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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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Let $A$ be a ring. By an $A$-module $M$, we mean an additive abelian group $M$ together with a map $A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$, called scalar multiplication, satisfying the following conditions for all $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.
If $A$ is not necessarily commutative then the above conditions define a left $A$-module. Replacing condition (3) by the condition $\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ and keeping the other conditions unchanged, we get the definition of a right $A$ module. For a right module, it is customary to write scalars on the right, so condition $\left(3^{\prime}\right)$ takes the more natural form $(x b) a=x(b a)$. If $A$ is commutative then, of course, the concepts of a left $A$-module and a right $A$-module coincide with the concept of an $A$-module. In the sequel, most of our discussion is for modules over a commutative a ring. However, we remark that many of the properties hold also for left (resp. right) modules over a not necessarily commutative ring.

For an $A$-module $M$, properties of the following type are deduced easily from the above axioms: $a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$ $-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$, etc. Here $a, b \in A, x, y \in M$, and the symbol 0 is used to denote the additive identity of both $A$ and $M$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

Some Natural Examples. (1) An ideal of $A$ is an $A$-module in a natural way. In particular, a ring is a module over itself.

(2) An abelian group is the same thing as a $\mathbb{Z}$-module, with obvious scalar multiplication.
(3) If $A$ is a subring of a ring $B$ then $B$ is an $A$-module. If $\mathfrak{a}$ is an ideal of $A$ then $A / \mathfrak{a}$ is an $A$-module. More generally, a homomorphism $\varphi: A \rightarrow B$ of rings makes $B$ into an $A$-module with scalar multiplication given by $a b=\varphi(a) b$ for $a \in A, b \in B$. Further, if $M$ is a $B$-module then $M$ acquires an $A$ module structure via $\varphi$ with scalar multiplication given by $a x=\varphi(a) x$ for $a \in A, x \in M$
(3) A vector space over a field $k$ is the same thing as a $k$-module.

Submodules. Let $M$ be an $A$-module. A subset $N$ of $M$ is called a submodule (more precisely, an $A$-submodule) of $M$ if $N$ is an additive subgroup of $M$ and is closed under scalar multiplication. The last condition means that $a x \in N$ for all $a \in A, x \in N$.

The following three conditions on a nonempty subset $N$ of $M$ are easily checked to be equivalent: (1) $N$ is an $A$-submodule of $M$. (2) $N$ is closed under addition and scalar multiplication. (3) $a x+b y \in N$ for all $a, b \in A, x, y \in N$.
An $A$-submodule of $A$ is just an ideal of $A$.
Quotient Modules. Let $M$ be an $A$-module, and let $N$ be a submodule of $M$. On the quotient group $M / N$ we have a well defined scalar multiplication given by $a \bar{x}=\overline{a x}$ for $a \in A, x \in M$, where $\bar{x}$ denotes the natural image of $x$ in $M / N$. This makes $M / N$ into an $A$-module, called the quotient of $M$ by $N$.

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交换代数代写

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让 $A$ 轴承。通过一个 $A$-模块 $M$ ,我们指的是加性阿贝尔群 $M$ 连同一张地图
$A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$ ,称为标量乘法,满足以下所有条件 $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.
如果 $A$ 不一定是可交换的,那么上面的条件定义了一个左 $A$-模块。将条件 (3) 替换为条件
$\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ 并保持其他条件不变,我们得到权利的定义 $A$ 模块。对于一个右模块,习惯上 把标量写在右边,所以条件 $\left(3^{\prime}\right)$ 采取更自然的形式 $(x b) a=x(b a)$. 如果 $A$ 是可交换的,当然,左 的概念 $A$-模苇和权利 $A$-module 与 an 的概念相吻合 $A$-模块。在续集中,我们的大部分讨论都是 针对可交换环上的模。然而,我们注意到许多属性也适用于不一定可交换环上的左 (resp.right) 模 块。
为 $A$-模块 $M$ ,以下类型的属性很容易从上述公理中推导出来:
$a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$
$-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$ 等交里 $a, b \in A, x, y \in M$, 符号 0 用 于表示两者的加法恒等式 $A$ 和 $M$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

一些自然的例子。(1)一个理想 $A$ 是一个 $A$ – 以自然的方式模块。特别地,环是自身之上的模块。
(2)阿贝尔群等同于 $\mathbb{Z}-$-module,具有明显的标量乘法。
(3) 如果 $A$ 是环的子环 $B$ 然后 $B$ 是一个 $A$-模块。如果 $a$ 是一个理想的 $A$ 然后 $A / \mathfrak{a}$ 是一个 $A$-模块。更 一般地,同态 $\varphi: A \rightarrow B$ 戒指制作 $B$ 进入一个 $A$-具有标量乘法的模块 $a b=\varphi(a) b$ 为了 $a \in A, b \in B$. 此外,如果 $M$ 是一个 $B$ – 然后模块 $M$ 获得一个 $A$ 模块结构通过 $\varphi$ 标量乘法由 $a x=\varphi(a) x$ 为了 $a \in A, x \in M$
(3) 域上的向量空间 $k$ 与 $\mathrm{a}$ 相同 $k$-模块。
子模块。让 $M$ 豆 $A$-模块。一个子集 $N$ 的 $M$ 被称为子模块 (更准确地说,一个 $A$-子模块) 的 $M$ 如 果 $N$ 是的加法了群 $M$ 并且在标量乘法下是封闭的。最后一个条件意味着 $a x \in N$ 对全部 $a \in A, x \in N$.
非空子集的以下三个条件 $N$ 的 $M$ 很容易被检查为等价的: (1) $N$ 是一个 $A$-子模块 $M$. (2) $N$ 在加 法和标量乘法下是封闭的。(3) $a x+b y \in N$ 对全部 $a, b \in A, x, y \in N$.
一个 $A$-子模块 $A$ 只是一个理想 $A$.
商模块。让 $M$ 豆 $A$-模块,让 $N$ 是一个子模块 $M$. 关于商群 $M / N$ 我们有一个明确定义的标量乘法 $a \bar{x}=\overline{a x}$ 为了 $a \in A, x \in M$ ,在哪里 $\bar{x}$ 表示的自然图像 $x$ 在 $M / N$. 这使得 $M / N$ 进入一个 $A-$ module,称为商 $M$ 经过 $N$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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