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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Riemann Integral

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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如,将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间,将实分析与一般拓扑学领域联系起来,而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物,导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念,以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究,最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Riemann Integral

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A more useful definition of integration was given by Bernhard Riemann in “Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.” As mentioned in section 5.1 , this was written after the summer of 1852 when Riemann had discussed questions of Fourier series with Dirichlet. Its purpose was nothing less than to find necessary and sufficient conditions for a function to have a representation as a trigonometric series. Riemann never published it, probably because it raised many new questions that he was hoping to answer. It appeared in 1867 , after his death.

Riemann begins with a summary of the history of the subject, describing the contributions from d’Alembert, Euler, Bernoulli, and Lagrange and the questions that arose concerning the validity of a trigonometric expansion for arbitrary functions. He discusses Fourier’s contributions and Dirichlet’s proof, emphasizing Dirichlet’s recognition of the distinction between absolute and conditional convergence. This is where the Riemann rearrangement theorem is stated, not as a theorem but as an observation. He points out the difficulty with Fourier series: that in general the convergence will not be absolute.

This is followed by a list of the assumptions that Dirichlet needed to impose on a function in order to prove that it did have representation as a trigonometric series:
I. it must be integrable,
II. at each point of discontinuity, its value must be the average of the limit from the left and the limit from the right,
III. it must be piecewise continuous, bounded, and piecewise monotonic.
The second condition is essential. We have seen that the Fourier series cannot equal the original function at any point where this is not true. The third assumption is not as clearly necessary. Most of Riemann’s work involved probing how far the third assumption could be weakened.

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The first task is to clarify the meaning of the integral. Cauchy’s definition was adequate for proving that any bounded continuous function is integrable. It is also sufficient for a demonstration that any bounded piecewise continuous function is integrable. Riemann wished to consider even more general functions, functions with infinitely many discontinuities within any finite interval. His definition is very similar to Cauchy’s. Like Cauchy,

he uses approximating sums:
$$
\int_a^b f(x) d t \approx \sum_{j=1}^n f\left(x_{j-1}^\right)\left(x_j-x_{j-1}\right) . $$ Unlike Cauchy who evaluated the function $f$ at the left-hand endpoint of each interval, Riemann allows approximating sums in which $x_{j-1}^$ can be any point in the interval $\left[x_{j-1}, x_j\right]$. Because of this extra freedom, it appears more difficult to guarantee convergence of these series. In fact, for bounded functions Riemann’s definition is equivalent to Cauchy’s. Cauchy wanted to be able to prove that any continuous function is integrable. Riemann was interested in seeing how discontinuous a function could be and still remain integrable. As he realized, to be tied to the left-hand endpoints obscures what is happening in general. Riemann’s definition-in the language of the $\epsilon-\delta$ game-is the following.

Definition: integration (Riemann)
A function $f$ is said to be Riemann integrable over the interval $[a, b]$ and its integral has the value $V$ provided that the following condition is satisfied. Given any specified error bound $\epsilon$, there must be a response $\delta$ such that for any partition
$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b
$$
where each of the subintervals has length less than $\delta$,
$$
\left|x_j-x_{j-1}\right|<\delta, \quad \text { for all } j \text {, }
$$
and for any set of values $x_0^* \in\left[x_0, x_1\right], x_1^* \in\left[x_1, x_2\right], \ldots, x_{n-1}^* \in\left[x_{n-1}, x_n\right]$, the corresponding approximating sum will lie within $\epsilon$ of the value $V$,
$$
\left|\sum_{j=1}^n f\left(x_{j-1}^*\right)\left(x_j-x_{j-1}\right)-V\right|<\epsilon .
$$
The value of the integral is denoted by
$$
V=\int_a^b f(x) d x
$$

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Bernhard Riemann 在“Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe” 中给出了更有用的积分定义。如 5.1 节所述,这是在 1852 年夏天黎埐与狄利克雷讨论傅里叶级数问题之后写 的。它的目的不亚于寻找一个函数具有三角级数表示的充分必要条件。黎妟从末发表过它,可能是因为它提出 了许多他㸴望回答的新问题。它出现于 1867 年,在他死后。
黎最首先总结了该学科的历史,描述了达朗贝尔、欧拉、伯努利和拉格朗日的贡献,以及出现的关于任意函数 的三角展开的有效性的问题。他讨论了傅里叶的贡献和 Dirichlet 的证明,强调 Dirichlet 对绝对收敛和条件收 敛之间区别的认识。这就是黎埐重排定理被陈述的地方,不是作为定理而是作为观察。他指出了傅里叶级数的 困难: 一般来说收敛不会是绝对的。
接下来是 Dirichlet 需要对函数施加的一系列假设,以证明它确实具有三角级数的表示形式: I. 它必须是可积的,
II. 在每个不连续点,其值必须是左侧极限和右侧极限的平均值,
III。它必须是分段连续的、有界的和分段单调的。
第二个条件必不可少。我们已经看到,傅里叶级数在任何不正确的地方都不能等于原始函数。第三个假设显然 没有必要。黎埐的大部分工作都涉及探索第三个假设可以削弱到什么程度。

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第一项任务是阐明积分的含义。Cauchy 的定义足以证明任何有界连续函数是可积的。这也足以证明任何有界 分段连续函数是可积的。黎埐希望考虑更一般的函数,即在任何有限区间内具有无限多个不连续点的函数。他 的定义与柯西的非常相似。像柯西一样,
他使用近似值:
不像 Cauchy 评价函数 $f$ 在每个区间的左端点,黎埐允许近似求和,其中 $\mathrm{x}{-}{j-1} \wedge$ 可以是区间中的任意一点 $\left[x{j-1}, x_j\right]$. 由于这种额外的自由度,保证这些级数收玫似乎更加困难。事实上,对于有界函数,黎晏的定义等 同于柯西的。柯西㣇望能够证明任何连续函数都是可积的。黎鄤有兴趣了解一个函数在多不连续的情况下仍能 保持可积。正如他所意识到的,与左侧端点的联系掩盖了一般情况下正在发生的事情。黎曼的定义一一用的语 言 $\epsilon-\delta$ 游戏-如下。
定义: 积分 (黎曼)
函数 $f$ 据说在区间上是黎曼可积的 $[a, b]$ 其积分值为 $V$ 前提是满足以下条件。给定任何指定的错误界限 $\epsilon$ ,必须有 回应 $\delta$ 这样对于任何分区
$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b
$$
其中每个子区间的长度小于 $\delta$
$$
\left|x_j-x_{j-1}\right|<\delta, \quad \text { for all } j
$$
对于任何一组值 $x_0^* \in\left[x_0, x_1\right], x_1^* \in\left[x_1, x_2\right], \ldots, x_{n-1}^* \in\left[x_{n-1}, x_n\right]$ ,相应的近似和将位于 $\epsilon$ 价值的 $V$ ,
$$
\left|\sum_{j=1}^n f\left(x_{j-1}^*\right)\left(x_j-x_{j-1}\right)-V\right|<\epsilon .
$$
积分的值表示为
$$
V=\int_a^b f(x) d x
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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