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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Algorithmic Paradigms

如果你也在 怎样代写离散数学Discrete Mathematics MA210这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。离散数学Discrete Mathematics是数学的一个分支,研究一般代数环境中的同源性。它是一门相对年轻的学科,其起源可以追溯到19世纪末的组合拓扑学(代数拓扑学的前身)和抽象代数(模块和共轭理论)的研究,主要是由亨利-庞加莱和大卫-希尔伯特提出。

离散数学Discrete Mathematics是研究同源漏斗和它们所带来的复杂的代数结构;它的发展与范畴理论的出现紧密地联系在一起。一个核心概念是链复合体,可以通过其同调和同调来研究。它在代数拓扑学中发挥了巨大的作用。它的影响逐渐扩大,目前包括换元代数、代数几何、代数理论、表示理论、数学物理学、算子矩阵、复分析和偏微分方程理论。K理论是一门独立的学科,它借鉴了同调代数的方法,正如阿兰-康尼斯的非交换几何一样。

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An algorithmic paradigm is an abstraction higher than the notion of an algorithm. An algorithmic paradigm is a generic model, based on a particular approach, which underlies the design of a class of algorithms for solving a multitude of problems. Some of the important algorithmic paradigms are as follows:

Brute-force algorithms: The brute-force algorithm is a simple algorithm in concept that blindly iterates all possible solutions to search for one or more than one solution that may solve a problem without any regard to the heavy computational requirements. It takes an inefficient approach for solving problems, as it does not take advantage of the special structure of the problem. Examples include using all possible permutations of numbers to open a safe, finding the largest number in a list of numbers, sorting problems, such as the bubble, insertion, and selection sorts, and polling a multitude of communication devices to determine those having messages to transmit.

Divide-and-conquer algorithms: The divide-and-conquer algorithm is an effective algorithm that works by recursively breaking down a problem into two or more subproblems of the same or related type until these become simple enough to be solved directly and rather easily. The solutions to the subproblems are then combined to give a solution to the original problem. Examples include sorting problems, such as quicksort and merge sort, binary search, solving the closest pair problem, routing mail by sorting letters into separate bags for different geographical areas, and applying the law of total probability.

Backtracking algorithms: The backtracking algorithm incrementally builds candidates to the solution and abandons a candidate (i.e., backtracks) as soon as it determines that the candidate cannot possibly be a part of a valid solution. It is generally applied to find solutions to some constrained optimization problems. Examples include the eight queens puzzle, which asks for all arrangements of eight chess queens so that no queen attacks any other, crosswords, Sudoku, the knapsack problem, and finding spanning trees.

Dynamic programming: The dynamic programming algorithm can be effectively used for solving a complex problem by recursively breaking down the problem. It requires that overlapping subproblems exist, and the optimal solution of the problem can be obtained using optimal solutions of its subproblems stored in memory with the help of a recurrence relation. Examples include the scheduling problem, Fibonacci numbers, matrix chain multiplication, and the traveling salesman problem.

Probabilistic algorithms: The probabilistic algorithm can solve problems that cannot be easily solved by deterministic algorithms. In contrast to a deterministic algorithm, which always follows the same steps for a given input and has to go through a very large number of possible cases, the probabilistic algorithm makes some random choices at some steps, which may lead to different outputs in much fewer steps, but with a tiny probability that the final answer may not be correct. Examples include Monte Carlo algorithm in quality control, collisions in hashing functions, and Bayesian spam filters.

Greedy algorithms: The greedy algorithm is one of the simplest and most intuitive algorithms that is used in optimization problems, and it often leads to an optimal solution. The algorithm makes the optimal choice at each step as it attempts to find the minimum or maximum value of some parameter. Greedy algorithms sometimes fail to produce optimal solutions because they do not consider all the data, as the choice made by a greedy algorithm may depend on choices it has made so far, but it is not aware of future choices it could make. A greedy algorithm in a shortsighted manner identifies an optimal subproblem in the problem. With the goal of minimizing or maximizing the parameter of interest, create an iterative way to go through all of the subproblems so as to build a solution. Examples may include finding the shortest path through a graph and a Huffman code used in lossless digital compression of data.

