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数学代写|数论代写Number Theory代考|Chinese remaindering and polynomial interpolation

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Chinese remaindering and polynomial interpolation

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We remind the reader of the discussion following Theorem 17.17 , where the point was made that when $n_i=\left(\mathrm{x}-b_i\right)$ for $i=1, \ldots, k$, then the Chinese remainder theorem for polynomials reduces to Lagrange interpolation. Thus, Theorem 18.6 says that given distinct elements $b_1, \ldots, b_k \in F$, along with elements $a_1, \ldots, a_k \in F$, we can compute the unique polynomial $z \in F[\mathrm{X}]$ of degree less than $k$ such that
$$
z\left(b_i\right)=a_i \quad(i=1, \ldots, k),
$$
using $O\left(k^2\right)$ operations in $F$.
It is perhaps worth noting that we could also solve the polynomial interpolation problem using Gaussian elimination, by inverting the corresponding Vandermonde matrix. However, this algorithm would use $O\left(k^3\right)$ operations in $F$. This is a specific instance of a more general phenomenon: there are many computational problems involving polynomials over fields that can be solved using Gaussian elimination, but which can be solved more efficiently using more specialized algorithmic techniques.

EXERCISE 18.7. State and re-work the polynomial analog of Exercises 4.3 and 4.4. In the special case of polynomial interpolation, this algorithm is called Newton interpolation.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Mutual independence and secret sharing

As we also saw in the discussion following Theorem 17.17, for $\ell \leq k$ and fixed and distinct $b_1, \ldots, b_{\ell} \in F$, the “multi-point evaluation” map $\sigma: F[\mathrm{X}]{{\ell}\right)\right) \in F^{\times \ell}$ is a surjective $F$-linear map.

If $F$ is a finite field, then this has the following probabilistic interpretation: if the coefficient vector $\left(z_0, \ldots, z_{k-1}\right)$ of $z$ is a random variable, uniformly distributed over $F^{\times k}$, then the random variable $\left(z\left(b_1\right), \ldots, z\left(b_{\ell}\right)\right)$ is uniformly distributed over $F^{\times \ell}$ (see part (a) of Exercise 8.22). Put another way, the collection ${z(b): b \in F}$ of random variables is $\ell$-wise independent, where each individual $z(b)$ is uniformly distributed over $F$. Clearly, given $z$ and $b$, we can efficiently compute the value of $z(b)$, so this construction gives us a nice way to build effectively constructible, $\ell$-wise independent collections of random variables for any $\ell$, thus generalizing the constructions in Example 6.17 and Exercise 6.16 of pairwise and 3 -wise independent collections.

As a particular application of this idea, we describe a simple secret sharing scheme. Suppose Alice wants to share a secret among some number $m$ of parties, call them $P_1, \ldots, P_m$, in such a way that if less than $k$ parties share their individual secret shares with one another, then Alice’s secret is still well hidden, while any subset of $k$ parties can reconstruct Alice’s secret.
She can do this as follows. Suppose her secret $s$ is (or can be encoded as) an element of a finite field $F$, and that $b_0, b_1, \ldots, b_m$ are some fixed, distinct elements of $F$, where $b_0=0$. This presumes, of course, that $|F| \geq m+1$. To share her secret $s$, Alice chooses $z_1, \ldots, z_{k-1} \in F$ at random, and sets $z_0:=$ s. Let $z \in F[\mathrm{X}]$ be the polynomial whose coefficient vector is $\left(z_0, \ldots, z_{k-1}\right)$; that is,
$$
z=\sum_{i=0}^{k-1} z_i \mathrm{X}^i .
$$
For $i=1, \ldots, m$, Alice gives party $P_i$ its share
$$
a_i:=z\left(b_i\right) .
$$
For the purposes of analysis, it is convenient to define
$$
a_0:=z\left(b_0\right)=z(0)=z_0=s .
$$

