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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Introduction to this section
Lineal convexity, a kind of complex convexity intermediate between usual convexity and pseudoconvexity, appears naturally in the study of Fantappiè transforms of analytic functionals. A set is called lineally convex if its complement is a union of complex hyperplanes. This property can be most conveniently defined in terms of the notion of dual complement: the dual complement of a set in $\mathbf{C}^n$ is the set of all hyperplanes that do not intersect the set. It is natural to add a hyperplane at infinity and consider $\mathbf{C}^n$ as an open subset of $\mathbf{P}^n$, complex projective space of dimension $n$. The definition of dual complement is then the same, and somewhat more natural: the set of all hyperplanes is again a projective space. In this setting, the dual complement is often called the projective complement. Indeed, Martineau (1966) called it le complémentaire projectif; the term dual complement used here was introduced by Andersson, Passare and Sigurdsson in a preprint from 1991 of their forthcoming book (2004).
We can now simply define a lineally convex set as a set which is the dual complement of its dual complement (here it becomes obvious that we should identify the hyperplanes in the space of all hyperplanes with the points in the original space). So this duality works well for sets. What about functions?
In convexity theory, a convenient dual object of a set is its support function as defined in Section 9.2. For functions, we have the Fenchel transformation, defined as well in Section 9.2.
Is there a duality for functions that generalizes the duality for sets defined by the dual complement? In this section we shall study such a duality. We call it the logarithmic transformation. It has many properties in common with the Fenchel transformation. However, there are some striking differences. The effective domain, defined by formula (Definition 9.2.5), of a Fenchel transform is always convex, but the effective domain of a logarithmic transform need not be lineally convex (Example 9.8.16). This is connected with the fact that the union of an increasing sequence of lineally convex sets is not necessarily lineally convex (Example 9.8.17). However, the interior of the effective domain of a logarithmic transform is always lineally convex (Theorem 9.8.14), and the transform is plurisubharmonic there (Theorem 9.8.18).
Working with functions defined on $\mathbf{P}^n$ is the same as working with functions defined on $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ which are constant on complex lines, i.e., homogeneous of degree zero. For instance a plurisubharmonic function on an open subset of $\mathbf{P}^n$ can be pulled back to an open cone in $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ and the pullback is plurisubharmonic for the $1+n$ coordinates there. However, I cannot define a duality for such functions. I have been led to consider instead functions defined on subsets of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ which are homogeneous in another sense: they satisfy $f(t z)=-\log |t|+f(z)$. Such functions are not pullbacks of functions on projective space, but the duality works for them. In a coordinate patch like $z_0=1$ we can identify them with functions on a subset of $\mathbf{P}^n$. Given any function $F$ on $\mathbf{C}^n$, we can define a function $f$ on $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ by $f(z)=F\left(z_1 / z_0, \ldots, z_n / z_0\right)+c \log \left|z_0\right|$ when $z_0 \neq 0$ and $f(z)=+\infty$ when $z_0=0$, where $c$ is an arbitrary real constant; this function is homogeneous in the sense that $f(t z)=c \log |t|+f(z)$ , so we can choose any type of homogeneity. In other words, locally all kinds of homogeneity are equivalent, and there is no restriction in imposing the homogeneity we have here, viz. $c=-1$.
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Notation
Let $A$ be a subset of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$, where $n \geqslant 1$. We shall say that $A$ is homogeneous if $t z \in A$ as soon as $z \in A$ and $t \in \mathbf{C} \backslash{0}$. To any homogeneous subset $A$ of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ we define its dual complement $A^$ as the set of all hyperplanes passing through the origin which do not intersect $A$. Since any such hyperplane has an equation $\zeta \cdot z=\zeta_0 z_0+\cdots+\zeta_n z_n=0$ for some $\zeta \in \mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$, we can define $$ A^=\left{\zeta \in \mathbf{C}^{1+n} \backslash{0} ; \zeta \cdot z \neq 0 \text { forevery z } \in \mathrm{A}\right}
$$
Strictly speaking, we should have two copies of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ (a Greek and a Latin one), and consider $A^$ as a subset of the dual (i.e., the Greek) space. A homogeneous set is called lineally convex if $\mathbf{C}^{1+n} \backslash A$ is a union of complex hyperplanes passing through the origin. A dual complement $A^$ is always lineally convex, and we always have $A^{* } \supset A$. The set $A^{ }$ is called the lineally convex hull of $A$. A set $A$ is lineally convex if and only if $A=A^{ *}$.
