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# 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

We assume throughout this section that $M \subset \mathbb{R}^n$ and $M^{\prime} \subset \mathbb{R}^{n^{\prime}}$ are smooth submanifolds of the same dimension $m$. As in Sect. 5.1 we denote objects on $M^{\prime}$ by the same letters as objects in $M$ with primes affixed. In particular, $g^{\prime}$ denotes the first fundamental form on $M^{\prime}$ and $R^{\prime}$ denotes the Riemann curvature tensor on $M^{\prime}$.
Let $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ be a diffeomorphism. Using $\phi$ we can move objects on $M$ to $M^{\prime}$. For example the pushforward of a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the curve
$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$
the pushforward of a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ is the function
$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$
the pushforward of a vector field $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ along a curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(\phi_* \gamma\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$
for $t \in I$, and the pushforward of a global vector field $X \in \operatorname{Vect}(M)$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(M^{\prime}\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$
for $p \in M$. Recall that the first fundamental form on $M$ is the Riemannian metric $g$ defined as the restriction of the Euclidean inner product on the ambient space to each tangent space of $M$. It assigns to each $p \in M$ the bilinear map $g_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

Theorem 5.3.1 (Theorema Egregium) The first fundamental form, covariant differentiation, geodesics, parallel transport, and the Riemann curvature tensor are intrinsic. This means that for every isometry $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ the following holds.
(i) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) If $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a vector field along a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$, then
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$
and if $X, Y \in \operatorname{Vect}(M)$ are global vector fields, then
$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_\left(\nabla_X Y\right)$$ (iii) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a geodesic, then $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ is a geodesic. (iv) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a smooth curve, then for all $s, t \in I$, we have $$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$ (v) $\phi_ R=R^{\prime}$

Proof Assertion (i) is simply a restatement of Theorem 5.1.1. To prove (ii) we choose a local smooth parametrization $\psi: \Omega \rightarrow U$ of an open set $U \subset M$, defined on an open set $\Omega \subset \mathbb{R}^m$, so that $\psi^{-1}: U \rightarrow \Omega$ is a coordinate chart. Suppose without loss of generality that $\gamma(t) \in U$ for all $t \in I$ and define $c: I \rightarrow \Omega$ and $\xi: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ by
$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t)) .$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$

$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$

$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$

$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

(我) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) 如果 $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ 是沿着平滑曲线的矢量场 $\gamma: I \rightarrow M$ ，然后
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$

$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_{\left(\nabla_X Y\right)}$$
(iii) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是测地线，那么 $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ 是测地线。(iv) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是一条光滑的曲线，那么对于所有 $s, t \in I$ ，我们有
$$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$
(在) $\phi_R=R^{\prime}$

$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t))$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。