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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The graded Hilbert function

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The graded Hilbert function

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This is the case where one aims at an enlargement of the setup in Section 2.7. Namely, one needs the extended notions of graded structures, as discussed in the beginning of Chapter 7.
The basic sine qua non result is the following elementary observation.
Lemma 7.4.5. Let $A$ stand for a commutative ring and let $R$ denote an $\mathbb{N}$-graded finitely generated A-algebra, with $R_0=A$. Let $M$ denote a finitely generated $\mathbb{Z}$-graded R-module. Then every homogeneous part of $M$ is a finitely generated A-module.

Proof. Since $R$ is graded, one can assume that it is generated by a set $\left{f_1, \ldots, f_r\right}$ of homogeneous elements of degrees, say, $d_1 \leq \cdots \leq d_r$. Consider the $\mathbb{N}$-graded polynomial ring $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$, where $\operatorname{deg}\left(x_i\right)=d_i$. Consider the surjective homomorphism of $A$-algebras $A\left[x_1, \ldots, x_r\right] \rightarrow R$ such that $x_i \mapsto f_i$, for $i=1, \ldots, r$. Since this way the grading of $R$ is induced by that of $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$, one may assume that $R=A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$. In this case, the result follows by an obvious reasoning from the analogous one for a standard polynomial ring.

This takes care of the case where $M=R$. For the general case, $M$ is the image of a graded $R$-module homomorphism with source a direct sum of finitely many copies of $R$ or $R$ shifted by some degree. Therefore, the result follows from the previous case.
In particular, if the ground ring $A$ is Artinian, every homogeneous part of $M$ has finite length. This is the base for the following concept.

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The formula of van der Waerden (Theorem 2.7.25) for the multiplicity of cyclic modules over a polynomial ring now fully extends to the present general situation, where it is called perhaps improperly the (graded) associativity formula. One goes back to the general setup of Definition 7.4.6.
Proposition 7.4.13. Let $M$ denote a finitely generated graded R-module. Then
$$
e(M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e(R / \wp)
$$
where $p$ runs through the minimal primes of $M$ of maximal dimension.
Proof. The basic strategy comes from the following additivity behavior of the multiplicity along an exact sequence.

Claim. Let $0 \rightarrow N^{\prime} \rightarrow N \rightarrow N^{\prime \prime} \rightarrow 0$ stand for a homogeneous exact sequence of finitely generated graded $R$-modules. Then
$$
e(N)= \begin{cases}e\left(N^{\prime}\right)+e\left(N^{\prime \prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N=\operatorname{dim} N^{\prime}=\operatorname{dim} N^{\prime \prime} \ e\left(N^{\prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N^{\prime \prime}<\operatorname{dim} N \ e\left(N^{\prime \prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N^{\prime}<\operatorname{dim} N\end{cases}
$$

To see the claim, recall that the Hilbert function is additive on short exact sequences as the one given. Taking $n \gg 0$, one gets an exact sequence of the values of the respective Hilbert polynomials. Since their degrees are the respective dimensions of the terms, the appended leading coefficients are either incomparable or equal. Since, according to Proposition 5.2.6(vii), the only alternatives for the dimensions along the exact sequence are the ones stated in the claim, the alternatives for the respective multiplicities are as stated.

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交换代数代写

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这是一种旨在扩大第 2.7 节中的设置的情况。也就是说,正如第 7 章开头所讨论的那样,我们需要渐 变结构的扩展概念。
基本的必要条件结果是以下基本观察。
引理 7.4.5。让 $A$ 代表交换环并让 $R$ 表示一个 $\mathbb{N}$ – 分级有限生成 $\mathrm{A}$ 代数,具有 $R_0=A$. 让 $M$ 表示一 个有限生成的 $\mathbb{Z}$-分级 $\mathrm{R}$ 模块。那么每个同质部分 $M$ 是有限生成的 $\mathrm{A}$ 模。
证明。自从 $R$ 是分级的,可以假设它是由一组生成的 \left{f_l,\Idots, $f _r$ right $}$ 度的齐次元素,比 方说, $d_1 \leq \cdots \leq d_r$. 考虑 $\mathbb{N}$-分级多项式环 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$ , 在哪里 $\operatorname{deg}\left(x_i\right)=d_i$. 考虑的满 射同态 $A$-代数 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right] \rightarrow R$ 这样 $x_i \mapsto f_i$ ,为了 $i=1, \ldots, r$. 由于这种方式的分级 $R$ 是由 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$ ,人们可以假设 $R=A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$. 在这种情况下,结果遵循标准多项式环 的类似推理的明显推理。
这会处理以下情况 $M=R$. 对于一般情况, $M$ 是分级图像 $R$-模块同态与源的有限多个副本的直和 $R$ 或者 $R$ 在某种程度上移动了。因此,结果与前一个案例相同。
特别是,如果接地环 $A$ 是 Artinian 的,每个同质的部分 $M$ 有有限的长度。这是以下概念的基础。

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多项式环上循环模的多重性的 van der Waerden 公式(定理 2.7.25)现在完全扩展到目前的一般 情况,它可能被不恰当地称为 (分级) 结合性公式。可以追溯到定义 7.4.6 的一般设置。 提案 7.4.13。让 $M$ 表示有限生成的分级 $\mathrm{R}$ 模块。然后
$$
e(M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e(R / \wp)
$$
在哪里 $p$ 遍历的最小素数 $M$ 的最大维度。
证明。基本策略来自沿精确序列的多重性的以下可加性行为。
宣称。让 $0 \rightarrow N^{\prime} \rightarrow N \rightarrow N^{\prime \prime} \rightarrow 0$ 代表有限生成的分级的齐次精确序列 $R$-模块。然后
$e(N)=\left{e\left(N^{\prime}\right)+e\left(N^{\prime \prime}\right) \quad\right.$ if $\operatorname{dim} N=\operatorname{dim} N^{\prime}=\operatorname{dim} N^{\prime \prime} e\left(N^{\prime}\right) \quad$ if $\operatorname{dim} N^{\prime \prime}<\operatorname{dim} N e\left(N^{\prime \prime}\right) \quad$ if $\operatorname{dim} N^{\prime}<\operatorname{dim}$
到相应希尔伯特多项式值的精确序列。由于它们的度数是项的各自维度,因此附加的前导系数是不可
比的或相等的。因为,根据命题 5.2.6(vii),沿着精确序列的维度的唯一备选方案是权利要求中所述
的维度,因此各个重数的备选方案如所述。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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