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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The sieve of Eratosthenes

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础,对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述,只对其状态有部分了解,如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程(为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象,这些过程或测量量可能是单一发生的,或以随机方式随时间演变)。尽管不可能完美地预测随机事件,但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一组公理来表达它。

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The classical applications of inclusion-exclusion were in the theory of numbers. Write $\operatorname{gcd}(a, b)$ for the greatest common divisor of two natural numbers $a$ and $b$, and for every real number $x$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer $\leq x$.

THEOREM 1 Let $\mathrm{N}$ be a natural number and $\mathrm{a}1, \ldots, \mathrm{a}{\mathrm{n}}$ natural numbers that are relatively prime, that is to say, $\operatorname{gcd}\left(a_i, a_j\right)=1$ if $i \neq j$. Let $R$ be a random number selected from ${1, \ldots, N}$. Then the probability that $R$ is divisible by none of the $a_i$ is given by
$$
1-\sum_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i}\right\rfloor+\sum_{1 \leq i<j \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i a_j}\right\rfloor-\cdots+(-1)^n \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_1 a_2 \cdots a_n}\right\rfloor .
$$
PrOof: Identify $A_i$ as the event that $a_i$ divides R. As the number of strictly positive integers $\leq N$ that are divisible by $a_i$ is $\left\lfloor N / a_i\right\rfloor$, the term $S_1$ in the inclusion-exclusion formula is given by $\sum_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i}\right\rfloor$. As $a_i$ and $a_j$ are relatively prime if $i \neq j$, the number of strictly positive integers $\leq N$ that are divisible both by $a_i$ and $a_j$ is $\left\lfloor N /\left(a_i a_j\right)\right\rfloor$ and the term $S_2$ in the inclusion-exclusion formula is given by $\sum_{1 \leq i<j \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i a_j}\right\rfloor$. Proceeding in this fashion, the kth term is given by $S_k=\sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}}\right\rfloor$. The probability that none of the $a_i$ divide $R$ is then given by $1-S_1+S_2-\cdots+(-1)^n S_n$.

Multiplying the expression in (2.1) throughout by $\mathrm{N}$ yields the number of positive integers $\leq N$ that are relatively prime to each of $a_1, \ldots, a_n$ and the intrinsically combinatorial nature of the result is again manifest.

For each natural number $N$, Euler’s totient function $\varphi(N)$ is defined to be the number of positive integers $k$, no larger than $N$, which are relatively prime to $\mathrm{N}$. This function is of great importance in number theory.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|On trees and a formula of Cayley

A graph $\mathcal{G}=(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ is a mathematical object consisting of an abstract set $\mathcal{V}$ of objects called vertices together with a collection $\varepsilon$ of unordered pairs of vertices called edges. We may view a graph pictorially by representing vertices by points on a sheet of paper and drawing lines between points to represent edges. In a vivid language we may then say that an edge ${i, j}$ is incident on the vertices $i$ and $j$ and say colloquially that $i$ and $j$ are neighbours or are adjacent. The degree of a vertex $i$, denoted $\operatorname{deg}(i)$, is the number of edges incident upon it, that is to say, the number of its neighbours.

A graph is connected if, starting from any vertex, we can move to any other vertex by traversing only along the edges of the graph. Formally, $\mathcal{G}$ is connected if, for every pair of distinct vertices $u$ and $v$, there exists $k \geq 0$ and a sequence of distinct vertices $u=i_0, i_1, \ldots, i_k, i_{k+1}=v$ so that $\left{i_j, i_{j+1}\right}$ is an edge of the graph for $0 \leq j \leq k$. Thus, we may traverse from $u$ to $v$ through the sequence of vertices $u=i_0 \rightarrow i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_k \rightarrow i_{k+1}=v$ by progressing along the edges between succeeding vertices; we call such a progression a path. Thus, a graph is connected if, and only if, there is a path between any two vertices. An example of a (large) connected graph is the internet with users, computers, and routers representing vertices, and edges between entities that are directly linked.

Connected graphs can have fantastically complicated structures and a principle of parsimony may suggest that we begin with a consideration of the simplest kind of graph structure that is still connected. Suppose the graph contains a sequence of edges $\left{i_0, i_1\right},\left{i_1, i_2\right}, \ldots,\left{i_{k-1}, i_k\right},\left{i_k, i_0\right}$ where none of the vertices $i_1, \ldots, i_k$ repeat. Starting at vertex $i_0$ and traversing these edges of the graph in sequence returns us to $i_0$. Naturally enough, we will call such a sequence of edges a cycle. Now it is clear that if $\mathcal{G}$ is not already cycle-free, then we may remove any edge (but not the associated vertices) from any cycle of $\mathcal{G}$ without affecting connectivity (though the paths which originally involved the eliminated edge will now become longer). This pruning process has created a new connected graph with one fewer edge. Repeated iterations of the pruning procedure will terminate in a finite number of steps (as there are only a finite number of possible edges) in a cycle-free connected subgraph of $\mathcal{G}$ on the orig- inal set of vertices (that is to say, a connected graph on the $n$ vertices which contains no cycles and whose edges are all also edges of the parent graph $\mathcal{G}$ ).

