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数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Rational Structures and Uniform Subgroups

如果你也在 怎样代写表示论Representation Theory 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。表示论Representation Theory是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算(例如,矩阵加法、矩阵乘法)来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性算子的理论是被充分理解的,所以用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

表示论Representation Theory是一种有用的方法,因为它将抽象代数中的问题简化为线性代数中的问题,这是一个很好理解的主题。此外,一个群(例如)所代表的向量空间可以是无限维的,通过允许它成为例如希尔伯特空间,分析的方法可以应用于群的理论。代表理论在物理学中也很重要,例如,它描述了一个物理系统的对称群是如何影响描述该系统的方程式的解决方案的。代表理论普遍存在于数学的各个领域,原因有二。首先,表征理论的应用多种多样:除了对代数的影响外,表征理论还。

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数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Rational Structures and Uniform Subgroups

数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Rational Structures and Uniform Subgroups

In this subsection we present some results on discrete uniform subgroups of a nilpotent Lie group. Let $G$ be a nilpotent, connected and simply connected real Lie group and let $\mathfrak{g}$ be its Lie algebra. We say that $\mathfrak{g}$ (or $G$ ) has a rational structure if there is a Lie algebra $\mathfrak{g}{\mathbb{Q}}$ over $\mathbb{Q}$ such that $\mathfrak{g} \cong \mathfrak{g}{\mathbb{Q}} \otimes \mathbb{R}$. It is clear that $\mathfrak{g}$ has a rational structure if and only if $\mathfrak{g}$ has an $\mathbb{R}$-basis $\left{X_1, \ldots, X_n\right}$ with rational structure constants.

Let $\mathfrak{g}$ have a fixed rational structure given by $\mathfrak{g}{\mathbb{Q}}$ and let $\mathfrak{h}$ be an $\mathbb{R}$-subspace of $\mathfrak{g}$. Define $\mathfrak{h}{\mathbb{Q}}=\mathfrak{h} \cap \mathfrak{g}{\mathbb{Q}}$. We say that $\mathfrak{h}$ is rational if $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-span $\left{\mathfrak{h}{\mathbb{Q}}\right}$. A connected, closed subgroup $H$ of $G$ is rational if its Lie algebra $\mathfrak{h}$ is rational. The elements of $\mathfrak{g}{\mathbb{Q}}\left(\right.$ or $G{\mathbb{Q}}=\exp \mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}$ ) are called rational elements (or rational points) of $\mathfrak{g}$ (or $G$ ).
A discrete subgroup $\Gamma$ is called uniform in $G$ if the quotient space $G / \Gamma$ is compact. The homogeneous space $G / \Gamma$ is called a compact nilmanifold. A criterion of Malcev states that $G$ admits a uniform subgroup $\Gamma$ if and only if $\mathfrak{g}$ admits a rational structure. Furthermore, if $G$ has a uniform subgroup $\Gamma$, then $\mathfrak{g}$ (hence $G$ ) has a rational structure such that $\mathfrak{g}{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}$-span ${\log (\Gamma)}$. Conversely, if $\mathfrak{g}$ has a rational structure given by some $\mathbb{Q}$-algebra $\mathfrak{g}{\mathbb{Q}} \subset \mathfrak{g}$, then $G$ has a uniform subgroup $\Gamma$ such that $\log (\Gamma) \subset \mathfrak{g}{\mathbb{Q}}$ (see [39] and [126]). If $G$ is endowed with the rational structure induced by a uniform subgroup $\Gamma$ and if $H$ is a Lie subgroup of $G$, then $H$ is rational if and only if $H \cap \Gamma$ is a uniform subgroup of $H$. Note that the notion of rationality depends on $\Gamma$. A real linear functional $f \in \mathfrak{g}^$ is called rational $\left(f \in \mathfrak{g}{\mathbb{Q}}^, \mathfrak{g}{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}\right.$-span $\left.(\log (\Gamma))\right)$ if $\left\langle f, \mathfrak{g}{\mathbb{Q}}\right\rangle \subset \mathbb{Q}$, or equivalently $\langle f, \log (\Gamma)\rangle \subset \mathbb{Q}$.
Let $\Gamma$ be a uniform subgroup of $G$. A strong Malcev basis $\left{X_1, \ldots, X_n\right}$ for $\mathfrak{g}$ is said to be strongly based on $\Gamma$ if
$$
\Gamma=\exp \mathbb{Z} X_1 \cdots \exp \mathbb{Z} X_n
$$

