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数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

如果你也在 怎样代写微分几何Differential geometry 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微分几何Differential geometry作为一门学科的历史和发展,至少可以追溯到古代的古典。它与几何学、空间和形状的概念以及拓扑学,特别是流形的研究的发展有着密切的联系。在本节中,我们主要关注无限小方法在几何学中的应用历史,以及后来的切线空间思想,并最终在张量和张量场方面发展出该学科的现代形式主义。

微分几何Differential geometry在整个数学和自然科学领域都有应用。最突出的是,爱因斯坦在他的广义相对论中使用了微分几何的语言,随后物理学家在发展量子场理论和粒子物理学的标准模型时也使用了这种语言。在物理学之外,微分几何在化学、经济学、工程、控制理论、计算机图形和计算机视觉以及最近的机器学习中也有应用。

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We assume throughout this section that $M \subset \mathbb{R}^n$ and $M^{\prime} \subset \mathbb{R}^{n^{\prime}}$ are smooth submanifolds of the same dimension $m$. As in Sect. 5.1 we denote objects on $M^{\prime}$ by the same letters as objects in $M$ with primes affixed. In particular, $g^{\prime}$ denotes the first fundamental form on $M^{\prime}$ and $R^{\prime}$ denotes the Riemann curvature tensor on $M^{\prime}$.
Let $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ be a diffeomorphism. Using $\phi$ we can move objects on $M$ to $M^{\prime}$. For example the pushforward of a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the curve
$$
\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}
$$
the pushforward of a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ is the function
$$
\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}
$$
the pushforward of a vector field $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ along a curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(\phi_* \gamma\right)$ defined by
$$
\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)
$$
for $t \in I$, and the pushforward of a global vector field $X \in \operatorname{Vect}(M)$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(M^{\prime}\right)$ defined by
$$
\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)
$$
for $p \in M$. Recall that the first fundamental form on $M$ is the Riemannian metric $g$ defined as the restriction of the Euclidean inner product on the ambient space to each tangent space of $M$. It assigns to each $p \in M$ the bilinear map $g_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M
$$

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Theorem 5.3.1 (Theorema Egregium) The first fundamental form, covariant differentiation, geodesics, parallel transport, and the Riemann curvature tensor are intrinsic. This means that for every isometry $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ the following holds.
(i) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) If $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a vector field along a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$, then
$$
\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X
$$
and if $X, Y \in \operatorname{Vect}(M)$ are global vector fields, then
$$
\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_\left(\nabla_X Y\right) $$ (iii) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a geodesic, then $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ is a geodesic. (iv) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a smooth curve, then for all $s, t \in I$, we have $$ \Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s) $$ (v) $\phi_ R=R^{\prime}$

Proof Assertion (i) is simply a restatement of Theorem 5.1.1. To prove (ii) we choose a local smooth parametrization $\psi: \Omega \rightarrow U$ of an open set $U \subset M$, defined on an open set $\Omega \subset \mathbb{R}^m$, so that $\psi^{-1}: U \rightarrow \Omega$ is a coordinate chart. Suppose without loss of generality that $\gamma(t) \in U$ for all $t \in I$ and define $c: I \rightarrow \Omega$ and $\xi: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ by
$$
\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t)) .
$$

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微分几何代写

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在本节中,我们假设 $M \subset \mathbb{R}^n$ 和 $M^{\prime} \subset \mathbb{R}^{n^{\prime}}$ 是相同维度的光滑子流形 $m$. 就像在教派中 一样。5.1 我们表示对象 $M^{\prime}$ 通过与对象相同的字母 $M$ 附有素数。尤其, $g^{\prime}$ 表示上的第 一个基本形式 $M^{\prime}$ 和 $R^{\prime}$ 表示黎曼曲率张量 $M^{\prime}$.
让 $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ 是微分同胚。使用 $\phi$ 我们可以移动物体 $M$ 到 $M^{\prime}$. 例如平滑曲线的前推 $\gamma: I \rightarrow M$ 是曲线
$$
\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}
$$
平滑函数的前推 $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ 是函数
$$
\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}
$$
矢量场的前推 $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ 沿着曲线 $\gamma: I \rightarrow M$ 是矢量场 $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(\phi_* \gamma\right)$ 被定 义为
$$
\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)
$$
为了 $t \in I$, 以及全局向量场的前推 $X \in \operatorname{Vect}(M)$ 是矢量场 $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(M^{\prime}\right.$ )被定 义为
$$
\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)
$$
为了 $p \in M$. 回想一下第一个基本形式 $M$ 是黎曼度量 $g$ 定义为欧几里德内积对环境空间 的限制到每个切线空间 $M$. 它分配给每个 $p \in M$ 双线性映射 $g_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M
$$

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定理 5.3.1 (Theorema Egregium) 第一基本形式、协变微分、测地线、平行传输和黎 曼曲率张量是固有的。这意味着对于每个等距 $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ 以下成立。
(我) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) 如果 $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ 是沿着平滑曲线的矢量场 $\gamma: I \rightarrow M$ ,然后
$$
\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X
$$
而如果 $X, Y \in \operatorname{Vect}(M)$ 是全局矢量场,那么
$$
\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_{\left(\nabla_X Y\right)}
$$
(iii) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是测地线,那么 $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ 是测地线。(iv) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是一条光滑的曲线,那么对于所有 $s, t \in I$ ,我们有
$$
\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)
$$
(在) $\phi_R=R^{\prime}$
证明断言 (i) 只是对定理 5.1.1 的重述。为了证明 (ii) 我们选择局部平滑参数化 $\psi: \Omega \rightarrow U$ 开集的 $U \subset M$ ,定义在一个开集上 $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ ,以便 $\psi^{-1}: U \rightarrow \Omega$ 是坐标 图。不失一般性地假设 $\gamma(t) \in U$ 对全部 $t \in I$ 并定义 $c: I \rightarrow \Omega$ 和 $\xi: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ 经过
$$
\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t))
$$

数学代写|微分几何代写Differential geometry代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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