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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|The Maximum Principle for Harmonic Functions

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Maximum Principle for Harmonic Functions

Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$. A $C^2$ function $u: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be harmonic on $\Omega$ if it solves the linear, second-order partial differential equation
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\ldots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0, \quad x \in \Omega .$$
The above PDE is called Laplace equation and is written more compactly as $\Delta u=$ 0 , i.e.
$$\Delta u=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=0, \quad x \in \Omega$$
In dimension one, $n=1$, where $\Omega=(a, b)$ is a real open interval, a harmonic function $u:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies $u^{\prime \prime}=0$ for any $x \in(a, b)$. Integrating twice it is straightforward to see that any function of that type is affine on $(a, b)$, i.e. of the form $u(x)=m x+q$ with $m, q \in \mathbb{R}$.
If $n \geq 2$, there exist many harmonic maps besides affine functions
$$u(x)=q+\sum_{i=1}^n m_i x_i, \quad x=\left(x_i\right) \in \Omega,$$
$m_i, q \in \mathbb{R}$. For instance, when $n=2$, the following are all harmonic on their domains of definition (the reader should check this):
$$\begin{array}{ll} u(x, y)=x^2-y^2, & u(x, y)=\log \sqrt{x^2+y^2}, \ u(x, y)=e^x \cos y, & u(x, y)=\operatorname{arctg} \frac{x}{y} . \end{array}$$

For $n \geq 3$, the function
$$u(x)=|x|^{2-n}, \quad x \in \Omega=\mathbb{R}^n-{0}$$
is harmonic. The function $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ is harmonic on $\mathbb{R}^2$; its graph, when $(x, y)$ is in the square $[-1,1] \times[-1,1]$, is plotted in Fig. 3.23. The gradient is zero only at $(x, y)=$ $(0,0)$, but this is not a maximum nor a minimum point of $u$ (the reader should check this analytically). This is a general feature: no harmonic function has local extrema on the interior of its domain of definition. The maximum principle, discussed below, is based on this fact.

The reader should observe the level curves of $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ in Fig.3.24. They are not closed (because the function does not have interior local extrema) and therefore the curves all reach the boundary.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Maximum Principle

Maximum Principle Let $\Omega$ be an open bounded set in $\mathbb{R}^n$ and $u \in C^0(\bar{\Omega}) \cap C^2(\Omega) a$ harmonic function on $\Omega$. Call $m, M$ the minimum and maximum of $u$ on the boundary $\partial \Omega$, as in (3.100). Then
$$m \leq u(x) \leq M, \quad \forall x \in \bar{\Omega}$$
A consequence of the maximum principle is that a harmonic function $u$ cannot have an absolute maximum or minimum point that is interior and strict. For instance, for maxima, there is no $x_0 \in \Omega$ such that $u\left(x_0\right)>u(x)$ for any $x \in \bar{\Omega}-\left{x_0\right}$.
For example, $u(x)=$ constant satisfies the maximum principle’s assumptions (and the conclusion!), and every point in an open and bounded subset $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is a maximum and a minimum point for $u$ interior to $\bar{\Omega}$, but not strict.
The hypothesis that the open set $\Omega$ is bounded is essential. For example, for $n=2$ the function $u(x, y)=e^x \cos y$ is harmonic on the unbounded set
$$\Omega=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^2:-\frac{\pi}{2}0 is chosen. ## 数学分析代写 ## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Maximum Principle for Harmonic Functions 让 \Omega 是的一个开放子集 \mathbb{R}^n . A C^2 功能 u: \Omega \rightarrow \mathbb{R} 据说是和诣的 \Omega 如果它求解线升二阶偏微分方程$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\ldots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0, \quad x \in \Omega
$$上面的 PDE 称为拉普拉斯方程，更紧凑地写为 \Delta u=0 ，即$$
\Delta u=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}=0, \quad x \in \Omega
$$在一维中， n=1 ，在哪里 \Omega=(a, b) 是实开区间，调和函数 u:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} 满足 u^{\prime \prime}=0 对于任 何 x \in(a, b). 积分两次很容易看出该类型的任何函数都仿射在 (a, b) ，即形式 u(x)=m x+q 和 m, q \in \mathbb{R}. 如果 n \geq 2 ， 除了仿射函数外，还存在许多调和映射$$
u(x)=q+\sum_{i=1}^n m_i x_i, \quad x=\left(x_i\right) \in \Omega
$$m_i, q \in \mathbb{R}. 例如，当 n=2 ，以下是它们定义域上的所有谐波 (读者应该检查一下) : u(x, y)=x^2-y^2, \quad u(x, y)=\log \sqrt{x^2+y^2}, u(x, y)=e^x \cos y, \quad u(x, y)=\operatorname{arctg} \frac{x}{y} 为了n n \geq 3 ， 功能$$
$$是谐波。功能 u(x, y)=x^3-3 x y^2 谐波上 \mathbb{R}^2; 它的图表，当 (x, y) 在广场上 [-1,1] \times[-1,1] ， 绘 制在图 3.23 中。梯度仅在 (x, y)=(0,0) ，但伩既不是最大点也不是最小点 u (读者应分析检查)。 这是一个—般特征: 调和函数在其定义域的内部没有局部极值。下面讨论的最大原则就是基于这个事 实。 读者应观察电平曲线 u(x, y)=x^3-3 x y^2 在图 3.24 中。它们不是封闭的（因为函数没有内部局部 极值)，因此曲线都到达边界。 ## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Maximum Principle 最大原则让 \Omega 是一个开放的有界集合 \mathbb{R}^n 和 u \in C^0(\bar{\Omega}) \cap C^2(\Omega) a 调和函数 \Omega. 称呼 m, M 的最小值 和最大值 u 在边界上 \partial \Omega ， 如 (3.100)。然后$$
m \leq u(x) \leq M, \quad \forall x \in \bar{\Omega}
$$最大原理的一个结果是调和函数 u 不能有内部和严格的绝对最大值或最小值点。例如，对于最大值， 没有 x_0 \in \Omega 这样 u\left(x_0\right)>u(x) 对于任何 \backslash left 缺少或无法识别的分隔符 例如， u(x)= 常量满足最大原理的假设（和结论!），以及开放和有界子集中的每个点 \Omega \subset \mathbb{R}^n 是 最大和最小点 u 内部到 \bar{\Omega} ，但并不严格。 开集假设 \Omega 是有界的是必不可少的。例如，对于 n=2 功能 u(x, y)=e^x \cos y 是无界集合 \ \$$
\Omega $=\backslash$ left ${(x, y) \backslash$ in $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{R}} \wedge 2:-\backslash$ frac ${\backslash \mathrm{pi}}{2} 0 \$\$ 上的谐波。

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