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数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial congruences

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial congruences

数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial congruences

Throughout this section, $F$ denotes a field.
Specializing the congruence notation introduced in $\S 9.3$ for arbitrary rings to the ring $F[\mathrm{X}]$, for polynomials $a, b, n \in F[\mathrm{X}]$, we write $a \equiv b(\bmod n)$ when $n \mid(a-b)$. Because of the division with remainder property for polynomials, we have the analog of Theorem 2.1:

Theorem 17.12. Let $n \in F[\mathrm{x}]$ be a non-zero polynomial. For every $a \in$ $F[\mathrm{X}]$, there exists a unique $b \in F[\mathrm{X}]$ such that $a \equiv b(\bmod n)$ and $\operatorname{deg}(b)<n$, namely, $b:=a \bmod n$.

For a non-zero $n \in F[\mathrm{X}]$, and $a \in F[\mathrm{X}]$, we say that $a^{\prime} \in F[\mathrm{X}]$ is a multiplicative inverse of $a$ modulo $n$ if $a a^{\prime} \equiv 1(\bmod n)$.

All of the results we proved in $\S 2.2$ for solving linear congruences over the integers carry over almost identically to polynomials. As such, we do not give proofs of any of the results here. The reader may simply check that the proofs of the corresponding results translate almost directly.

Theorem 17.13. Let $a, n \in F[\mathrm{X}]$ with $n \neq 0$. Then a has a multiplicative inverse modulo $n$ if and only if $a$ and $n$ are relatively prime.

Theorem 17.14. Let a, $n, z, z^{\prime} \in F[\mathrm{X}]$ with $n \neq 0$. If a is relatively prime to $n$, then $a z \equiv a z^{\prime}(\bmod n)$ if and only if $z \equiv z^{\prime}(\bmod n)$. More generally, if $d:=\operatorname{gcd}(a, n)$, then $a z \equiv a z^{\prime}(\bmod n)$ if and only if $z \equiv z^{\prime}(\bmod n / d)$.
Theorem 17.15. Let $a, b, n \in F[\mathrm{X}]$ with $n \neq 0$. If a is relatively prime to $n$, then the congruence $a z \equiv b(\bmod n)$ has a solution $z$; moreover, any polynomial $z^{\prime}$ is a solution if and only if $z \equiv z^{\prime}(\bmod n)$.

As for integers, this theorem allows us to generalize the ” $\bmod$ ” operation as follows: if $n \in F[\mathrm{X}]$ is a non-zero polynomial, and $s \in F(\mathrm{X})$ is a rational function of the form $b / a$, where $a, b \in F[\mathrm{X}], a \neq 0$, and $\operatorname{gcd}(a, n)=1$, then $s \bmod n$ denotes the unique polynomial $z$ satisfying
$$
a z \equiv b(\bmod n) \text { and } \operatorname{deg}(z)<\operatorname{deg}(n) .
$$
With this notation, we can simply write $a^{-1} \bmod n$ to denote the unique multiplicative inverse of $a$ modulo $n$ with $\operatorname{deg}(a)<\operatorname{deg}(n)$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial quotient algebras

Throughout this section, $F$ denotes a field.
Let $f \in F[\mathrm{X}]$ be a monic polynomial, and consider the quotient ring $E:=F[\mathrm{x}] /(f)$. As discussed in Example 17.4, we may naturally view $E$ as an $F$-algebra via the map $\tau$ that sends $c \in R$ to $[c]_f \in E$. Moreover, if $\operatorname{deg}(f)>0$, then $\tau$ is an embedding of $F$ in $F[\mathbf{x}] /(f)$, and otherwise, if $f=1$, then $E$ is the trivial ring, and $\tau$ maps everything to zero.

Suppose that $\ell:=\operatorname{deg}(f)>0$. Let $\eta:=[\mathrm{X}]_f \in E$. Then $E=F[\eta]$, and as an $F$-vector space, $E$ has dimension $\ell$, with $1, \eta, \ldots, \eta^{\ell-1}$ being a basis (see Examples $9.34,9.43,14.3$, and 14.22). That is, every element of $E$ can be expressed uniquely as $g(\eta)$ for $g \in F[\mathrm{X}]$ of degree less than $\ell$.

Now, if $f$ is irreducible, then every polynomial $a \not \equiv 0(\bmod f)$ is relatively prime to $f$, and hence invertible modulo $f$; therefore, it follows that $E$ is a field. Conversely, if $f$ is not irreducible, then $E$ cannot be a field – indeed, if $g$ is a non-trivial factor of $f$, then $g(\eta)$ is a zero divisor.

If $F=\mathbb{Z}_p$ for a prime number $p$, and $f$ is irreducible, then we see that $E$ is a finite field of cardinality $p^{\ell}$. In the next chapter, we shall see how one can perform arithmetic in such fields efficiently, and later, we shall also see how to efficiently construct irreducible polynomials of any given degree over a finite field.

