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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Parameter ideals

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Parameter ideals

Among m-primary ideals, the ones generated by a system of parameters have a distinguished role. It is usual to call them parameter ideals.

Proposition 7.4.32 (Chevalley-Samuel). Let $(R, \mathfrak{m})$ stand for a Noetherian local ring of dimension $d$, let $\mathrm{q}$ denote a parameter ideal of $R$ and let $M$ be a finitely generated R-module. Then:
(i) The fiber cone of $\mathfrak{q}$ is a polynomial ring over $k=R / \mathfrak{m}$; in particular, if $R$ contains a field $K$, any set of minimal generators of $\mathfrak{q}$ is algebraically independent over $K$.
(ii) $\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)\left(\begin{array}{c}n+d-1 \ d\end{array}\right)$ for all $n \geq 0$
(iii) $e(\mathrm{q}, M) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)$
(iv) The equality $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / \mathfrak{q})$ holds if and only if the associated graded ring of $\mathfrak{q}$ is a polynomial ring over $R / q$.
(v) If $R$ is Cohen-Macaulay, then $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / \mathfrak{q})$.
Proof. (i) Let $\left{a_1, \ldots, a_d\right}$ stand for a minimal set of generators of $q$ and consider the $k$-algebra map $k\left[X_1, \ldots, X_r\right] \rightarrow F(\mathfrak{q}):=\mathcal{R}R(\mathfrak{q}) / \mathfrak{m} \mathcal{R}_R(\mathfrak{q})=\sum{t \geq 0} \mathfrak{q}^t / \mathfrak{m} q^{t+1}$ such that $X_i$ maps to the residue of $a_i$. It suffices to show that $\operatorname{dim} F(\mathfrak{q})=d$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Associativity formulas

The purpose of this short part is to state two useful results, both called associativity formulas. The first is the analogue of the associativity formula for the graded Hilbert function. It is stated as follows.

Theorem 7.4.34 (Associativity of local multiplicities). Let $(R, \mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring, let $\mathfrak{q} \subset R$ be an $\mathfrak{m}$-primary ideal and let $M$ be a finitely generated $R$-module. Then
$$e(\mathfrak{q}, M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e((\mathfrak{q}, \wp) / \wp, R / \wp)$$
where $\wp$ runs through the set of prime ideals of $R$ such that $\operatorname{dim} R / \wp=\operatorname{dim} R$ and $(q, \rho) \neq R$

One of the known proofs follows pretty much the same scheme as that of the associativity formula for the Hilbert function in the graded case (Proposition 7.4.13). The only point that needs to be established is the additivity of the local multiplicity along an exact sequence as an analogue of 7.4.13.1.

Lemma 7.4.35. Let $(R, \mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring, let $\mathfrak{q} \subset R$ be an $\mathfrak{m}$-primary ideal and let $N \subset M$ be finitely generated R-modules. Then
$$e(\mathfrak{q}, M)=e(\mathfrak{q}, N)+e(\mathfrak{q}, M / N)$$
Proof. The proof follows pretty much the same scheme as in the proof of the claim in Theorem 7.4.31. Namely, one has
$$\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right)-\lambda\left((M / N) / \mathfrak{q}^n(M / N)\right)=\lambda\left(N / N \cap \mathfrak{q}^n M\right)$$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Parameter ideals

（i）的纤维雉 $\mathfrak{q}$ 是一个多项式环 $k=R / \mathfrak{m}$; 特别是，如果 $R$ 包含一个字段 $K$ ，的任何一组最小生成元q 在代数上是独立的 $K$.
(二) $\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)(n+d-1 d)$ 对全部 $n \geq 0$
(三) $e(\mathrm{q}, M) \leq \lambda(M / q M)$
(iv) 平等 $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / q)$ 当且仅当关联的分级环成立 $q$ 是一个多项式环 $R / q$.
(v) 如果 $R$ 是 Cohen-Macaulay，那么e $e(q, R)=\lambda(R / q)$.
$k\left[X_1, \ldots, X_r\right] \rightarrow F(\mathfrak{q}):=\mathcal{R} R(\mathfrak{q}) / \mathfrak{m} \mathcal{R}_R(\mathfrak{q})=\sum t \geq 0 \mathfrak{q}^t / \mathfrak{m} q^{t+1}$ 这样 $X_i$ 映射到的残差 $a_i$. 足以说明 $\operatorname{dim} F(\mathfrak{q})=d$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Associativity formulas

$$e(\mathfrak{q}, M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e((\mathfrak{q}, \wp) / \wp, R / \wp)$$

$$e(\mathfrak{q}, M)=e(\mathfrak{q}, N)+e(\mathfrak{q}, M / N)$$

$$\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right)-\lambda\left((M / N) / \mathfrak{q}^n(M / N)\right)=\lambda\left(N / N \cap \mathfrak{q}^n M\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。