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数论代写

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我们提醒读者注意定理 17.17 之后的讨论,其中指出当 $n_i=\left(\mathrm{x}-b_i\right)$ 为了 $i=1, \ldots, k$ ,则多项式的中国余 数定理简化为拉格朗日揷值。因此,定理 18.6 说给定不同的元靑 $b_1, \ldots, b_k \in F$ ,连同元嫊 $a_1, \ldots, a_k \in F$ ,我们可以计算唯一的㝖项式 $z \in F[\mathrm{X}]$ 程度小于 $k$ 这样
$$
z\left(b_i\right)=a_i \quad(i=1, \ldots, k)
$$
使用 $O\left(k^2\right)$ 操作在 $F$.
也许值得注意的是,我们还可以通过反转相应的 Vandermonde 矩阵,使用高斯消去法来解决多项式揷值问 题。但是,该算法将使用 $O\left(k^3\right)$ 操作在 $F$. 这是一个更普遍现象的具体实例: 有许多涉及场上多项式的计算问 题可以使用高斯消元法解决,但可以使用更专业的算法技术更有效地解决。
练习 18.7。陈述并重做练习 4.3 和 4.4 的多项式模拟。在多项式揷值的特殊情况下,该算法称为牛顿揷值。

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正如我们在定理 17.17 之后的讨论中也看到的,对于 $\ell \leq k$ 并且固定且不同 $b_1, \ldots, b_{\ell} \in F$ ,“多点评估”映射 $\$ \backslash$ sigma: $F[\backslash$ mathrm ${\mathrm{x}}]{{\backslash$ ell $} \backslash$ right) right) \in $F \wedge{\backslash$ times \ell $}$ isasurjectiveF\$-线性映射。
如果 $F$ 是一个有限域,那么它有以下概率解释: 如果系数向量 $\left(z_0, \ldots, z_{k-1}\right)$ 的 $z$ 是一个随机变量,均匀分布 在 $F^{\times k}$ ,那么随机变量 $\left(z\left(b_1\right), \ldots, z\left(b_{\ell}\right)\right)$ 均匀分布在 $F^{\times \ell}$ (见练习 8.22 的 (a) 部分) 。换句话说,集合 $z(b): b \in F$ 随机变量是 $\ell$-明智的独立,其中每个人 $z(b)$ 均匀分布在 $F$. 显然,给定 $z$ 和 $b$ ,我们可以有效地计 算的值 $z(b)$ ,所以这个构造给了我们一个很好的方法来构建有效的可构造的, $\ell$-wise 随机变量的独立集合 $\ell$ , 从而概括了示例 6.17 和练习 6.16 中成对和 3 向独立集合的构造。
作为这个想法的一个具体应用,我们描述了一个简单的秘密共享方案。假设爰丽丝想与一些人分享一个秘密 $m$ 派对,打电话给他们 $P_1, \ldots, P_m$ ,如果小于 $k$ 各方彼此分享各自的秘密份额,那么 Alice 的秘密仍然被很好地 隐藏,而任何子集 $k$ 各方可以重建爱丽丝的秘密。
她可以按如下方式进行。假设她的秘密 $s$ 是 (或可以编码为) 有限域的一个元凊 $F$ ,然后 $b_0, b_1, \ldots, b_m$ 是一 些固定的、不同的元溸 $F$ ,在哪里 $b_0=0$. 当然,这假定 $|F| \geq m+1$. 分享她的秘密 $s$ ,爱丽丝选择 $z_1, \ldots, z_{k-1} \in F$ 随机地,并设置 $z_0:=$ 秒。让 $z \in F[\mathrm{X}]$ 是系数向量为的多项式 $\left(z_0, \ldots, z_{k-1}\right)$; 那是,
$$
z=\sum_{i=0}^{k-1} z_i \mathrm{X}^i \text {. }
$$
为了 $i=1, \ldots, m$, 爱丽丝举办派对 $P_i$ 它的份额
$$
a_i:=z\left(b_i\right)
$$
为了便于分析,定义
$$
a_0:=z\left(b_0\right)=z(0)=z_0=s
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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