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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Homology and Orientability

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Homology and Orientability

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Homology and Orientability

Let $S$ be a compact, connected surface (without boundary). The homology detects the orientability of $S$, in the following way. Note that $H_2(\mathbb{T}) \cong \mathbb{Z}$, whereas $H_2(\mathbb{K})=0$. In general, the 2-dimensional homology of $S$ is $\mathbb{Z}$ if $S$ is orientable, and it’s 0 if $S$ is nonorientable. More generally, if $X$ is a compact, connected $n$-dimensional manifold (without boundary), then $H_n(X) \cong \mathbb{Z}$ if $X$ is orientable, and $H_n(X)=0$ if $X$ is nonorientable. We’ll only prove this for surfaces since we’ll work in terms of ID spaces.

Let’s first suppose that $S$ is orientable, and that we have an ID space for $S$, which is a polygon with edges identified in pairs. As we recall from Chapter 4, because $S$ is orientable, the edges are Type I edges, i.e. as we traverse the boundary of the ID space polygon, the two instances of that edge appear with opposite orientations.
Now, split the ID space for $S$ up into triangles so that we have a triangulation of $S$, into triangles $T_1, T_2, \ldots, T_r$. We orient each triangle $T_i$ in the counterclockwise orientation. Then a 2-chain $c$ is a sum $\sum_{i=1}^r a_i T_i$, where each $a_i \in \mathbb{Z}$. What does it mean for $c$ to be a 2-cycle? Take two triangles that share an edge in the interior of the polygon, say $T_i$ and $T_j$, which share edge $e$. These are the only two triangles containing that edge, so they are the only contributors to $e$ in $\partial_2(c)$. Thus $\partial_2\left(a_i T_i+\right.$ $a_j T_j$ ) must have a coefficient of 0 for $e$. The contribution from $a_i T_i$ is $a_i$, whereas the contribution from $a_j T_j$ is $-a_j$ (or the signs may both be swapped). Thus we find that a necessary condition for $c$ to be a 2-cycle is that $a_i=a_j$. Because we can apply this argument to an arbitrary interior edge, we find that all the $a_i$ ‘s must be equal, i.e. it must be the case that $c=\sum_{i=1}^r a T_i$ for some $a \in \mathbb{Z}$.

But is such a $c$ actually a cycle? The only thing that can go wrong is that the boundary edges of the polygon might not cancel. However, since $S$ is assumed to be orientable, each boundary edge appears once with a positive orientation and once with a negative orientation. Thus chains of the form $\sum_{i=1}^r a T_i$ are indeed cycles, and they are the only cycles in $S$. If $a \neq 0$, then they are not boundaries, because $C_3(S)=0$. Thus we find that $H_2(S)=\left\langle\sum_{i=1}^r T_i\right\rangle \cong \mathbb{Z}$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smith Normal Form

It seems as though computing homology is easy and completely mechanical-so that the process is something that one could program a computer to do. But there is one step that is still difficult. Once we have computed $Z_i(X)$ and $B_i(X)$, we obtain some presentation for $H_i(X)$, but we would like to be able to identify it in a more convenient form. If $X$ has a finite triangulation, then $H_i(X)$ is a finitely generated abelian group, and we know what all the finitely generated abelian groups look like. But when we see a group like
$$
\left\langle a_1, a_2, a_3, a_4 \mid 5 a_1-2 a_2+3 a_4, 3 a_1+2 a_2+2 a_3, 4 a_3-2 a_4, 9 a_2+6 a_3\right\rangle,
$$
how do we write that nicely, in the form $\mathbb{Z}^k \times$ (finite group)?
Fortunately, there is a fairly simple algorithm for doing this. It will be convenient to write out the relations as a matrix. Each relation gets a row, and each generator gets a column, and the coefficients go in the matrix. Hence the matrix we get from the presentation (13.1) is
$$
\left(\begin{array}{cccc}
5 & -2 & 0 & 3 \
3 & 2 & 2 & 0 \
0 & 0 & 4 & -2 \
0 & 9 & 6 & 0
\end{array}\right) .
$$

