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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Lineally convex Hartogs sets

如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样,在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数,其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算(如考奇积分公式所示)。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分,这里适用于残差理论等(见轮廓积分的方法)。

复分析Complex analysis一个函数的 “极点”(或孤立的奇点)是指该函数的值变得无界,或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点,那么人们可以在那里计算函数的残差,这可以用来计算涉及该函数的路径积分;这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数,但可以通过更容易理解的函数(如多项式)的无限和来研究奇点附近的函数行为。

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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Lineally convex Hartogs sets

数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Lineally convex Hartogs sets

Intuitively, it seems that $E(\emptyset ; f)$ and $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$ ought to be lineally convex simultaneously. This is not quite true. We shall note three results in the positive direction, Propositions 9.8.389.8.40 below, and one result in the negative direction, Example 9.8.41. Then we shall establish conditions under which it is true that $f$ is $\mathscr{L}$-closed if and only if $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$ is lineally convex (Corollary 9.8.43), as well as conditions which guarantee that $f$ is $\mathscr{L}$-closed if and only if $E(\emptyset ; f)$ is lineally convex (Theorem 9.8.49).

Proposition 9.8.38 If $E(X ; f)$ is lineally convex, then also $X \cup \operatorname{dom}(f)$ and $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ are lineally convex. In particular, if $E(\emptyset ; f)$ is lineally convex, then so are $\operatorname{dom}(f)$ and $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$.

Proof Suppose that $E(X ; f)$ is lineally convex. That $X \cup \operatorname{dom}(f)$ is lineally convex then follows from the easily proved result that the intersection of a lineally convex set and a complex subspace is lineally convex as a subset of the latter. If $E(X ; f)$ is lineally convex, then also $E(X ; f+a)$ is lineally convex for any real number a. Any intersection of lineally convex sets has the same property, so we only need to note that $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ is equal the intersection of all $E(X ; f-a), a>0$.

Proof Suppose that $E(X ; f)$ is lineally convex. That $X \cup \operatorname{dom}(f)$ is lineally convex then follows from the easily proved result that the intersection of a lineally convex set and a complex subspace is lineally convex as a subset of the latter. If $E(X ; f)$ is lineally convex, then also $E(X ; f+a)$ is lineally convex for any real number a. Any intersection of lineally convex sets has the same property, so we only need to note that $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ is equal the intersection of all $E(X ; f-a), a>0$.

Proposition 9.8.39 If $f$ is upper semicontinuous and there exists a set $X$ such that $E(X ; f)$ is lineally convex, then $E(\emptyset ; f)$ is lineally convex.

Proof We know from Corollary 9.8 .4 that $E(X ; f)^{\circ}$ is lineally convex if $E(X ; f)$ is lineally convex. Now $E(X ; f)^{\circ}=E(\emptyset ; f)$ if $f$ is upper semicontinuous, hence the result.

However, the semicontinuity of $f$ is not important-it is the fact that the effective domain is open which is relevant. This is shown by the following result.

数学代写|复分析代写Complex analysis代考|A necessary differential condition for L -closed functions

It is well known that convex functions as well as plurisubharmonic functions of class $C^2$ can be characterized by differential conditions. Is the same true for $\mathscr{L}$-closed functions? We shall first establish a necessary differential condition.

Proposition 9.8.50 Suppose that $f$ is an $\mathscr{L}$-closed function of class $C^2$ in some open set $\Omega$ of $\mathbf{C}^{1+n} \backslash{0}$. Then
$$
\left|\sum\left(f_{z_j z_k}-2 f_{z_j} f_{z_k}\right) b_j b_k\right| \leqslant \sum f_{z_j \bar{z}_k} b_j \bar{b}_k, \quad \text { in } \Omega \text { forall } b \in \mathbf{C}^{1+n} .
$$