数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Complexity of Algorithms

The two main measures for the computational complexity of an algorithm are as follows:

Space complexity: It is measured by the maximum amount of computer memory needed in the execution of the algorithm, and the requirement is frequently a multiple of the data size.

Time complexity: It is measured by counting the number of key operations using the size of the input as its argument.
The term complexity generally refers to the running time of the algorithm. The function $f(n)$, representing the time complexity of an algorithm, is measured by the following two factors:
(i) The size $n$ of the input data and the characteristics of the particular input data.
(ii) The number of basic key operations that must be performed when the algorithm is executed, while noting they generally include addition, subtraction, multiplication, division, and comparison.

Example 12.3
Discuss the algorithms required to perform the following mathematical operations:
(a) Matrix multiplication using direct method.
(b) Polynomial evaluation using Horner’s method.
Solution
(a) In the multiplication of two matrices, order matters (i.e., matrix multiplication is not commutative). In order to multiply two matrices, we must first make sure that the number of columns in the first matrix equals the number of rows in the second matrix, as this is the prerequisite for multiplication. The widely known direct method is as follows: if the first matrix is an $m \times n$ matrix and the second matrix is an $n \times p$ matrix, where $m, n$, and $p$ are all positive integers, then their matrix product is the $m \times p$ matrix, whose entries are given by the dot product of the corresponding row of the first matrix and the corresponding column of the second matrix. In other words, we multiply the elements of row $i$ of the first matrix by the elements of column $j$ in the second matrix to obtain the element of the $i$ th row and $j$ th column of the product. The algorithm to perform this matrix multiplication thus requires $m p n$ multiplications and $m p(n-1)$ additions. Note that there are other algorithms that require a smaller number of multiplications and additions to multiply two matrices than the direct method does.
(b) Consider the following function $f(x)$, which is a polynomial of degree $n$ :
$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0 .
$$
Suppose we want to evaluate $f(x)$ for $x=c$, that is, $f(c)$. We can consider two different algorithms for a polynomial evaluation. The first is known as the direct method, which requires $n+(n-1)+(n-2)+\ldots+1=\frac{n(n+1)}{2}$ multiplications and $n$ additions. The second is known as Horner’s method, which is based on rewriting the polynomial by successively factoring out $x$, and is as follows:
$$
\begin{aligned}
f(x) & =a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{n-1} x^{n-1}+a_n x^n \
& =a_0+x\left(a_1+x\left(a_2+\ldots+x\left(a_{n-1}+x a_n\right)\right)\right) .
\end{aligned}
$$
Horner’s method is significantly more efficient than the direct method, as it requires only $n$ multiplications and $n$ additions.

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离散数学代写

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算法范式是比算法概念更高的抽象。算法范式是基于特定方法的通用模型,它是设计用于解决大量问题的一类算法的基础。一些重要的算法范式如下:

蛮力算法:蛮力算法在概念上是一种简单的算法,它盲目地迭代所有可能的解决方案,以搜索一个或多个可能解决问题的解决方案,而不考虑繁重的计算要求。它采用低效的方法来解决问题,因为它没有利用问题的特殊结构。示例包括使用所有可能的数字排列来打开保险箱、找到数字列表中的最大数字、排序问题(例如冒泡排序、插入排序和选择排序),以及轮询大量通信设备以确定那些有消息的设备发送。

分而治之算法:分而治之算法是一种有效的算法,它通过递归地将问题分解为两个或多个相同或相关类型的子问题,直到这些问题变得足够简单,可以直接且相当容易地解决。然后组合子问题的解决方案以给出原始问题的解决方案。示例包括排序问题,例如快速排序和归并排序、二分搜索、解决最近对问题、通过将信件分拣到不同地理区域的单独袋子来路由邮件,以及应用全概率法则。

回溯算法:回溯算法逐步构建解决方案的候选者,并在确定候选者不可能成为有效解决方案的一部分时立即放弃候选者(即回溯)。它通常用于寻找一些约束优化问题的解决方案。示例包括八皇后难题,它要求八个国际象棋皇后的所有排列,以便没有皇后攻击其他皇后,填字游戏,数独,背包问题和寻找生成树。