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概率论代写

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包含 – 排除的经典应用是在数论中。写 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 求两个自然数的最大公约数 $a$ 和 $b$ ,对于每个实数 $x$ 让 $\lfloor x\rfloor$ 表示最大整数 $\leq x$.
定理 1 让 $\mathrm{N}$ 是一个自然数并且 $\mathrm{a} 1, \ldots, a$ 互质的自然数,也就是说, $\operatorname{gcd}\left(a_i, a_j\right)=1$ 如果 $i \neq j$. 让 $R$ 是从中选择的随机数 $1, \ldots, N$. 那么概率是 $R$ 不能被任何一个整除 $a_i$ 是(谁) 给的
$$
1-\sum_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i}\right\rfloor+\sum_{1 \leq i<j \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_i a_j}\right\rfloor-\cdots+(-1)^n \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_1 a_2 \cdots a_n}\right\rfloor .
$$
证明: 识别 $A_i$ 作为事件 $a_i$ 除以 R。作为严格正整数的数量 $\leq N$ 可被整除 $a_i$ 是 $\left\lfloor N / a_i\right\rfloor ,$ 期限 $S_1$ 在包含 – 排除公式中由下式给出 包含 – 排除公式中由下式给出 $\left.\sum_{1 \leq i<j \leq n} \frac{1}{N} \mid \frac{N}{a_i a_j}\right\rfloor$. 以这种方式进行,第 $\mathrm{k}$ 项由下式给出
$S_k=\sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n} \frac{1}{N}\left\lfloor\frac{N}{a_{i_1} a_{i 2} \cdots a_{i k}}\right\rfloor$. 没有一个的概率 $a_i$ 划分 $R$ 然后由 $1-S_1+S_2-\cdots+(-1)^n S_n$.
将 (2.1) 中的表达式自始至终乘以N产生正整数的数量 $\leq N$ 相对质数 $a_1, \ldots, a_n$ 结果的内在组合性质再次显现。
对于每个自然数 $N$ , 欧拉总函数 $\varphi(N)$ 被定义为正整数的个数 $k$, 不大于 $N$, 相对质数 $N$. 这个函数在数论中非常重要。

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|On trees and a formula of Cayley

一张图 $\mathcal{G}=(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ 是由抽象集合组成的数学对象 $\mathcal{V}$ 称为顶点的对象和集合 $\varepsilon$ 称为边的无序顶点对。我们可以通过 在一张纸上用点表示顶点并在点之间画线来表示边来以图形方式查看图形。用一种生动的语言,我们可以说边 缘 $i, j$ 是顶点上的事件 $i$ 和 $j$ 并通俗地说 $i$ 和 $j$ 是邻居或相邻的。顶点的度数 $i$, 表示 $\operatorname{deg}(i)$, 是入射在它上面的边的 数量,也就是说,它的邻居的数量。
如果从任何顶点开始,我们可以通过仅沿看图的边遍历移动到任何其他顶点,则图是连通的。正式地, $\mathcal{G}$ 是连通 的,如果,对于每对不同的顶点 $u$ 和 $v$ ,那里存在 $k \geq 0$ 和一系列不同的顶点 $u=i_0, i_1, \ldots, i_k, i_{k+1}=v$ 以便 \left 缺少或无法识别的分隔符 是图的边 $0 \leq j \leq k$. 因此,我们可以从 $u$ 到 $v$ 通过顶点序列 $u=i_0 \rightarrow i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_k \rightarrow i_{k+1}=v$ 通过沿看连续顶点之间的边缘前进;我们称这样的进程为路径。因 此,当且仅当任意两个顶点之间存在路径时,图是连通的。(大)连通图的一个例子是互联网,其中用户、计 算机和路由器表示直接链接的实体之间的顶点和边。
连通图可以具有非常复杂的结构,简约原则可能建议我们从考虑仍然连通的最简单的图结构开始。假设图包含 一系列边 left 缺少或无法识别的分隔符 没有顶点 $i_1, \ldots, i_k$ 重复。从顶点开始 $i_0$ 并按顺序遍 历图的这些边返回到 $i_0$. 很自然地,我们将这样的边序列称为循环。现在很清楚,如果 $\mathcal{G}$ 已经不是无循环的,那 么我们可以从任何循环中删除任何边缘 (但不是关联的顶点) $\mathcal{G}$ 不影响连通性 (尽管最初涉及消除边缘的路径现 在会变得更长) 。这个修朌过程创建了一个少了一条边的新连通图。修前过程的重复迭代将在无循环连接子图 中终止于有限数量的步骤 (因为只有有限数量的可能边) $\mathcal{G}$ 在原始顶点集上(也就是说, $n$ 不包含㑑环且其边也 都是父图的边的顶点 $\mathcal{G}$ ).

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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