In particular, if $n=1$ and we define $F(z)=f(1, z), z \in \mathbf{C}$, then
$$
\left|F_{z z}-2 F_z^2\right| \leqslant F_{z \bar{z}}
$$
Proof Define $g(z)=-\log |\beta \cdot z|$. For every point $a$ where $f(a)$ is finite there is a vector $\beta$ such that $\operatorname{grad} g(a)=\operatorname{grad} f(a)$. Indeed, let us first note that by homogeneity $\sum a_j f_{z_j}(a)=-1 / 2$ for all $a$. If we choose $\beta_j=f_{z_j}(a)$, then $\beta \cdot a=-1 / 2$ and
$$
\frac{\partial g}{\partial z_j}(z)=-\frac{1}{2} \frac{\beta_j}{\beta \cdot z}
$$
takes the value
$$
\frac{\partial g}{\partial z_j}(a)=-\frac{1}{2} \frac{\beta_j}{\beta \cdot a}=\beta_j
$$

at $z=a$. Then by $\mathscr{L}$-closedness $f(z) \geqslant f(a)+g(z)-g(a)$ for all $z$, for the definition of the $\mathscr{L}$ transformation uses precisely the functions $g$ plus a constant. Take a curve $t \mapsto \gamma(t)$ such that $\gamma(0)=a$ and compare the two functions $\varphi=f^{\circ} \gamma$ and $\psi=f(a)+g^{\circ} \gamma-g(a)$. We have $\varphi(0)=\psi(0)$ and $\varphi^{\prime}(0)=\psi^{\prime}(0)$ and must therefore have $\varphi^{\prime \prime}(0) \geqslant \psi^{\prime \prime}(0)$. We calculate $\varphi^{\prime \prime}$ :
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(t)=\operatorname{Re} \sum f_{z_j z_k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \gamma_k^{\prime}(t) \
& \quad+\sum f_{z_j \bar{z}k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \overline{\gamma_k^{\prime}(t)}+\operatorname{Re} \sum f{z_j}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime \prime}(t) .
\end{aligned}
$$
The corresponding formula for $\psi$ simplifies to
$$
\frac{1}{2} \psi^{\prime \prime}(t)=\operatorname{Re} \sum g_{z_j z_k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \gamma_k^{\prime}(t)+\operatorname{Re} \sum g_{z_j}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime \prime}(t)
$$
since $g_{z_j}$ is holomorphic, i.e., $g_{z_j \bar{z}k}=0$. Also $$ g{z_j z_k}(z)=\frac{1}{2} \frac{\beta_j \beta_k}{(\beta \cdot z)^2}=2 g_{z_j}(z) g_{z_k}(z)
$$

数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Lineally convex Hartogs sets

复分析代写

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直觉上,似乎 $E(\emptyset ; f)$ 和 $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$ 应该同时是线性凸的。这是不完全正确的。我们将注意到三个正方向的结果,下面的命 题 9.8.389.8.40,和一个负方向的结果,示例 9.8.41。然后我们将建立条件,在该条件下, $f$ 是 $\mathscr{L}$-关闭当且仅当 $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$ 是线性凸的(推论 9.8.43),以及保证 $f$ 是 $\mathscr{L}$ – 关闭当且仅当 $E(\emptyset ; f)$ 是线性凸的(定理 9.8.49)。
提穼 9.8.38 如果 $E(X ; f)$ 是线性凸的,那么也 $X \cup \operatorname{dom}(f)$ 和 $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ 是线性凸的。特别是,如果 $E(\emptyset ; f)$ 是线 性凸的,那么也是dom $\operatorname{dom}(f)$ 和 $E(\operatorname{dom}(f) ; f)$.
证明假设 $E(X ; f)$ 是线性凸的。那 $X \cup \operatorname{dom}(f)$ 是线性凸的然后从容易证明的结果得出线性凸集和复数子空间的交集作为后者的 子集是线性凸的。如果 $E(X ; f)$ 是线性凸的,那么也 $E(X ; f+a)$ 对于任何实数 $\mathrm{a}$ 都是线性凸的。任何线性凸集的交集都具有 相同的性质,所以我们只需要注意 $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ 等于所有的交集 $E(X ; f-a), a>0$.
证明假设 $E(X ; f)$ 是线性凸的。那 $X \cup \operatorname{dom}(f)$ 是线性凸的然后从容易证明的结果得出线性凸集和昔数子空间的交集作为后者的 子集是线性凸的。如果 $E(X ; f)$ 是线性凸的,那么也 $E(X ; f+a)$ 对于任何实数 $\mathrm{a}$ 都是线性凸的。任何线性凸集的交集都具有 相同的性质,所以我们只需要注意 $E(X \cup \operatorname{dom}(f) ; f)$ 等于所有的交集 $E(X ; f-a), a>0$.
提案 9.8.39 如果 $f$ 是上半连续的并且存在一个集合 $X$ 这样 $E(X ; f)$ 是线性凸的,那么 $E(\emptyset ; f)$ 是线性凸的。
证明我们从推论 9.8 .4 知道 $E(X ; f)^{\circ}$ 是线生凸的如果 $E(X ; f)$ 是线性凸的。现在 $E(X ; f)^{\circ}=E(\emptyset ; f)$ 如果 $f$ 是上半连续的, 因此是结果。
然而,半连续性 $f$ 并不重要一一重要的是有效域是开放的这一事实。这由以下结果显示。