数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Fundamental Domains for Uniform Subgroups

Let $\Gamma$ be a discrete uniform subgroup of a connected, simply connected nilpotent Lie group $G$, and let $\mathscr{B}=\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ be a strong Malcev basis for the Lie algebra $\mathfrak{g}$ of $G$ strongly based on $\Gamma$. Define the mapping $\mathcal{E}{\mathscr{B}}: \mathbb{R}^n \longrightarrow G$ by $$ \mathcal{E}{\mathscr{B}}(T)=\exp t_n X_n \cdots \exp t_1 X_1
$$
where $T=\left(t_1, \ldots, t_n\right) \in \mathbb{R}^n$. It is well known that $\mathcal{E}{\mathscr{B}}$ is a diffeomorphism ([39]). Let $$ \mathbb{I}=[0,1)={t \in \mathbb{R}: 0 \leq t<1} $$ and let $$ \Omega=\mathcal{E}{\mathscr{B}}\left(\mathbb{I}^n\right)
$$
Then $\Omega$ is a fundamental domain for $\Gamma$ in $G$ ([35, Lemma 3.6]), and the mapping $\mathcal{E}{\mathscr{B}}$ maps the Lebesgue measure $d t$ on $\mathbb{I}^n$ to the $G$-invariant probability measure $v$ on $G / \Gamma$, that is, for $\varphi$ in $\mathscr{C}(G / \Gamma)$, one has $$ \int{G / \Gamma} \varphi(\dot{g}) d v(\dot{g})=\int_{\mathbb{I}^n} \varphi\left(\mathcal{E}{\mathscr{B}}(t)\right) d t $$ Furthermore, for $\phi \in \mathscr{C}_c(G)$ one has $$ \int_G \phi(g) d \nu(g)=\sum{s \in \mathbb{Z}^n} \int_{\mathbb{I}^n} \phi\left(\mathcal{E}{\mathscr{B}}(t) \mathcal{E}{\mathscr{B}}(s)\right) d t
$$


数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Rational Structures and Uniform Subgroups

表示论代写

数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Rational Structures and Uniform Subgroups