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拓扑学代写

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让 $S$ 是一个紧凑的,连接的表面 (无边界)。同源性检则的可定向性 $S$, 通过以下方式。注意 $H_2(\mathbb{T}) \cong \mathbb{Z}$ ,然而 $H_2(\mathbb{K})=0$. 一般来说,二维同源 $S$ 是 $\mathbb{Z}$ 如果 $S$ 是可定向的,如果 $S$ 是不可定 向的。更一般地,如果 $X$ 是一个紧凑的,连接 $n$ 维流形 (无边界),然后 $H_n(X) \cong \mathbb{Z}$ 如果 $X$ 是可 定向的,并且 $H_n(X)=0$ 如果 $X$ 是不可定向的。我们将只针对表面证明这一点,因为我们将根据 ID 空间进行工作。
让我们首先假设 $S$ 是可定向的,并且我们有一个 $I D$ 空间 $S$ ,这是一个多边形,边是成对标识的。正 如我们在第 4 章中回忆的那样,因为 $S$ 是可定向的,边是类型I边,即当我们穿过 ID 空间多边形的 边界时,该边的两个实例以相反的方向出现。
现在,将 ID 空间拆分为 $S$ 变成三角形,这样我们就有了三角剖分 $S$ ,成三角形 $T_1, T_2, \ldots, T_r$. 我们 定位每个三角形 $T_i$ 在逆时针方向。然后是2链 $c$ 是一个总和 $\sum_{i=1}^r a_i T_i$ ,其中每个 $a_i \in \mathbb{Z}$. 这是什么 意思 $c$ 做一个2-cycle? 取两个在多边形内部共享一条边的三角形, 比如说 $T_i$ 和 $T_j$, 共享边 $e$. 这是仅 有的两个包含该边的三角形,因此它们是唯一的贡献者 $e$ 在 $\partial_2(c)$. 因此 $\partial_2\left(a_i T_i+a_j T_j\right)$ 的系数必 须为 $0 e$. 来自的贡献 $a_i T_i$ 是 $a_i$ ,而来自 $a_j T_j$ 是 $-a_j$ (或者两个符号都阿以交换) 。因此我们发现 一个必要条件 $c$ 成为一个 2-cycle 就是 $a_i=a_j$. 因为我们可以将此论证应用于任意内部边缘,所以 我们发现所有 $a_i$ 必须相等,即必须是 $c=\sum_{i=1}^r a T_i$ 对于一些 $a \in \mathbb{Z}$.
但是是这样一个 $c$ 实际上是一个循环? 唯一可能出错的是多边形的边界边缘可能不会取消。然而,由 于 $S$ 假设是可定向的,每个边界边出现一次正方向和一次负方向。因此形式链 $\sum_{i=1}^r a T_i$ 确实是循 环,它们是唯一的循环 $S$. 如果 $a \neq 0$ ,那么它们就不是边界, 因为 $C_3(S)=0$. 因此我们发现 $H_2(S)=\left\langle\sum_{i=1}^r T_i\right\rangle \cong \mathbb{Z}$.

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似乎计算同源性很容易而且完全是机械的一一所以文个过程是可以通过编程让计算机完成的事情。但 还有一步仍然很困难。一旦我们计算出 $Z_i(X)$ 和 $B_i(X)$ ,我们得到一些介绍 $H_i(X)$ ,但我们希望 能够以更方便的形式识别它。如果 $X$ 有一个有限的三角剖分,那么 $H_i(X)$ 是有限生成阿贝尔群,我 们知道所有有限生成阿贝尔群是什么样子的。但是当我们看到一群人
$$
\left\langle a_1, a_2, a_3, a_4 \mid 5 a_1-2 a_2+3 a_4, 3 a_1+2 a_2+2 a_3, 4 a_3-2 a_4, 9 a_2+6 a_3\right\rangle,
$$
我们如何以这种形式写得很好 $\mathbb{Z}^k \times($ (有限群) ?
幸运的是,有一个相当简单的算法可以做到这一点。将关系写成矩阵会很方便。每个关系得到一行, 每个生成器得到一列,系数进入矩阵。因此我们从演示文稿 (13.1) 中得到的矩阵是
$$
\left(\begin{array}{llllllllllllllll}
5 & -2 & 0 & 3 & 3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & -2 & 0 & 9 & 6 & 0
\end{array}\right) .
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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