The operation of taking the dual complement is an example of a Galois correspondence, and the operation of taking the lineally convex hull defines a cleistomorphism in the ordered set of all subsets of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$. For the general definitions of these concepts, see Section 9.3.
We shall write $z=\left(z_0, z^{\prime}\right)=\left(z_0, z_1, \ldots, z_n\right)$ for points in $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$, with $z_0 \in \mathbf{C}$ and $z^{\prime}=\left(z_1, \ldots, z_n\right) \in \mathbf{C}^n$. Homogeneous sets in $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ correspond to subsets of projective $n$ space $\mathbf{P}^n$, and we can transfer the notions of dual complement and lineal convexity to $\mathbf{P}^n$. In the open set where $z_0 \neq 0$ we can use $z^{\prime}$ as coordinates in $\mathbf{P}^n$.
We shall denote by
$$
Y_\zeta=\left{z \in \mathbf{C}^{1+n} \backslash{0} ; \zeta \cdot z=0\right}, \quad \zeta \in \mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}
$$
the hyperplane defined by $\zeta$. Then the dual complement can be conveniently defined as
$$
A^=\left{\zeta ; Y_\zeta \cap A=\emptyset\right} $$ and its set-theoretical complement in $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ is $$ \complement A^=\left(\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}\right) \backslash A^*=\left{\zeta ; Y_\zeta \cap A \neq \emptyset\right}
$$
复分析代写
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Introduction to this section
线性凸性是介于普通凸性和伪凸性之间的一种复凸性，自然出现在解析泛函的 Fantappiè 变换研究 中。如果一个集合的补集是复超平面的并集，则该集合称为线性凸集。这个性质可以根据对偶补码的 概念最方便地定义: 一个集合的对偶补码 $\mathbf{C}^n$ 是不与该集合相交的所有超平面的集合。很自然她在无 穷远处添加一个超平面并考虑 $\mathbf{C}^n$ 作为一个开放子集 $\mathbf{P}^n$ ，维数的复射影空间 $n$. 对偶补集的定义是相 同的，而且更自然: 所有超平面的集合又是一个射影空间。在这种情况下，对偶补码通常称为投射补 码。事实上，Martineau (1966) 称它为 le complémentaire projectif；这里使用的双补语一词 是由 Andersson、Passare 和 Sigurdsson 在 1991 年他们即将出版的书 (2004 年) 的预印本中 引入的。
我们现在可以简单地将一个线性凸集定义为一个集合，它是它的对偶补集的对偶补集（这里很明显， 我们应该用原始空间中的点识别所有超平面空间中的超平面)。所以这种二元性适用于集合。函数 呢?
在凸性理论中，集合的一个方便的对偶对象是它的支持函数，如第 9.2 节中所定义。对于函数，我们 有 Fenchel 变换，在 9.2 节中也有定义。
是否存在函数的对偶性来概括由对偶补码定义的集合的对偶性? 在本节中，我们将研究这种二元性。 我们称之为对数变换。它与 Fenchel 变换有许多共同的性质。但是，存在一些显着差异。由公式 (定义 9.2.5) 定义的 Fenchel 变换的有效域始炵是凸的，但对数变换的有效域不必是线性凸的 (例 9.8.16) 。这与线性凸集递增序列的并集不一定是线性凸集这一事实有关 (例 9.8.17)。然而， 对数变换的有效域的内部始终是线性凸的（定理 9.8.14），并且变换在那里是多次谐波的（定理 $9.8 .18)$ 。
使用定义于 $\mathbf{P}^n$ 与使用定义的函数相同 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 它们在复线上是常数，即零次齐次。例如，一个开子 集上的多次调和函数 $\mathbf{P}^n$ 可以拉回一个开放的雉体 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 回调是多次次谐波的 $1+n$ 坐标在那里。 但是，我无法为此类功能定义二元性。我被引导去考虑定义在 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 它们在另一种意义上是同质 的: 它们满足 $f(t z)=-\log |t|+f(z)$. 这些函数不是射影空间上函数的回调，而是对偶性对它 们起作用。在像文样的坐标补丁中 $z_0=1$ 我们可以用一个子集上的函数来识别它们 $\mathbf{P}^n$. 给定任何函 数 $F$ 在 $\mathbf{C}^n$ ，我们可以定义一个函数 $f$ 在 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 经过 $f(z)=F\left(z_1 / z_0, \ldots, z_n / z_0\right)+c \log \left|z_0\right|$ 什么时候 $z_0 \neq 0$ 和 $f(z)=+\infty$ 什么时候 $z_0=0$ ，在哪里 $c$ 是任意实常数; 这个函数在某种意义上是齐次的 $f(t z)=c \log |t|+f(z)$, 所以我们可 以选择任何类型的同质性。换句话说，局部上各种同质性是等价的，并且没有限制我们这里的同质 性，即。 $c=-1$.
