_4=\left{v_4, v_5\right}, \quad e_5=\left{v_5, v_1\right}
\end{gathered}
$$
so that $M_3$ is a circle triangulated with 5 edges and 5 vertices.

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几何组合代写

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正如我们在第 5 节末尾的讨论中提到的,有时可以使用离散莫尔斯理论来陈述不仅仅是单纯复形的 同伦类型。有时可以将复数分类为同胚或组合等价。在本节中,我们将给出此类论点的一些示例。下 一节将介绍这些想法的有趣应用。到目前为止,我们还没有对所考虑的单纯暞形施加任何限制。这一 节的主要思想是,如果我们的单纯复形有一些额外的结构,那么也许可以加强结论。这个想法基于 JHC Whitehead [95] 的一些非常深入的工作。
单纯复形 $K$ 是一个组合 $d-$ 球如果 $K$ 和标准 $d$ 单纯形 $\sigma_d$ 有同构的细分。单纯复形 $K$ 是一个组合 $(d-1)$-球体如果 $K$ 和 $\dot{\sigma}_d$ 具有同构细分(其中 $\dot{\sigma}_d$ 表示边界 $\sigma_d$ 及其诱导单纯结构) 。单纯复形 $K$ 是 一个有边界的组合 $\mathrm{d}$-流形如果每个顶点的链接是一个组合流形 $(d-1)$-球体或组合 $(d-1)$-球。 以下是强大主定理的特例 $[\mathbf{9 5}]$.
定理 14. 让 $K$ 是一个组合 $\mathrm{d}$-流形,其边界简单地折疍到一个顶点。(那是, $K$ 可以通过一系列基本 单纯形折跙减少到一个顶点。)然壬 $K$ 是一个组合 $\mathrm{d}$ 球。
利用这个定理及其推广,有时可以加强定理 11 的结论,使其超越同伦等价性。我们只举一个例子。 定理 15. 让 $X$ 是具有恰好两个临界单纯形的离散梯度矢量场的组合 $\mathrm{d}$-流形。然后 $X$ 是一个组合 $\mathrm{d}$ 球。

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在本节中,我们将通过代数中的一个简单示例来演示前几节的一些想法。修正一个正整数 $n$ ,并考虑以下 $(n-2)$-维单纯复形,我们表示 $M_n$. 从以下表达式开始
$$
\left(x_0 x_1 x_2 \ldots x_n\right)
$$
考虑添加合法括号对的所有方法。由添加产生的表达式 $p+1$ 括号对将是 $p$-我们综合体中的单工。这些人的面 孔 $p$-simplex 是所有通过删除相应的括号对而产生的表达式。
例如,考虑这种情况 $n=3$. 的顶点 $M_3$ 是表达式
$$
v_1=\left(\left(x_0 x_1\right) x_2 x_3\right), \quad v_2=\left(\left(x_0 x_1 x_2\right) x_3\right), \quad v_3=\left(x_0\left(x_1 x_2\right) x_3\right), v_4=\left(x_0\left(x_1 x_2 x_3\right)\right), \quad v_5=\left(x_0 x_1\left(x_2 x_3\right)\right)
$$
边缘是表达式
$$
e_1=\left(\left(\left(x_0 x_1\right) x_2\right) x_3\right), \quad e_2=\left(\left(x_0\left(x_1 x_2\right)\right) x_3\right), \quad e_3=\left(x_0\left(\left(x_1 x_2\right) x_3\right)\right), e_4=\left(x_0\left(x_1\left(x_2 x_3\right)\right)\right), \quad e_5=\left(\left(x_0 x_1\right)\left(x_2 x_3\right)\right) .
$$
可以很容易地检查关系
$$
\backslash \text { begin }{\text { gathered }} e_{-} 1=\backslash \text { left }\left{v_{-} l, v_{-} 2 \backslash \text { right }\right}, \backslash q u a d e_{-} 2=\backslash \text { left }\left{v_{-} 2, v_{-} 3 \backslash \text { right }\right}, \backslash q u a d e_{-} 3=\backslash \text { left }\left{v_{-} 3, v_{-} 4 \backslash \text { right }\right} \backslash e_{-} 4=\backslash \text { left }\left{v_{-} 4, v_{-} 5 \backslash \text { right }\right}, \backslash q
$$
以便 $M_3$ 是一个三角形的圆,有 5 条边和 5 个顶点。

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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