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数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in Euclidean and principal ideal domains

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in Euclidean and principal ideal domains

Our proofs of the unique factorization property in both $\mathbb{Z}$ and $F[\mathrm{x}]$ hinged on the division with remainder property for these rings. This notion can be generalized, as follows.

Definition 17.28. $D$ is said to be a Euclidean domain if there is a “size function” $S$ mapping the non-zero elements of $D$ to the set of non-negative integers, such that for $a, b \in D$ with $b \neq 0$, there exist $q, r \in D$, with the property that $a=b q+r$ and either $r=0$ or $S(r)<S(b)$.

Example 17.13. Both $\mathbb{Z}$ and $F[\mathrm{x}]$ are Euclidean domains. In $\mathbb{Z}$, we can take the ordinary absolute value function $|\cdot|$ as a size function, and for $F[\mathbf{X}]$, the function $\operatorname{deg}(\cdot)$ will do.
Example 17.14. Recall again the ring
$$
\mathbb{Z}[i]={a+b i: a, b \in \mathbb{Z}}
$$

of Gaussian integers from Example 9.22. Let us show that this is a Euclidean domain, using the usual norm map $N$ on complex numbers (see Example 9.5) for the size function. Let $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$, with $\beta \neq 0$. We want to show the existence of $\xi, \rho \in \mathbb{Z}[i]$ such that $\alpha=\beta \xi+\rho$, where $N(\rho)<N(\beta)$. Suppose that in the field $\mathbb{C}$, we compute $\alpha \beta^{-1}=r+s i$, where $r, s \in \mathbb{Q}$. Let $m, n$ be integers such that $|m-r| \leq 1 / 2$ and $|n-s| \leq 1 / 2$ – such integers $m$ and $n$ always exist, but may not be uniquely determined. Set $\xi:=m+n i \in \mathbb{Z}[i]$ and $\rho:=\alpha-\beta \xi$. Then we have
$$
\alpha \beta^{-1}=\xi+\delta
$$
where $\delta \in \mathbb{C}$ with $N(\delta) \leq 1 / 4+1 / 4=1 / 2$, and
$$
\rho=\alpha-\beta \xi=\alpha-\beta\left(\alpha \beta^{-1}-\delta\right)=\delta \beta,
$$
and hence
$$
N(\rho)=N(\delta \beta)=N(\delta) N(\beta) \leq \frac{1}{2} N(\beta) .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in D[X]

In this section, we prove the following:
Theorem 17.36. If $D$ is a UFD, then so is $D[\mathrm{X}]$.
This theorem implies, for example, that $\mathbb{Z}[\mathrm{X}]$ is a UFD. Applying the theorem inductively, one also sees that for any field $F$, the ring $F\left[\mathrm{X}_1, \ldots, \mathrm{X}_n\right]$ of multi-variate polynomials over $F$ is also a UFD.

We begin with some simple observations. First, recall that for an integral domain $D, D[\mathrm{X}]$ is an integral domain, and the units in $D[\mathrm{X}]$ are precisely the units in $D$. Second, it is easy to see that an element of $D$ is irreducible in $D$ if and only if it is irreducible in $D[\mathrm{X}]$. Third, for $c \in D$ and $f=\sum_i a_i \mathrm{X}^i \in D[\mathrm{X}]$, we have $c \mid f$ if and only if $c \mid a_i$ for all $i$.

We call a non-zero polynomial $f \in D[\mathrm{X}]$ primitive if the only elements in $D$ that divide $f$ are units. If $D$ is a UFD, then given any non-zero polynomial $f \in D[\mathrm{X}]$, we can write it as $f=c f^{\prime}$, where $c \in D$ and $f^{\prime} \in D[\mathrm{X}]$ is a primitive polynomial: just take $c$ to be a greatest common divisor of all the coefficients of $f$.
It is easy to prove the existence part of Theorem 17.36 :

Theorem 17.37. Let $D$ be a UFD. Any non-zero, non-unit element of $D[\mathrm{x}]$ can be expressed as a product of irreducibles in $D[\mathrm{x}]$.

Proof. Let $f$ be a non-zero, non-unit polynomial in $D[\mathrm{x}]$. If $f$ is a constant, then because $D$ is a UFD, it factors into irreducibles in $D$. So assume $f$ is not constant. If $f$ is not primitive, we can write $f=c f^{\prime}$, where $c$ is a non-zero, non-unit in $D$, and $f^{\prime}$ is a primitive, non-constant polynomial in $D[\mathrm{x}]$. Again, as $D$ is a UFD, $c$ factors into irreducibles in $D$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in Euclidean and principal ideal domains

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in Euclidean and principal ideal domains