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Notation
让 $A$ 是一个子集 $\mathrm{C}^{1+n} \backslash 0$ ，在哪里 $n \geqslant 1$. 我们会说 $A$ 是齐次的，如果 $z \in A$ 立刻 $z \in A$ 和
$t \in \mathbf{C} \backslash 0$. 对于任何齐次子集 $A$ 的 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 我们定义它的对偶补码一个从作为所有通过原点但不相交
的超平面的集合 $A$. 因为任何这样的超平面都有一个方程 $\zeta \cdot z=\zeta_0 z_0+\cdots+\zeta_n z_n=0$ 对于一
些 $\zeta \in \mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$, 我们可以定义
$A \wedge=\mid$ left ${|z e t a|$ in $\backslash$ mathbf ${C} \wedge{1+n} \mid$ backslash ${0} ;|z e t a| c d o t ~ z \mid$ neq 0 |text ${$ 永远 $z} \mid$ in $|\operatorname{mathrm}{A}|$ right $}$
严格来说，我们应该有两份 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ (希腊语和拉丁语)，并考虑一个从作为对偶 (即希腊) 空间
的子集。斉次集称为线生凸集，如果 $\mathrm{C}^{1+n} \backslash A$ 是通过原点的复数迢平面的并集。双补 $\square$ 个个总是线
性凸的，我们总是有 $A^* \supset A$. 套装 $A$ 称为线性凸包 $A$. 一套 $A$ 是线性凸的当且仅当 $A=A^*$.
取对偶补集的操作是伽罗华对应的一个例子，取线性凸包的操作在所有子集的有序集合中定义了一个 同构 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$. 有关这些概念的一般定义，请参阅第 9.3 节。
我们要写 $z=\left(z_0, z^{\prime}\right)=\left(z_0, z_1, \ldots, z_n\right)$ 对于点 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ ，和 $z_0 \in \mathbf{C}$ 和
$z^{\prime}=\left(z_1, \ldots, z_n\right) \in \mathbf{C}^n$. 齐次套入 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 对应于投影的子集 $n$ 空间 $\mathbf{P}^n$ ，我们可以将对偶裉码
和线性凸性的概念转移到 $\mathbf{P}^n$. 在开集里 $z_0 \neq 0$ 我们可以用 $z^{\prime}$ 作为坐标 $\mathbf{P}^n$.
我们将表示为
$Y_{-} \mid$zeta $=\backslash$ left ${z \mid$ in $\backslash$ mathbf ${c} \wedge{1+n} \mid$ backslash ${0} ; \mid$ zeta $\mid$ cdot $z=0 \mid$ right $}, \mid$ quad $\mid$ zeta $\backslash$ in $\mid$ mathbf ${c} \wedge{1+n} \mid$ backslash ${0}$
定义的超平面〈.那么对偶补码可以方便地定义为
$$
A \Lambda=\backslash \text { left }\left{\text { zeta; } Y_{-} _ \text {Izeta } \mid \text { cap A }=\text { lemptyset } \backslash \text { right }\right}
$$
及其集合论的补充 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$ 是
$$
A^=\left{\zeta ; Y_\zeta \cap A=\emptyset\right} $$ and its set-theoretical complement in $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$ is $$ \complement A^=\left(\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}\right) \backslash A^*=\left{\zeta ; Y_\zeta \cap A \neq \emptyset\right}
$$
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。