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计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Graphical lasso for discrete MRFs/CRFs

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计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Graphical lasso for discrete MRFs/CRFs

计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Graphical lasso for discrete MRFs/CRFs

It is possible to extend the graphical lasso idea to the discrete MRF and CRF case. However, now there is a set of parameters associated with each edge in the graph, so we have to use the graph analog of group lasso (see ??). For example, consider a pairwise CRF with ternary nodes, and node and edge potentials given by
$$
\psi_t\left(y_t, \boldsymbol{x}\right)=\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}{t 1}^{\top} \boldsymbol{x} \ \boldsymbol{v}{t 2}^{\top} \boldsymbol{x} \
\boldsymbol{v}{t 3}^{\top} \boldsymbol{x} \end{array}\right), \psi{s t}\left(y_s, y_t, \boldsymbol{x}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{w}{t 11}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}{s t 12}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}{s t 13}^{\top} \boldsymbol{x} \ \boldsymbol{w}{s t 21}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}{s t 22}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}{s t 23}^{\top} \boldsymbol{x} \
\boldsymbol{w}{s t 31}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}{s t 32}^{\top} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{w}_{s t 33}^{\top} \boldsymbol{x}
\end{array}\right)
$$

where we assume $\boldsymbol{x}$ begins with a constant 1 term, to account for the offset. (If $\boldsymbol{x}$ only contains 1 , the CRF reduces to an MRF.) Note that we may choose to set some of the $\boldsymbol{v}{t k}$ and $\boldsymbol{w}{s t j k}$ weights to 0 , to ensure identifiability, although this can also be taken care of by the prior.
To learn sparse structure, we can minimize the following objective:
$$
\begin{aligned}
J & =-\sum_{i=1}^N\left[\sum_t \log \psi_t\left(y_{i t}, \boldsymbol{x}i, \boldsymbol{v}_t\right)+\sum{s=1}^V \sum_{t=s+1}^V \log \psi_{s t}\left(y_{i s}, y_{i t}, \boldsymbol{x}i, \boldsymbol{w}{s t}\right)\right] \
& +\lambda_1 \sum_{s=1}^V \sum_{t=s+1}^V\left|\boldsymbol{w}{s t}\right|_p+\lambda_2 \sum{t=1}^V\left|\boldsymbol{v}t\right|_2^2 \end{aligned} $$ where $\left|\boldsymbol{w}{s t}\right|_p$ is the $p$-norm; common choices are $p=2$ or $p=\infty$, as explained in ??. This method of CRF structure learning was first suggested in $[\mathrm{Sch}+08]$. (The use of $\ell_1$ regularization for learning the structure of binary MRFs was proposed in [LGK06].)

Although this objective is convex, it can be costly to evaluate, since we need to perform inference to compute its gradient, as explained in ?? (this is true also for MRFs), due to the global partition function. We should therefore use an optimizer that does not make too many calls to the objective function or its gradient, such as the projected quasi-Newton method in [Sch +09 ]. In addition, we can use approximate inference, such as loopy belief propagation (??), to compute an approximate objective and gradient more quickly, although this is not necessarily theoretically sound.

计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Bayesian inference for undirected graph structures

Although the graphical lasso is reasonably fast, it only gives a point estimate of the structure. Furthermore, it is not model-selection consistent [Mei05], meaning it cannot recover the true graph even as $N \rightarrow \infty$. It would be preferable to integrate out the parameters, and perform posterior inference in the space of graphs, i.e., to compute $p(G \mid \mathcal{D})$. We can then extract summaries of the posterior, such as posterior edge marginals, $p\left(G_{i j}=1 \mid \mathcal{D}\right)$, just as we did for DAGs. In this section, we discuss how to do this.

If the graph is decomposable, and if we use conjugate priors, we can compute the marginal likelihood in closed form [DL93]. Furthermore, we can efficiently identify the decomposable neighbors of a graph [TG09], i.e., the set of legal edge additions and removals. This means that we can perform relatively efficient stochastic local search to approximate the posterior (see e.g. [GG99; Arm+08; SC08]).

However, the restriction to decomposable graphs is rather limiting if one’s goal is knowledge discovery, since the number of decomposable graphs is much less than the number of general undirected graphs. ${ }^4$
A few authors have looked at Bayesian inference for GGM structure in the non-decomposable case (e.g., [DGR03; WCK03; Jon+05]), but such methods cannot scale to large models because they use an expensive Monte Carlo approximation to the marginal likelihood [AKM05]. [LD08] suggested using a Laplace approximation. This requires computing the MAP estimate of the parameters for $\Omega$ under a G-Wishart prior [Rov02]. In [LD08], they used the iterative proportional scaling algorithm [SK86; HT08] to find the mode. However, this is very slow, since it requires knowing the maximal cliques of the graph, which is NP-hard in general.