在本小节中,我们给出了幂霝李群的离散均匀子群的一些结果。让 $G$ 是一个幂䨐、连通和单连通的实李群,并 且让 $\mathfrak{g}$ 是它的李代数。我们说 $\mathfrak{g}$ (或者 $G$ ) 有一个有理结构如果有一个李代数 $\mathfrak{g} \mathbb{Q}$ 超过 $\mathbb{Q}$ 这样 $\mathfrak{g} \cong \mathfrak{g} \mathbb{Q} \otimes \mathbb{R}$. 很清 楚 $\mathfrak{g}$ 具有合理的结构当且仅当 $\mathfrak{g}$ 有一个 $\mathbb{R}$-基础\lef $t$ 缺少或无法识别的分隔符
具有合理的结 构常数。
让 $\mathfrak{g}$ 有一个固定的有理结构 $\mathfrak{g} \mathbb{Q}$ 然后让 $\mathfrak{h}$ 豆 $\mathbb{R}$-子空间 $\mathfrak{g}$. 定义 $\mathfrak{Q}=\mathfrak{h} \cap \mathfrak{g} \mathbb{Q}$. 我们说 $\mathfrak{h}$ 是理性的,如果 $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-跨 度 left 缺少或无法识别的分隔符 . 连通的封闭子群 $H$ 的 $G$ 如果它的李代数是有理数h是理性 的。的元责 $\mathfrak{g} \mathbb{Q}$ (或者 $G \mathbb{Q}=\exp \mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}$ ) 被称为有理元素(或有理点) $\mathfrak{g}$ (或者 $G$ ).
离散子群 $\Gamma$ 被称为制服 $G$ 如果商空间 $G / \Gamma$ 很紧凑。同质空间 $G / \Gamma$ 称为紧凑的霎流形。Malcev 的一个标准指出 $G$ 承认一个一致的子群 $\Gamma$ 当且仅当 $\mathfrak{g}$ 承认一个合理的结构。此外,如果 $G$ 有一个一致的子群 $\Gamma$ ,然后 $\mathfrak{g}($ 因此 $G)$ 有一个合理的结构使得 $\mathfrak{g} \mathbb{Q}=\mathbb{Q}$-跨度 $\log (\Gamma)$. 相反,如果 $\mathfrak{g}$ 具有某些人给出的合理结构 $\mathbb{Q}$-代数 $\mathfrak{g} \mathbb{Q} \subset \mathfrak{g}$ ,然后 $G$ 有一个一致的子群 $\Gamma$ 这样 $\log (\Gamma) \subset \mathfrak{g} \mathbb{Q}$ (参见 [39] 和 [126]) 。如果 $G$ 被赋予由一致子群导出的有理结构 $\Gamma$ 而如果 $H$ 是的李子群 $G$ ,然后 $H$ 是理性的当且仅当 $H \cap \Gamma$ 是一个均匀的子群 $H$. 请注意,理性的概念取决于 $\Gamma$. 实线性泛函竍少上标或下标参数 $\quad$ 被称为理性的 $(f \in \mathfrak{g} \mathbb{Q}, \mathfrak{g} \mathbb{Q}=\mathbb{Q}$-跨度 $(\log (\Gamma)))$ 如果 $\langle f, \mathfrak{g} \mathbb{Q}\rangle \subset \mathbb{Q}$, 或等价地 $\langle f, \log (\Gamma)\rangle \subset \mathbb{Q}$.
让 $\Gamma$ 是一个一致的子群 $G$. 强大的 Malcev 基础 left 缺少或无法识别的分隔符
为了 $\mathfrak{g}$ 据说强 烈基于 $\Gamma$ 如果
$$
\Gamma=\exp \mathbb{Z} X_1 \cdots \exp \mathbb{Z} X_n
$$

数学代写|表示论代写Representation Theory代考|Fundamental Domains for Uniform Subgroups


让 $\Gamma$ 是连通的、单连通的幂䨐李群的离散均匀子群 $G$ ,然后让 $\mathscr{B}=\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是李代数的强 Malcev 基础 $\mathfrak{g}$ 的 $G$ 强烈地基于 $\Gamma$. 定义映射 $\mathcal{B} \mathscr{B}: \mathbb{R}^n \longrightarrow G$ 经过
$$
\mathcal{E} \mathscr{B}(T)=\exp t_n X_n \cdots \exp t_1 X_1
$$
在哪里 $T=\left(t_1, \ldots, t_n\right) \in \mathbb{R}^n$. 众所周知 $\mathcal{E} \mathscr{B}$ 是微分同胚 ([39])。让
$$
\mathbb{I}=[0,1)=t \in \mathbb{R}: 0 \leq t<1
$$
然后让
$$
\Omega=\mathcal{E} \mathscr{B}\left(\mathbb{I}^n\right)
$$
也就是说,对于 $\varphi$ 在 $\mathscr{C}(G / \Gamma)$ ,一个有
$$
\int G / \Gamma \varphi(\dot{g}) d v(\dot{g})=\int_{\mathbb{I}^n} \varphi(\mathcal{E} \mathscr{B}(t)) d t
$$
此外,对于 $\phi \in \mathscr{C}c(G)$ 一个有 $$ \int_G \phi(g) d \nu(g)=\sum s \in \mathbb{Z}^n \int{\mathbb{I}^n} \phi(\mathcal{E} \mathscr{B}(t) \mathcal{E} \mathscr{B}(s)) d t
$$

数学代写|表示论代写Representation Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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