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# 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Covariance Matrix Estimation Under Heteroskedasticity

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## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Covariance Matrix Estimation Under Heteroskedasticity

In the previous section we showed that that the classic covariance matrix estimator can be highly biased if homoskedasticity fails. In this section we show how to construct covariance matrix estimators which do not require homoskedasticity.
Recall that the general form for the covariance matrix is
$$\boldsymbol{V}_{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{D} \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$$

with $\boldsymbol{D}$ defined in (4.8). This depends on the unknown matrix $\boldsymbol{D}$ which we can write as
\begin{aligned} \boldsymbol{D} & =\operatorname{diag}\left(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2\right) \ & =\mathbb{E}\left[\boldsymbol{e} \boldsymbol{e}^{\prime} \mid \boldsymbol{X}\right] \ & =\mathbb{E}[\widetilde{\boldsymbol{D}} \mid \boldsymbol{X}] \end{aligned}
where $\widetilde{\boldsymbol{D}}=\operatorname{diag}\left(e_1^2, \ldots, e_n^2\right)$. Thus $\widetilde{\boldsymbol{D}}$ is a conditionally unbiased estimator for $\boldsymbol{D}$. If the squared errors $e_i^2$ were observable, we could construct an unbiased estimator for $\boldsymbol{V}{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}$ as \begin{aligned} \widehat{\boldsymbol{V}}{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}^{\text {ideal }} & =\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \widetilde{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \ & =\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^n \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{x}_i^{\prime} e_i^2\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} . \end{aligned}

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Standard Errors

A variance estimator such as $\widehat{\boldsymbol{V}}_{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}$ is an estimator of the variance of the distribution of $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$. A more easily interpretable measure of spread is its square root – the standard deviation. This is so important when discussing the distribution of parameter estimators we have a special name for estimates of their standard deviation.
Definition 4.2 A standard error $s(\widehat{\beta})$ for a real-valued estimator $\widehat{\beta}$ is an estimator of the standard deviation of the distribution of $\widehat{\beta}$.

When $\boldsymbol{\beta}$ is a vector with estimator $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ and covariance matrix estimator $\widehat{\boldsymbol{V}}{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}$, standard errors for individual elements are the square roots of the diagonal elements of $\widehat{\boldsymbol{V}}{\hat{\boldsymbol{\beta}}}$. That is,
$$s\left(\widehat{\beta}j\right)=\sqrt{\widehat{\boldsymbol{V}}{\hat{\beta}j}}=\sqrt{\left[\widehat{\boldsymbol{V}}{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}\right]{j j}}$$ When the classical covariance matrix estimator (4.30) is used the standard error takes the particularly simple form $$s\left(\widehat{\beta}_j\right)=s \sqrt{\left[\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\right]{j j}}$$

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Covariance Matrix Estimation Under Heteroskedasticity

$$\boldsymbol{V}{\widehat{\boldsymbol{\beta}}}=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{D} \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$$ 和 $\boldsymbol{D}$ 在 (4.8) 中定义。这取决于末知矩阵 $\boldsymbol{D}$ 我们可以写成 $$\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2\right) \quad=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{e} \boldsymbol{e}^{\prime} \mid \boldsymbol{X}\right]=\mathbb{E}[\widetilde{\boldsymbol{D}} \mid \boldsymbol{X}]$$ 在哪里 $\widetilde{\boldsymbol{D}}=\operatorname{diag}\left(e_1^2, \ldots, e_n^2\right)$. 因此 $\widetilde{\boldsymbol{D}}$ 是条件无偏估计量 $\boldsymbol{D}$. 如果平方误差 $e_i^2$ 是可观察的，我们可以为 $\boldsymbol{V} \widehat{\boldsymbol{\beta}}$ 作为 $$\widehat{\boldsymbol{V}} \widehat{\boldsymbol{\beta}}^{\text {ideal }}=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \widetilde{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\sum{i=1}^n \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{x}_i^{\prime} e_i^2\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$$

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Standard Errors

$$s(\widehat{\beta} j)=\sqrt{\widehat{\boldsymbol{V}} \hat{\beta}} j=\sqrt{[\widehat{\boldsymbol{V}} \widehat{\boldsymbol{\beta}}] j j}$$

$$s\left(\widehat{\beta}_j\right)=s \sqrt{\left[\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\right] j j}$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。