数学代写|复分析代写Complex analysis代考|A necessary differential condition for L -closed functions

众所周知,凸函数以及类的多次调和函数 $C^2$ 可以用不同的条件来表征。同样适用于 $\mathscr{L}$-封闭的功能? 我们首先 要建立一个必要的微分条件。
提案 9.8.50 假设 $f$ 是一个 $\mathscr{L}$-类的封闭函数 $C^2$ 在一些开集 $\Omega$ 的 $\mathbf{C}^{1+n} \backslash 0$. 然后
$$
\left|\sum\left(f_{z_j z_k}-2 f_{z_j} f_{z_k}\right) b_j b_k\right| \leqslant \sum f_{z_j \bar{z}k} b_j \bar{b}_k, \quad \text { in } \Omega \text { forall } b \in \mathbf{C}^{1+n} . $$ 特别是,如果 $n=1$ 我们定义 $F(z)=f(1, z), z \in \mathbf{C}$ ,然后 $$ \left|F{z z}-2 F_z^2\right| \leqslant F_{z \bar{z}}
$$
证明定义 $g(z)=-\log |\beta \cdot z|$. 对于每一点 $a$ 在哪里 $f(a)$ 是有限的 有一个向量 $\beta$ 这样
$\operatorname{grad} g(a)=\operatorname{grad} f(a)$. 事实上,让我们首先注意到,通过同质性 $\sum a_j f_{z_j}(a)=-1 / 2$ 对全部 $a$. 如果我 们选择 $\beta_j=f_{z_j}(a)$ ,然后 $\beta \cdot a=-1 / 2$ 和
$$
\frac{\partial g}{\partial z_j}(z)=-\frac{1}{2} \frac{\beta_j}{\beta \cdot z}
$$
取值
$$
\frac{\partial g}{\partial z_j}(a)=-\frac{1}{2} \frac{\beta_j}{\beta \cdot a}=\beta_j
$$
在 $z=a$. 然后由 $\mathscr{L}$-封闭性 $f(z) \geqslant f(a)+g(z)-g(a)$ 对全部 $z$, 对于的定义 $\mathscr{L}$ 转换恰好使用函数 $g$ 加上一 个常数。走弯路 $t \mapsto \gamma(t)$ 这样 $\gamma(0)=a$ 并比较两个函数 $\varphi=f^{\circ} \gamma$ 和 $\psi=f(a)+g^{\circ} \gamma-g(a)$. 我们有 $\varphi(0)=\psi(0)$ 和 $\varphi^{\prime}(0)=\psi^{\prime}(0)$ 因此必须有 $\varphi^{\prime \prime}(0) \geqslant \psi^{\prime \prime}(0)$. 我们计算 $\varphi^{\prime \prime}:$
$$
\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(t)=\operatorname{Re} \sum f_{z_j z_k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \gamma_k^{\prime}(t) \quad+\sum f_{z_j \bar{z} k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \overline{\gamma_k^{\prime}(t)}+\operatorname{Re} \sum f z_j(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime \prime}(t)
$$
相应的公式为 $\psi$ 简化为
$$
\frac{1}{2} \psi^{\prime \prime}(t)=\operatorname{Re} \sum g_{z_j z_k}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime}(t) \gamma_k^{\prime}(t)+\operatorname{Re} \sum g_{z_j}(\gamma(t)) \gamma_j^{\prime \prime}(t)
$$
自从 $g_{z_j}$ 是全纯的,即 $g_{z_j \bar{z} k}=0$. 还
$$
g z_j z_k(z)=\frac{1}{2} \frac{\beta_j \beta_k}{(\beta \cdot z)^2}=2 g_{z_j}(z) g_{z_k}(z)
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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