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# 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Weibull distribution

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## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Weibull distribution

Recall the Weibull survivor function has form,
$$S(t)=\exp \left(-\lambda t^\eta\right)$$
with scale $\lambda$ and shape $\eta$. Note, we have changed the parameterisation slightly, writing $\lambda$ for $\alpha^{-\eta}$.
The log-likelihood in the presence of right-censoring is
$$\ell(\lambda, \eta)=r \log (\lambda \eta)+(\eta-1) \sum_{i \in U} \log t_i-\lambda \sum_{i=1}^n t_i^\eta$$
We set
$$\frac{\partial \ell}{\partial \lambda}=0=\frac{r}{\hat{\lambda}}-\sum_{i=1}^n t_i^\eta$$
and
$$\frac{\partial \ell}{\partial \eta}=0=\frac{r}{\hat{\eta}}+\sum_{i \in U} \log t_i-\hat{\lambda} \sum_{i=1}^n t_i^\eta \log t_i$$
Solving (3), we obtain
$$\hat{\lambda}=\frac{r}{\sum_{i=1}^n t_i^{\hat{\eta}}}$$
Substituting into (4) gives
$$\frac{r}{\hat{\eta}}+\sum_{i \in U} \log t_i-\frac{r}{\sum_{i=1}^n t_i^\eta} \sum_{i=1}^n t_i^{\hat{\eta}} \log t_i=0$$

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Hypothesis Testing for Nested Distributions

At the end of Chapter 3 we provided some heuristic methods for distinguishing between distributions. Here we consider asymptotic properties of the likelihood function to provide a more rigorous test that can be used for certain comparisons.
Suppose we are interested in making statements about a parameter subset $\theta^{(A)} \subseteq \theta \in \Theta$. Assume that $\theta$ is partitioned $\theta=\left(\theta^{(A)}, \theta^{(B)}\right)$ and $\Theta=\Theta^{(A)} \times$ $\Theta(B)$

• For example, in the Weibull distribution we might take $\theta^{(A)}=\eta$ (shape), $\theta^{(B)}=\lambda($ scale $)$.

Let $\hat{\theta}=\left(\hat{\theta}^{(A)}, \hat{\theta}^{(B)}\right)$ denote the MLE of $\theta=\left(\theta^{(A)}, \theta^{(B)}\right)$.
We will consider two tests for the null hypothesis $\mathrm{H}_0: \theta^{(A)}=\theta_0^{(A)}$ vs. $\mathrm{H}_1$ : $\theta^{(A)} \in \Theta^{(A)}$ which make use of the MLE.

• Note that for the Weibull distribution a test for $\eta=1$ is a test of exponentiality.

The tests lead to the derivation of a confidence region for $\theta^{(A)}$ which is the collection of parameter values in the subset $\Theta^{(A)}$ not ‘rejected’ at a certain significance level.

# 生存模型代考

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Weibull distribution

$$S(t)=\exp \left(-\lambda t^\eta\right)$$

$$\ell(\lambda, \eta)=r \log (\lambda \eta)+(\eta-1) \sum_{i \in U} \log t_i-\lambda \sum_{i=1}^n t_i^\eta$$

$$\frac{\partial \ell}{\partial \lambda}=0=\frac{r}{\hat{\lambda}}-\sum_{i=1}^n t_i^\eta$$

$$\frac{\partial \ell}{\partial \eta}=0=\frac{r}{\hat{\eta}}+\sum_{i \in U} \log t_i-\hat{\lambda} \sum_{i=1}^n t_i^\eta \log t_i$$

$$\hat{\lambda}=\frac{r}{\sum_{i=1}^n t_i^{\hat{\eta}}}$$

$$\frac{r}{\hat{\eta}}+\sum_{i \in U} \log t_i-\frac{r}{\sum_{i=1}^n t_i^\eta} \sum_{i=1}^n t_i^{\hat{\eta}} \log t_i=0$$

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Hypothesis Testing for Nested Distributions

• 例如，在 Weibull 分布中我们可能会取 $\theta^{(A)}=\eta$ (形状)， $\theta^{(B)}=\lambda$ (规模).
让 $\hat{\theta}=\left(\hat{\theta}^{(A)}, \hat{\theta}^{(B)}\right)$ 表示的 $\operatorname{MLE} \theta=\left(\theta^{(A)}, \theta^{(B)}\right)$.
我们将考虑对原假设进行两个检验 $\mathrm{H}_0: \theta^{(A)}=\theta_0^{(A)}$ 对比 $\mathrm{H}_1: \theta^{(A)} \in \Theta^{(A)}$ 这利用了 MLE。
• 请注意，对于 Weibull 分布的测试 $\eta=1$ 是指数检验。
这些测试导致推导出一个置信区域 $\theta^{(A)}$ 这是子集中参数值的集合 $\Theta^{(A)}$ 在一定的显着性水平上没有被 “拒绝”。

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