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数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|The Maximum Principle for Harmonic Functions

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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的,它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学;然而,它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间(拓扑空间)或对象之间的特定距离(公制空间)。

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数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|The Maximum Principle for Harmonic Functions

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Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$. A $C^2$ function $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be harmonic on $\Omega$ if it solves the linear, second-order partial differential equation
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\ldots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0, \quad x \in \Omega .
$$
The above PDE is called Laplace equation and is written more compactly as $\Delta u=$ 0 , i.e.
$$
\Delta u=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=0, \quad x \in \Omega
$$
In dimension one, $n=1$, where $\Omega=(a, b)$ is a real open interval, a harmonic function $u:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies $u^{\prime \prime}=0$ for any $x \in(a, b)$. Integrating twice it is straightforward to see that any function of that type is affine on $(a, b)$, i.e. of the form $u(x)=m x+q$ with $m, q \in \mathbb{R}$.
If $n \geq 2$, there exist many harmonic maps besides affine functions
$$
u(x)=q+\sum_{i=1}^n m_i x_i, \quad x=\left(x_i\right) \in \Omega,
$$
$m_i, q \in \mathbb{R}$. For instance, when $n=2$, the following are all harmonic on their domains of definition (the reader should check this):
$$
\begin{array}{ll}
u(x, y)=x^2-y^2, & u(x, y)=\log \sqrt{x^2+y^2}, \
u(x, y)=e^x \cos y, & u(x, y)=\operatorname{arctg} \frac{x}{y} .
\end{array}
$$

For $n \geq 3$, the function
$$
u(x)=|x|^{2-n}, \quad x \in \Omega=\mathbb{R}^n-{0}
$$
is harmonic. The function $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ is harmonic on $\mathbb{R}^2$; its graph, when $(x, y)$ is in the square $[-1,1] \times[-1,1]$, is plotted in Fig. 3.23. The gradient is zero only at $(x, y)=$ $(0,0)$, but this is not a maximum nor a minimum point of $u$ (the reader should check this analytically). This is a general feature: no harmonic function has local extrema on the interior of its domain of definition. The maximum principle, discussed below, is based on this fact.

The reader should observe the level curves of $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ in Fig.3.24. They are not closed (because the function does not have interior local extrema) and therefore the curves all reach the boundary.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Maximum Principle

Maximum Principle Let $\Omega$ be an open bounded set in $\mathbb{R}^n$ and $u \in C^0(\bar{\Omega}) \cap C^2(\Omega) a$ harmonic function on $\Omega$. Call $m, M$ the minimum and maximum of $u$ on the boundary $\partial \Omega$, as in (3.100). Then
$$
m \leq u(x) \leq M, \quad \forall x \in \bar{\Omega}
$$
A consequence of the maximum principle is that a harmonic function $u$ cannot have an absolute maximum or minimum point that is interior and strict. For instance, for maxima, there is no $x_0 \in \Omega$ such that $u\left(x_0\right)>u(x)$ for any $x \in \bar{\Omega}-\left{x_0\right}$.
For example, $u(x)=$ constant satisfies the maximum principle’s assumptions (and the conclusion!), and every point in an open and bounded subset $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is a maximum and a minimum point for $u$ interior to $\bar{\Omega}$, but not strict.
The hypothesis that the open set $\Omega$ is bounded is essential. For example, for $n=2$ the function $u(x, y)=e^x \cos y$ is harmonic on the unbounded set
$$
\Omega=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^2:-\frac{\pi}{2}0$ is chosen.

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数学分析代写

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让 $\Omega$ 是的一个开放子集 $\mathbb{R}^n . A C^2$ 功能 $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 据说是和诣的 $\Omega$ 如果它求解线升二阶偏微分方程
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\ldots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0, \quad x \in \Omega
$$
上面的 PDE 称为拉普拉斯方程,更紧凑地写为 $\Delta u=0$ ,即
$$
\Delta u=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=0, \quad x \in \Omega
$$
在一维中, $n=1$ ,在哪里 $\Omega=(a, b)$ 是实开区间,调和函数 $u:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ 满足 $u^{\prime \prime}=0$ 对于任 何 $x \in(a, b)$. 积分两次很容易看出该类型的任何函数都仿射在 $(a, b)$ ,即形式 $u(x)=m x+q$ 和 $m, q \in \mathbb{R}$.
如果 $n \geq 2 ,$ 除了仿射函数外,还存在许多调和映射
$$
u(x)=q+\sum_{i=1}^n m_i x_i, \quad x=\left(x_i\right) \in \Omega
$$
$m_i, q \in \mathbb{R}$. 例如,当 $n=2$ ,以下是它们定义域上的所有谐波 (读者应该检查一下) :
$u(x, y)=x^2-y^2, \quad u(x, y)=\log \sqrt{x^2+y^2}, u(x, y)=e^x \cos y, \quad u(x, y)=\operatorname{arctg} \frac{x}{y}$
为了n $n \geq 3 ,$ 功能
$$
u(x)=|x|^{2-n}, \quad x \in \Omega=\mathbb{R}^n-0
$$
是谐波。功能 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 谐波上 $\mathbb{R}^2$; 它的图表,当 $(x, y)$ 在广场上 $[-1,1] \times[-1,1]$ , 绘 制在图 3.23 中。梯度仅在 $(x, y)=(0,0)$ ,但伩既不是最大点也不是最小点 $u$ (读者应分析检查)。 这是一个—般特征: 调和函数在其定义域的内部没有局部极值。下面讨论的最大原则就是基于这个事 实。
读者应观察电平曲线 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 在图 3.24 中。它们不是封闭的(因为函数没有内部局部 极值),因此曲线都到达边界。

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Maximum Principle

最大原则让 $\Omega$ 是一个开放的有界集合 $\mathbb{R}^n$ 和 $u \in C^0(\bar{\Omega}) \cap C^2(\Omega) a$ 调和函数 $\Omega$. 称呼 $m, M$ 的最小值 和最大值 $u$ 在边界上 $\partial \Omega ,$ 如 (3.100)。然后
$$
m \leq u(x) \leq M, \quad \forall x \in \bar{\Omega}
$$
最大原理的一个结果是调和函数 $u$ 不能有内部和严格的绝对最大值或最小值点。例如,对于最大值, 没有 $x_0 \in \Omega$ 这样 $u\left(x_0\right)>u(x)$ 对于任何 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符
例如, $u(x)=$ 常量满足最大原理的假设(和结论!),以及开放和有界子集中的每个点 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是 最大和最小点 $u$ 内部到 $\bar{\Omega}$ ,但并不严格。
开集假设 $\Omega$ 是有界的是必不可少的。例如,对于 $n=2$ 功能 $u(x, y)=e^x \cos y$ 是无界集合
$\$ \$$
\Omega $=\backslash$ left ${(x, y) \backslash$ in $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{R}} \wedge 2:-\backslash$ frac ${\backslash \mathrm{pi}}{2} 0 \$$ 上的谐波。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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