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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Fundamental Group of a Compact Surface

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Fundamental Group of a Compact Surface

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We’ll start with two examples that show how the second version of the Seifert-Van Kampen Theorem can be used to compute the fundamental group of a compact surface presented as an identification space.

Example Let $\mathbb{T}$ be the torus, presented as the ID space $a b a^{-1} b^{-1}$ obtained by identifying the sides of a rectangle in the usual way. Let $B$ be contained in the interior of the rectangle, consisting of most of the rectangle not quite all the way to its boundary. Let $A$ be the remaining part of the rectangle-extended a bit into the interior of $B$. Then the intersection $A \cap B$ is a “ribbon” that runs parallel to the boundary of the rectangle. See Figure 12.6.

Now $B$ is homotopic to an open disk, which is contractible and thus has trivial fundamental group. Also $A \cap B$ is an annulus, which deformation retracts onto the circle and has fundamental group $\pi_1(A \cap B) \cong \mathbb{Z}$. What about $A$ ? By folding the rectangle up into a cylinder by gluing together the $a$-edge, we can see that $A$ is homotopic to a thickened “figure eight,” which deformation retracts onto the wedge of two circles and has $\pi_1(A) \cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$. Concretely, we can say that $\pi_1(A)$ is the free group $F([a],[b])$.

In order to apply the Seifert-Van Kampen Theorem, we must know how $\pi_1(A \cap$ $B$ ) injects into $\pi_1(A)$ under the homomorphism induced by the inclusion map $\iota: A \cap B \rightarrow A$. To this end, observe that the curve $\gamma$ pictured in Figure 12.6, whose equivalence class generates $\pi_1(A \cap B)$, is a curve that winds once around the rectangle by following curve segments that are almost-but not quite equal to-the edges of the rectangle. In fact, we can say that $\gamma \sim a * b * \bar{a} * \bar{b}$, where we recall that $$ is curve concatenation and the bar denotes reversed orientation. Therefore, $\iota_[\gamma]=[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}$

The normal subgroup $N$ of the Seifert-Van Kampen Theorem is therefore the subgroup of $F([a],[b])$ that contains $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}$ along with all elements generated by all conjugates of $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}$. Hence, in the quotient group, we’ll have $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}=[e]$ or else $[a][b]=[b][a]$. The quotient group is abelian! In fact, we’ll find
$$
\begin{aligned}
\pi_1(\mathbb{T}) & \cong F([a],[b]) / N \
& \cong\langle[a],[b] \mid[a][b]=[b][a]\rangle \
& \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
\end{aligned}
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Proof of the Second Version of the Seifert–Van Kampen Theorem

Proof We’ll show how to construct an isomorphism $\phi: \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(A) / N$.
To begin, let $\gamma$ be any loop in $X$ based at $x_0 \in A \cap B$. (Recall that the location of the basepoint can be chosen at will.) We first claim that $\gamma$ is homotopic to a loop $\gamma^{\prime}$ based at $x_0$ and contained entirely in $A$. The reason is as follows. We can subdivide $\gamma$ into sub-curves $\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_r$, where each $\gamma_i$ is either entirely contained in $A$ or entirely contained in $B$, and has its endpoints in $A \cap B$. For any sub-curve $\gamma_i \subseteq B$, let $\sigma_i$ be a curve in $A \cap B$ connecting the endpoints of $\gamma_i$. Then $\gamma_i * \sigma_i$ is a homotopically trivial loop in $B$, because $\pi_1(B)={[e]}$. Therefore we can homotope $\gamma_i$ into $\sigma_i$. (Exercise: verify this!) If we apply this operation to all parts of $\gamma$ entirely contained in $B$ and concatenate the results, we get the curve $\gamma^{\prime}$.

The analysis above shows that $[\gamma]=\left[\gamma^{\prime}\right]$, and because $\gamma^{\prime} \subseteq A$ we can say $\left[\gamma^{\prime}\right] \in$ $\pi_1(A)$. Now we can define $\phi([\gamma]):=\operatorname{proj}\left(\left[\gamma^{\prime}\right]\right)$, where proj: $\pi_1(A) \rightarrow \pi_1(A) / N$ is the natural projection homomorphism that the quotient group construction of $\pi_1(A) / N$ gives us.