In [Mog+09], a much faster method is proposed. In particular, they modify the gradient-based methods from Section 31.3.2.1 to find the MAP estimate; these algorithms do not need to know the cliques of the graph. A further speedup is obtained by just using a diagonal Laplace approximation, which is more accurate than BIC, but has essentially the same cost. This, plus the lack of restriction to decomposable graphs, enables fairly fast stochastic search methods to be used to approximate $p(G \mid \mathcal{D})$ and its mode. This approach significantly outperfomed graphical lasso, both in terms of predictive accuracy and structural recovery, for a comparable computational cost.

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可以将图形镸索的想法扩展到穴散 MRF 和 CRF 的情况。然而,现在有一组参数与图中的每条边相关联,所以我们必须使用组套索 的图形模拟(见??)。例如,考虞具有三元节点的成对 CRF,以及由下式給出的节点和边电位
我们假设 $\boldsymbol{x}$ 以常量 1 项开始,以说明偏移量。(如果 $\boldsymbol{x}$ 只包含 1 ,CRF 减少为 MRF。)请注意,我们可能会选择设置一些 $\boldsymbol{v} t k$ 和 $\boldsymbol{w} t j k$ 权重为 0 ,以确保可识别性,荩管这也可以由先验处理。
为了学习稀疏結构,我们可以最小化以下目标:
$$
J=-\sum_{i=1}^N\left[\sum_t \log \psi_t\left(y_{i t}, \boldsymbol{x} i, \boldsymbol{v}t\right)+\sum s=1^V \sum{t=s+1}^V \log \psi_{s t}\left(y_{i s}, y_{i t}, \boldsymbol{x} i, \boldsymbol{w} s t\right)\right] \quad+\lambda_1 \sum_{s=1}^V \sum_{t=s+1}^V|\boldsymbol{w} s t|_p+\lambda_2 \sum t=1^V|\boldsymbol{v} t|_2^2
$$
在哪里 $|\boldsymbol{w} t|_p$ 是个 $p$-规范; 常见的选择是 $p=2$ 或者 $p=\infty$ ,如?? 中所述。这种CRF结构学习的方法最早是在 $[\mathrm{Sch}+08]$.
(指某东西的用途 $\ell_1[L G K 06]$ 中提出了用于学习二进制 MRF 结构的正则化。)
尽管这个目标是凸的,但它的评估成本可能很㐫,因为我们需要执行推理来计算其梯度,如?? 中所述。(对于 MRF 也是如
此),由于全局分区函数。因此,我们应该使用不会对目标函数或其梯度进行过多调用的优化器,例如 [Sch +09] 中的投影拟牛
顿法。此外,我们可以使用近似推理,例如 loopy belief propagation (??),来更快地计算近似目标和梯度,尽管这在理论上不
一定是合理的。

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虽然图形套索相当快,但它只给出了结构的点估计。此外,它与模型选择不一致 [Mei05],这意味着它无法恢 复真实的图形,即使 $N \rightarrow \infty$. 最好将参数积分出来,在图空间进行后验推理,即计算 $p(G \mid \mathcal{D})$. 然后我们可 以提取后验的摘要,例如后边缘边缘, $p\left(G_{i j}=1 \mid \mathcal{D}\right)$ ,就像我们为 DAG 所做的那样。在本节中,我们将讨 论如何做到这一点。
如果图是可分解的,并且如果我们使用共轭先验,我们可以计算封闭形式的边际似然 [DL93]。此外,我们可以 有效地识别图的可分解邻居[TGO9],即合法边添加和删除的集合。这意味着我们可以执行相对有效的随机局部 溲索来近似后验(参见例如 [GG99; Arm+08; SC08])。
然而,如果一个人的目标是知识发现,那么对可分解图的限制是相当有限的,因为可分解图的数量远少于一般 无向图的数量。 4
一些作者研究了不可分解情况下 GGM 结构的贝叶斯推理(例如,[DGR03;WCK03;JOn+05]),但此类方 法无法扩展到大型模型,因为它们使用昂贵的蒙特卡洛逼近边缘可能性 [AKM05]。[LD08] 建议使用拉普拉斯 近似。这需要计算参数的 MAP 估计 $\Omega$ 在 G-Wishart 先验 [Rov02] 下。在[LD08]中,他们使用了迭代比例缩 放算法[SK86;HT08]找到模式。然而,这非常慢,因为它需要知道图的最大派系,这通常是 NP 难的。
在 [Mog+09] 中,提出了一种更快的方法。特别是,他们修改了第 31.3.2.1 节中基于梯度的方法来找到 MAP 估计;这些算法不需要知道图的派系。通过仅使用对角线拉普拉斯近似获得进一步的加速,它比 BIC 更准确, 但具有基本相同的成本。这一点,加上对可分解图的限制,使得相当快的随机搜索方法可以用于近似 $p(G \mid \mathcal{D})$ 及其模式。这种方法在预测准确性和结构恢复方面都明显优于图形镸索,而且计算成本相当。

计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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