Minimal polynomials. Now suppose that $E$ is any $F$-algebra, and let $\alpha$ be an element of $E$. Consider the polynomial evaluation map $\rho: F[\mathrm{X}] \rightarrow E$ that sends $g \in F[\mathrm{X}]$ to $g(\alpha)$. The kernel of $\rho$ is an ideal of $F[\mathrm{X}]$, and since every ideal of $F[\mathrm{X}]$ is principal, it follows that there exists a polynomial $\phi \in F[\mathrm{X}]$ such that $\operatorname{ker}(\rho)$ is the ideal of $F[\mathrm{X}]$ generated by $\phi$; moreover, we can make the choice of $\phi$ unique by insisting that it is monic or zero. The polynomial $\phi$ is called the minimal polynomial of $\alpha$ (over $F$ ). If $\phi=0$, then $\rho$ is injective, and hence the image $F[\alpha]$ of $\rho$ is isomorphic (as an $F$-algebra) to $F[\mathrm{X}]$. Otherwise, $F[\alpha]$ is isomorphic (as an $F$-algebra) to $F[\mathrm{X}] /(\phi)$; moreover, since any polynomial that is zero at $\alpha$ is a polynomial multiple of $\phi$, we see that $\phi$ is the unique monic polynomial of smallest degree that is zero at $\alpha$.

If $E$ has finite dimension, say $n$, as an $F$-vector space, then any element $\alpha$ of $E$ has a non-zero minimal polynomial. Indeed, the elements $1_E, \alpha, \ldots, \alpha^n$ must be linearly dependent (as must be any $n+1$ vectors in a vector space of dimension $n$ ), and hence there exist $c_0, \ldots, c_n \in F$, not all zero, such that
$$
c_0 1_E+c_1 \alpha+\cdots+c_n \alpha^n=0_E
$$
and therefore, the non-zero polynomial $g:=\sum_i c_i \mathrm{X}^i$ is zero at $\alpha$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial congruences

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial congruences

在本节中, $F$ 表示一个字段。
专门介绍了同余符号 $\$ 9.3$ 对于任意环到环 $F[\mathrm{X}]$, 对于多项式 $a, b, n \in F[\mathrm{X}]$ , 我们写 $a \equiv b(\bmod n)$ 什么时 候 $n \mid(a-b)$. 由于多项式的余数除法,我们有定理 2.1 的类比:
定理 17.12。让 $n \in F[\mathrm{x}]$ 是一个非䨐多项式。对于每一个 $a \in F[\mathrm{X}]$ ,存在唯一的 $b \in F[\mathrm{X}]$ 这样 $a \equiv b(\bmod n)$ 和deg $(b)<n$, 即 $b:=a \bmod n$.
对于非䨐 $n \in F[\mathrm{X}]$ , 和 $a \in F[\mathrm{X}]$ ,我们说 $a^{\prime} \in F[\mathrm{X}]$ 是的乘法逆 $a$ 模块 $n$ 如果 $a a^{\prime} \equiv 1(\bmod n)$.
我们证明的所有结果 $\$ 2.2$ 用于解决整数上的线性同余几乎与多项式相同。因此,我们在这里不提供任何结果的 证明。读者可以简单地检亘相应结果的证明是否几乎直接翻译。
定理 17.13。让 $a, n \in F[\mathrm{X}]$ 和 $n \neq 0$. 那么 $\mathrm{a}$ 有一个乘法逆模 $n$ 当且仅当 $a$ 和 $n$ 是相对质数。
定理 17.14。让一个, $n, z, z^{\prime} \in F[\mathrm{X}]$ 和 $n \neq 0$. 如果 $\mathrm{a}$ 相对于 $n$ ,然后 $a z \equiv a z^{\prime}(\bmod n)$ 当且仅当 $z \equiv z^{\prime}(\bmod n)$. 更一般地,如果 $d:=\operatorname{gcd}(a, n)$ ,然后 $a z \equiv a z^{\prime}(\bmod n)$ 当且仅当
$z \equiv z^{\prime}(\bmod n / d)$
定理 17.15。让 $a, b, n \in F[\mathrm{X}]$ 和 $n \neq 0$. 如果 $\mathrm{a}$ 相对于 $n$ ,那么同余 $a z \equiv b(\bmod n)$ 有解决办法 $z$ ;此外,任 何多项式 $z^{\prime}$ 是一个解决方案当且仅当 $z \equiv z^{\prime}(\bmod n)$.
至于整数,这个定理允许我们推广“ $\bmod$ “操作如下: 如果 $n \in F[\mathrm{X}]$ 是一个非䨐多项式,并且 $s \in F(\mathrm{X})$ 是 形式的有理函数 $b / a$ ,在哪里 $a, b \in F[\mathrm{X}], a \neq 0$ ,和 $\operatorname{gcd}(a, n)=1$ ,然后 $s \bmod n$ 表示唯一多项式 $z$ 令 人满意
$$
a z \equiv b(\bmod n) \text { and } \operatorname{deg}(z)<\operatorname{deg}(n)
$$
有了这个符号,我们可以简单地写 $a^{-1} \bmod n$ 表示的唯一乘法逆 $a$ 模块 $n$ 和deg $(a)<\operatorname{deg}(n)$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Polynomial quotient algebras