We must now ask the usual set of questions about $\phi$. First, is it well-defined? To answer this question, suppose that we had started with $\gamma_1 \sim \gamma$. Then, with a bit of attention to detail, we can show that $\gamma_1^{\prime} \sim \gamma^{\prime}$ where the “prime” denotes the operation of deforming a curve in $A \cup B$ to one in $A$ alone, and so $\phi\left(\left[\gamma_1\right]\right)=\phi([\gamma])$.

Next, is $\phi$ a homomorphism? To answer this question, we can write down what is required for $\phi\left(\left[\gamma_1\right]\left[\gamma_2\right]\right)=\phi\left(\left[\gamma_1\right]\right) \phi\left(\left[\gamma_2\right]\right)$-and it turns out that the critical step is to show that $\left(\gamma_1 * \gamma_2\right)^{\prime} \sim \gamma_1^{\prime} * \gamma_2^{\prime}$. Again, by being careful with the construction of the “prime” operation, we can show this without too much difficulty.

Next, is $\phi$ surjective? To answer this question, suppose $x \in \pi_1(A) / N$ is an arbitrary element of the quotient group. Since proj is surjective, we can write $x=\operatorname{proj}([\gamma])$ for some $[\gamma] \in \pi_1(A)$. Clearly $[\gamma]$ can also be viewed as a class in $\pi_1(X)$ so we can say $\phi([\gamma])=x$.

Finally, is $\phi$ injective? To answer this question, suppose that $\phi([\gamma])=\operatorname{proj}\left(\left[\gamma^{\prime}\right]\right)$ $=$ id. Then $\left[\gamma^{\prime}\right] \in N$ or in other words, there exists a class $[\sigma] \in \pi_1(A)$ and a class $\left[\gamma_0\right] \in \pi_1(A \cap B)$ so that $\left[\gamma^{\prime}\right]=[\sigma]\left[\gamma_0\right][\sigma]^{-1}$. In other words, at the level of loops, we have $\gamma^{\prime} \sim \sigma * \gamma_0 * \bar{\sigma}$. Now, because $\gamma_0 \subseteq A \cap B \subseteq B$ and $B$ is homotopically trivial, we can homotope $\gamma_0$ to the trivial path. Hence $\sigma * \gamma_0 * \bar{\sigma} \sim \sigma * e * \bar{\sigma} \sim e$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Fundamental Group of a Compact Surface

拓扑学代写

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我们将从两个例子开始,展示如何使用 Seifert-Van Kampen 定理的第二个版本来计算呈现为标识 空间的紧曲面的基本群。
例子让T是环面,表示为 ID 空间 $a b a^{-1} b^{-1}$ 通过以通常的方式识别矩形的边来获得。让 $B$ 包含在矩 形的内部,由矩形的大部分组成,不完全到它的边界。让 $A$ 是矩形的剩余部分-向内部延伸一点 $B$. 然后是路口 $A \cap B$ 是一条平行于矩形边界的“带子”。参见图 12.6。
现在 $B$ 同伦于一个开盘,它是可收缩的,因此具有平凡的基本群。还 $A \cap B$ 是一个圆环,其变形㴼 回到圆上并且有基本群 $\pi_1(A \cap B) \cong \mathbb{Z}$. 关于什么 $A$ ? 通过将长方形粘在一起,将长方形折踖成圆 柱体 $a$-edge,我们可以看到 $A$ 与加厚的“8 字形”同伦,变形缩回到两个圆的楔形上并具有 $\pi_1(A) \cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$. 具体来说,我们可以这样说 $\pi_1(A)$ 是自由组 $F([a],[b])$.
为了应用 Seifert-Van Kampen 定理,我们必须知道如何 $\pi_1(A \cap B)$ 注入 $\pi_1(A)$ 在包含映射引起 的同态下 $: A \cap B \rightarrow A$. 为此,观察曲线 $\gamma$ 如图 12.6 所示,其等价类生成 $\pi_1(A \cap B)$, 是一条曲 线,它沿着几平 (但不完全等于) 矩形边缘的曲线段绕矩形一周。其实我们可以这么说 $\gamma \sim a * b * \bar{a} * \bar{b}$ ,我们记得 $\$$
iscurveconcatenationandthebardenotesreversedorientation. There fore, |iota_ $[\backslash$ gamma $]=[a][b][a] \wedge{-1}[b] \wedge{-1} \$$
正规子群 $N$ 因此,Seifert-Van Kampen 定理的子群是 $F([a],[b])$ 包含 $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}$ 连同由所 有共轭生成的所有元素 $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}$. 因此,在商组中,我们将有 $[a][b][a]^{-1}[b]^{-1}=[e]$ 要不 然 $[a][b]=[b][a]$. 商群是交换群!其实我们会发现
$$
\pi_1(\mathbb{T}) \cong F([a],[b]) / N \quad \cong\langle[a],[b] \mid[a][b]=[b][a]\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Proof of the Second Version of the Seifert–Van Kampen Theorem