我们对两者中唯一分解属性的证明 $\mathbb{Z}$ 和 $F[\mathrm{x}]$ 取决于这些环的剩余属性的划分。这个概念可以概括如下。
定义 17.28。 $D$ 如果存在“大小函数”,则称其为欧几里得域 $S$ 映射的非䨐元素 $D$ 到一组非负整数,这样对于 $a, b \in D$ 和 $b \neq 0$ ,存在 $q, r \in D$ ,具有以下属性 $a=b q+r$ 和 $r=0$ 或者 $S(r)<S(b)$.
例 17.13。两个都 $\mathbb{Z}$ 和 $F[\mathrm{x}]$ 是欧几里得域。在 $\mathbb{Z}$ ,我们可以取普通的绝对值函数 $|\cdot|$ 作为大小函数,并且对于 $F[\mathbf{X}] \mathrm{~ , 功 能 d e g ~}(\cdot)$ 会做。 例 17.14。再次召回戒指
$$
\mathbb{Z}[i]=a+b i: a, b \in \mathbb{Z}
$$
来自示例 9.22 的高斯整数。让我们证明这是一个欧几里德域,使用通常的范数映射 $N$ 在复数上 (见例 9.5) 的 大小函数。让 $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$ ,和 $\beta \neq 0$. 我们想证明存在 $\xi, \rho \in \mathbb{Z}[i]$ 这样 $\alpha=\beta \xi+\rho$ ,在哪里
$N(\rho)<N(\beta)$. 假设在野外 $\mathbb{C}$, 我们计算 $\alpha \beta^{-1}=r+s i$ ,在哪里 $r, s \in \mathbb{Q}$. 让 $m, n$ 是这样的整数 $|m-r| \leq 1 / 2$ 和 $|n-s| \leq 1 / 2-$ 这样的整数 $m$ 和 $n$ 永远存在,但可能不是唯一确定的。放 $\xi:=m+n i \in \mathbb{Z}[i]$ 和 $\rho:=\alpha-\beta \xi$. 然后我们有
$$
\alpha \beta^{-1}=\xi+\delta
$$
在哪里 $\delta \in \mathbb{C}$ 和 $N(\delta) \leq 1 / 4+1 / 4=1 / 2$ , 和
$$
\rho=\alpha-\beta \xi=\alpha-\beta\left(\alpha \beta^{-1}-\delta\right)=\delta \beta
$$
因此
$$
N(\rho)=N(\delta \beta)=N(\delta) N(\beta) \leq \frac{1}{2} N(\beta) .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Unique factorization in D[X]

在本节中,我们证明以下内容:
定理 17.36。如果 $D$ 是 UFD,那么也是 $D[\mathrm{X}]$.
这个定理意味看,例如, $\mathbb{Z}[\mathrm{X}]$ 是一个UFD。归纳地应用该定理,我们还可以看到对于任何域 $F$ ,戒指 $F\left[\mathrm{X}_1, \ldots, \mathrm{X}_n\right]$ 的多元多项式 $F$ 也是一个UFD。
我们从一些简单的观察开始。首先,回想一下对于积分域 $D, D[\mathrm{X}]$ 是一个积分域,单位在 $D[\mathrm{X}]$ 正是单位 $D$. 其 次,很容易看出 $D$ 是不可约的 $D$ 当且仅当它是不可约的 $D[\mathrm{X}]$. 三、对于 $c \in D$ 和 $f=\sum_i a_i \mathrm{X}^i \in D[\mathrm{X}]$ , 我们有 $c \mid f$ 当且仅当 $c \mid a_i$ 对全部 $i$.
我们称一个非零多项式 $f \in D[\mathrm{X}]$ 原始如果唯一的元素 $D$ 那分 $f$ 是单位。如果 $D$ 是 UFD,然后给定任何非零多 项式 $f \in D[\mathrm{X}]$ ,我们可以把它写成 $f=c f^{\prime}$ , 在哪里 $c \in D$ 和 $f^{\prime} \in D[\mathrm{X}]$ 是一个原始多项式: 只要取 $c$ 是所 有系数的最大公约数 $f$.
很容易证明定理 17.36 的存在性部分:
定理 17.37。让 $D$ 成为一个UFD。的任何非䨐、非单位元素 $D[\mathrm{x}]$ 可以表示为不可约项的乘积 $D[\mathrm{x}]$.
证明。让 $f$ 是一个非零的非单位多项式 $D[\mathrm{x}]$. 如果 $f$ 是常数,那么因为 $D$ 是 UFD,它会影响不可约因素 $D$. 所以 假设 $f$ 不是常数。如果 $f$ 不是原始的,我们可以写 $f=c f^{\prime}$ , 在哪里 $c$ 它是一个非雱、非单位的 $D$ ,和 $f^{\prime}$ 是原始 的非常数多项式 $D[\mathrm{x}]$. 同样,作为 $D$ 是一个UFD, $c$ 不可约因素 $D$.

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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