在本节中, $F$ 表示一个字段。
让 $f \in F[\mathrm{X}]$ 是一元多项式,并考虑商环 $E:=F[\mathrm{x}] /(f)$. 正如示例 17.4 中所讨论的,我们可以自然地查看 $E$ 作为 $F$ – 通过地图代数 $\tau$ 发送 $c \in R$ 到 $[c]_f \in E$. 此外,如果 $\operatorname{deg}(f)>0$ ,然后 $\tau$ 是一个嵌入 $F$ 在 $F[\mathbf{x}] /(f)$ ,否则,如果 $f=1$ ,然后 $E$ 是平凡环,并且 $\tau$ 将所有内容映射到霎。
假设 $\ell:=\operatorname{deg}(f)>0$. 让 $\eta:=[\mathrm{X}]_f \in E$. 然后 $E=F[\eta]$ ,作为一个 $F$-向量空间, $E$ 有维度 $\ell$ ,和 $1, \eta, \ldots, \eta^{\ell-1}$ 作为基础 (参见示例 $9.34,9.43,14.3$, 和 14.22). 也就是说,每一个元素 $E$ 可以唯一表示为 $g(\eta)$ 为了 $g \in F[\mathrm{X}]$ 程度小于 $\ell$.
现在,如果 $f$ 是不可约的,那么每个多项式 $a \not \equiv 0(\bmod f)$ 相对质数 $f$ ,因此可逆模 $f$; 因此,随之而来的是 $E$ 是一个字段。相反,如果 $f$ 不是不可约的,那么E不能是一个领域一一事实上,如果 $g$ 是一个不平凡的因維 $f$ , 然后 $g(\eta)$ 是一个霎因子。
如果 $F=\mathbb{Z}_p$ 对于素数 $p$ ,和 $f$ 是不可约的,那么我们看到 $E$ 是有限基数域 $p^{\ell}$. 在下一章中,我们将看到如何在 这些域中高效地执行算术运算,稍后,我们还将看到如何在有限域上高效地构造任意给定次数的不可约多项 式。
最小多项式。现在假设 $E$ 是任何 $F$-代数,让 $\alpha$ 是一个元素 $E$. 考虑多项式评估图 $\rho: F[\mathrm{X}] \rightarrow E$ 发送 $g \in F[\mathrm{X}]$ 到 $g(\alpha)$. 的内核 $\rho$ 是一个理想的 $F[\mathrm{X}]$ ,因为每一个理想 $F[\mathrm{X}]$ 是主要的,因此存在多项式 $\phi \in F[\mathrm{X}]$ 这样 $\operatorname{ker}(\rho)$ 是理想的 $F[\mathrm{X}]$ 产生于 $\phi$; 此外,我们可以选择 $\phi$ 通过坚持它是单一的或霎来唯一的。多项式 $\phi$ 称为 的最小多项式 $\alpha$ (超过 $F$ ). 如果 $\phi=0$ ,然后 $\rho$ 是单射的,因此图像 $F[\alpha]$ 的 $\rho$ 是同构的 (作为 $F$-代数) 到 $F[\mathrm{X}]$. 否则, $F[\alpha]$ 是同构的 (作为 $F$-代数) 到 $F[\mathrm{X}] /(\phi)$; 此外,由于任何多项式在 $\alpha$ 是多项式的倍数 $\phi$ ,我 们看到 $\phi$ 是最小次数的唯一一元多项式,在 $\alpha$.
如果 $E$ 有有限的维度,比如说 $n$ ,作为一个 $F$-向量空间,然后是任何元維 $\alpha$ 的 $E$ 有一个非零的最小多项式。确 实,元责 $1_E, \alpha, \ldots, \alpha^n$ 必须是线性相关的 (因为必须是任何 $n+1$ 维度向量空间中的向量 $n$ ),因此存在 $c_0, \ldots, c_n \in F ,$ 不全为零,这样
$$
c_0 1_E+c_1 \alpha+\cdots+c_n \alpha^n=0_E
$$
因此,非雺多项式 $g:=\sum_i c_i \mathrm{X}^i$ 为零 $\alpha$.

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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