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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules

Let $A$ be a ring. By an $A$-module $M$, we mean an additive abelian group $M$ together with a map $A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$, called scalar multiplication, satisfying the following conditions for all $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.
If $A$ is not necessarily commutative then the above conditions define a left $A$-module. Replacing condition (3) by the condition $\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ and keeping the other conditions unchanged, we get the definition of a right $A$ module. For a right module, it is customary to write scalars on the right, so condition $\left(3^{\prime}\right)$ takes the more natural form $(x b) a=x(b a)$. If $A$ is commutative then, of course, the concepts of a left $A$-module and a right $A$-module coincide with the concept of an $A$-module. In the sequel, most of our discussion is for modules over a commutative a ring. However, we remark that many of the properties hold also for left (resp. right) modules over a not necessarily commutative ring.

For an $A$-module $M$, properties of the following type are deduced easily from the above axioms: $a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$ $-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$, etc. Here $a, b \in A, x, y \in M$, and the symbol 0 is used to denote the additive identity of both $A$ and $M$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

Some Natural Examples. (1) An ideal of $A$ is an $A$-module in a natural way. In particular, a ring is a module over itself.

(2) An abelian group is the same thing as a $\mathbb{Z}$-module, with obvious scalar multiplication.
(3) If $A$ is a subring of a ring $B$ then $B$ is an $A$-module. If $\mathfrak{a}$ is an ideal of $A$ then $A / \mathfrak{a}$ is an $A$-module. More generally, a homomorphism $\varphi: A \rightarrow B$ of rings makes $B$ into an $A$-module with scalar multiplication given by $a b=\varphi(a) b$ for $a \in A, b \in B$. Further, if $M$ is a $B$-module then $M$ acquires an $A$ module structure via $\varphi$ with scalar multiplication given by $a x=\varphi(a) x$ for $a \in A, x \in M$
(3) A vector space over a field $k$ is the same thing as a $k$-module.

Submodules. Let $M$ be an $A$-module. A subset $N$ of $M$ is called a submodule (more precisely, an $A$-submodule) of $M$ if $N$ is an additive subgroup of $M$ and is closed under scalar multiplication. The last condition means that $a x \in N$ for all $a \in A, x \in N$.

The following three conditions on a nonempty subset $N$ of $M$ are easily checked to be equivalent: (1) $N$ is an $A$-submodule of $M$. (2) $N$ is closed under addition and scalar multiplication. (3) $a x+b y \in N$ for all $a, b \in A, x, y \in N$.
An $A$-submodule of $A$ is just an ideal of $A$.
Quotient Modules. Let $M$ be an $A$-module, and let $N$ be a submodule of $M$. On the quotient group $M / N$ we have a well defined scalar multiplication given by $a \bar{x}=\overline{a x}$ for $a \in A, x \in M$, where $\bar{x}$ denotes the natural image of $x$ in $M / N$. This makes $M / N$ into an $A$-module, called the quotient of $M$ by $N$.

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$A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$ ，称为标量乘法，满足以下所有条件 $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.

$\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ 并保持其他条件不变，我们得到权利的定义 $A$ 模块。对于一个右模块，习惯上 把标量写在右边，所以条件 $\left(3^{\prime}\right)$ 采取更自然的形式 $(x b) a=x(b a)$. 如果 $A$ 是可交换的，当然，左 的概念 $A$-模苇和权利 $A$-module 与 an 的概念相吻合 $A$-模块。在续集中，我们的大部分讨论都是 针对可交换环上的模。然而，我们注意到许多属性也适用于不一定可交换环上的左 (resp.right) 模 块。

$a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$
$-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$ 等交里 $a, b \in A, x, y \in M$, 符号 0 用 于表示两者的加法恒等式 $A$ 和 $M$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

（2）阿贝尔群等同于 $\mathbb{Z}-$-module，具有明显的标量乘法。
(3) 如果 $A$ 是环的子环 $B$ 然后 $B$ 是一个 $A$-模块。如果 $a$ 是一个理想的 $A$ 然后 $A / \mathfrak{a}$ 是一个 $A$-模块。更 一般地，同态 $\varphi: A \rightarrow B$ 戒指制作 $B$ 进入一个 $A$-具有标量乘法的模块 $a b=\varphi(a) b$ 为了 $a \in A, b \in B$. 此外，如果 $M$ 是一个 $B$ – 然后模块 $M$ 获得一个 $A$ 模块结构通过 $\varphi$ 标量乘法由 $a x=\varphi(a) x$ 为了 $a \in A, x \in M$
(3) 域上的向量空间 $k$ 与 $\mathrm{a}$ 相同 $k$-模块。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。