证明我们将展示如何构造同构 $\phi: \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(A) / N$.
首先,让 $\gamma$ 是任何循环 $X$ 设在 $x_0 \in A \cap B$. (回想一下,基点的位置可以随意选生。) 我们首先声 明 $\gamma$ 与环同伦 $\gamma^{\prime}$ 设在 $x_0$ 并完全包含在 $A$. 理由如下。我们可以细分 $\gamma$ 进入子曲线 $\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_r$ ,其 中每个 $\gamma_i$ 要么完全包含在 $A$ 或完全包含在 $B$ ,并且它的端点在 $A \cap B$. 对于任何子曲线 $\gamma_i \subseteq B$ ,让 $\sigma_i$ 成为一条曲线 $A \cap B$ 连接的端点 $\gamma_i$. 然后 $\gamma_i * \sigma_i$ 是一个同伦平凡循环 $B$ ,因为 $\pi_1(B)=[e]$. 因 此我们可以同伦 $\gamma_i$ 进入 $\sigma_i$. (练习: 验证这一点! ) 如果我们将此操作应用于所有部分 $\gamma$ 完全包含在 $B$ 并连轩结果,我们得到曲线 $\gamma^{\prime}$.
以上分析表明 $[\gamma]=\left[\gamma^{\prime}\right]$, 因为 $\gamma^{\prime} \subseteq A$ 我们可以说 $\left[\gamma^{\prime}\right] \in \pi_1(A)$. 现在我们可以定义
$\phi([\gamma]):=\operatorname{proj}\left(\left[\gamma^{\prime}\right]\right)$ ,其中项目: $\pi_1(A) \rightarrow \pi_1(A) / N$ 是商群构造的自然投影同态 $\pi_1(A) / N$ 给我们。
我们现在必须问一些常见的问题 $\phi$. 首先,它是否定义明确? 要回答这个问题,假设我们从 $\gamma_1 \sim \gamma$. 然后,稍微主意一下细节,我们可以证明 $\gamma_1^{\prime} \sim \gamma^{\prime}$ 其中“质数”表示变形曲线的操作 $A \cup B$ 到一个 $A$ 一个人,等等 $\phi\left(\left[\gamma_1\right]\right)=\phi([\gamma])$
接下来, 是 $\phi$ 同态? 要回答这个问题, 我们可以写下需要什么 $\phi\left(\left[\gamma_1\right]\left[\gamma_2\right]\right)=\phi\left(\left[\gamma_1\right]\right) \phi\left(\left[\gamma_2\right]\right)-$ 事实证明,关键的一步是证明 $\left(\gamma_1 * \gamma_2\right)^{\prime} \sim \gamma_1^{\prime} * \gamma_2^{\prime}$. 同样,通过仔细构造“质数”操作,我们可以毫 不费力地证明这一点。
接下来,是 $\phi$ 满射的? 要回答这个问题,假设 $x \in \pi_1(A) / N$ 是商群的任意元素。由于 proj是满射 的,我们可以写 $x=\operatorname{proj}([\gamma])$ 对于一些 $[\gamma] \in \pi_1(A)$. 清楚地 $[\gamma]$ 也可以看作是一个类 $\pi_1(X)$ 所以 我们可以说 $\phi([\gamma])=x$. 说,存在一个类 $[\sigma] \in \pi_1(A)$ 和一堂课 $\left[\gamma_0\right] \in \pi_1(A \cap B)$ 以便 $\left[\gamma^{\prime}\right]=[\sigma]\left[\gamma_0\right][\sigma]^{-1}$. 换句话 说,在循㺽别,我们有 $\gamma^{\prime} \sim \sigma * \gamma_0 * \bar{\sigma}$. 现在, 因为 $\gamma_0 \subseteq A \cap B \subseteq B$ 和 $B$ 是同伦平凡的,我 们可以同伦 $\gamma_0$ 到琐碎的路径。 因此 $\sigma * \gamma_0 * \bar{\sigma} \sim \sigma * e * \bar{\sigma} \sim e$.

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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