动态规划:动态规划算法可以有效地用于通过递归分解问题来解决复杂问题。它要求存在重叠的子问题,并且可以借助递推关系使用存储在内存中的子问题的最优解来获得问题的最优解。示例包括调度问题、斐波那契数列、矩阵链乘法和旅行商问题。

概率算法:概率算法可以解决确定性算法无法轻易解决的问题。与确定性算法相比,它总是对给定的输入遵循相同的步骤并且必须经历非常多的可能情况,概率算法在某些步骤中做出一些随机选择,这可能会导致不同的输出更少步骤,但最终答案可能不正确的可能性很小。示例包括质量控制中的蒙特卡罗算法、散列函数中的冲突和贝叶斯垃圾邮件过滤器。

贪心算法:贪心算法是优化问题中使用的最简单、最直观的算法之一,它通常会导致最优解。该算法在尝试找到某些参数的最小值或最大值时,会在每个步骤中做出最佳选择。贪心算法有时无法产生最佳解决方案,因为它们没有考虑所有数据,因为贪心算法做出的选择可能取决于它目前所做的选择,但它不知道它可能做出的未来选择。贪心算法以短视的方式识别问题中的最优子问题。以最小化或最大化感兴趣的参数为目标,创建一种迭代方法来遍历所有子问题以构建解决方案。

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算法计算复杂度的两个主要衡量指标如下:

空间复杂度:它是通过执行算法所需的最大计算机内存量来衡量的,并且要求通常是数据大小的倍数。

时间复杂度:它是通过使用输入的大小作为参数来计算键橾作的数量来衡量的。
术语复杂性通常是指算法的运行时间。功能 $f(n)$ ,代表算法的时间复杂度,由以下两个因傃衡量:
(i) 大小 $n$ 输入数据的特征和特定输入数据的特征。
(ii) 执行算法时必须执行的基本关键橾作的数量,同时注意它们通常包括加法、减法、乘法、除法和比较。
示例 12.3
讨论执行以下数学运算所需的算法:
(a) 使用直接法的矩阵乘法。
(b) 使用 Horner 方法的多项式评估。
解决方案
(a) 在两个矩阵的乘法中,顺序很重要(即矩阵乘法不可交换)。为了将两个矩阵相乘,我们必须首先确保第 一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,因为这是乘法的前提。广为人知的直接方法如下: 如果第一个矩阵是 $m \times n$ 矩阵和第二个矩阵是 $n \times p$ 矩阵,其中 $m, n$ ,和 $p$ 都是正整数,那么它们的矩阵乘积就是 $m \times p$ 矩阵, 其条目由第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列的点积给出。换句话说,我们将行的元责相乘例的元溸的 第一个矩阵 $j$ 在第二个矩阵中获取元維 $i$ 行和 $j$ 产品的第列。因此,执行此矩阵乘法的算法需要 $m p n$ 乘法和 $m p(n-1)$ 添加。请注意,与直接方法相比,还有其他算法需要较少数量的乘法和加法来将两个矩阵相乘。 (b) 考虑以下函数 $f(x)$, 这是一次多项式 $n$ :
$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0 .
$$
假设我们要评估 $f(x)$ 为了 $x=c$ ,那是, $f(c)$. 我们可以考虑两种不同的多项式评估算法。第一种称为直接方 法,它需要 $n+(n-1)+(n-2)+\ldots+1=\frac{n(n+1)}{2}$ 乘法和 $n$ 添加。第二种称为 Horner 方法,它基于 通过连续因式分解来重写多项式 $x$ ,并且如下:
$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{n-1} x^{n-1}+a_n x^n \quad=a_0+x\left(a_1+x\left(a_2+\ldots+x\left(a_{n-1}+x a_n\right)\right)\right) .
$$
Horner 的方法明显比直接方法更有效,因为它只需要 $n$ 乘法和 $n$ 添加。

数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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