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# 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Inverse Operator

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## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Inverse Operator

We now prove that formulas (3.3.13) and (3.3.14), established in the proof of the theorem on $C_c^{\infty}(G / H, f)$, actually hold on $L^2(G / H, f)$. We will resume the cases studied in the previous theorem.
In the first case, it is clear that $L^2(G / H, f)=L^2\left(G_0 / H, f_0\right)$ and that
$$\int_V L^2(G / B(\phi), \phi) d \lambda(\phi)=\int_{V_0} L^2\left(\mathbb{R}, L^2\left(G_0 / B\left(\phi_0\right), \phi_0\right)\right) d \lambda^0\left(\phi_0\right)$$
Hence $U=\tilde{U}0 \circ W$, where $W: L^2(G / H, f) \rightarrow L^2\left(\mathbb{R}, L^2\left(G_0 / H, f\right)\right)$ is the operator field defined by $$W(\xi)(t)\left(g_0\right)=\xi\left(\exp (t X) \cdot g_0\right)=\xi_t\left(g_0\right), g_0 \in G_0$$ and $\tilde{U}_0(\xi)(t)\left(g_0\right)=U_0\left(\xi_t\right)\left(g_0\right)$ We move to the second case, so let $\phi \in V_0$ and $\phi_0=\phi{\operatorname{gg}0}$. Then $\phi=\phi_s=$ $\phi_0+s X^{\star}$ for some $s \in \mathbb{R}$. For $\eta \in C_c^{\infty}\left(G / B\left(\phi_0\right), \phi_0\right)$, let $\eta^s$ be the function defined on $G$ by $$\eta^s(g)=\int{\mathbb{R}} \eta\left(g \exp \left(t B_n(\phi)\right)\right) e^{-i t s} \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}\left(\exp \left(t B_n(\phi)\right)\right) e^{-i t \phi_0}\left(Z_0(\phi)\right) d t, g \in G$$

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|A Rational Disintegration of $L^2(G)$ for an Exponential Solvable Lie GroupG

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and left-regular representation $\lambda_G=\operatorname{ind}{{e}}^G 1$. Here $f=0$ and $\Gamma_f=\mathfrak{g}^{\star}$. Take a good sequence of subalgebras of $g$ $$\mathfrak{a}_0={0} \subset \mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \cdots \subset \mathfrak{a}_n=\mathfrak{g}$$ from which we extract a Malcev basis $\left{X_1, \ldots, X_n\right}$ of $\mathfrak{g}, X_i \in \mathfrak{a}_i \backslash \mathfrak{a}{i-1}$. In this case and as in Sect. 3.3.1, $K^{{e}}$ is the set of all $j \in{1, \ldots, n}$ such that all $A_j$-orbits are saturated with respect to $a_{j-1}$, which implies $V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{\star}:\left\langle\phi, X_j\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^{{e}}\right}$. Let $\phi \in V$ and set $\phi_i=\phi_{\mid a_i}$. Let
$$\mathfrak{b}(\phi)=\sum_{i=1}^n \mathfrak{a}_i\left(\phi_i\right)$$
be the Vergne polarization at $\phi$ with respect to the Jordan-Hölder sequence (3.3.20) and $B(\phi)$ its associated Lie group. In addition, we have from the Pukanszky condition that
$$\operatorname{Ad}^{\star}(B(\phi)) \phi=\phi+\mathfrak{b}(\phi)^{\perp}$$

Let $\mu_G$ be the Haar measure on $G$. We have the following rational disintegration of $L^2(G)$
$$\left(L^2(G), \mu_G\right) \simeq \int_V^{\oplus}\left(L^2(G / B(\phi)), \phi\right) d \lambda(\phi)$$
The isometry is given by:
$$U(\xi)(\phi)(g)=\int_{B(\phi)} \xi(g u) \chi_\phi(u) \Delta_{B(\phi), G}^{-\frac{1}{2}}(u) d_{B(\phi)}(u), g \in G$$
where $\xi \in C_c^{\infty}(G)$ is the set of $C^{\infty}$ functions with compact support in $G$ and $\phi \in V$, $d_{B(\phi)}$ is the Haar measure on $B(\phi)$.

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|The Inverse Operator

$$\int_V L^2(G / B(\phi), \phi) d \lambda(\phi)=\int_{V_0} L^2\left(\mathbb{R}, L^2\left(G_0 / B\left(\phi_0\right), \phi_0\right)\right) d \lambda^0\left(\phi_0\right)$$

$$W(\xi)(t)\left(g_0\right)=\xi\left(\exp (t X) \cdot g_0\right)=\xi_t\left(g_0\right), g_0 \in G_0$$

## 数学代写|表示论代写Representation Theory代考|A Rational Disintegration of $L^2(G)$ 对于指数可解李群 G

$$\mathfrak{a}0=0 \subset \mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \cdots \subset \mathfrak{a}_n=\mathfrak{g}$$ 我们从中提取 Malcev 基础\1eft 缺少或无法识别的分隔符 的 $\mathfrak{g}, X_i \in \mathfrak{a}_i \backslash \mathfrak{a} i-1$. 在伩种情况下，就像在 $\operatorname{Sect}$ 中一样。3.3.1, $K^e$ 是所有的集合 $j \in 1, \ldots, n$ 这样 所有 $A_j$-轨道相对于饱和 $a{j-1}$, 这意味着 $\backslash 1 \mathrm{eft}$ 缺少或无法识别的分隔符 . 让 $\phi \in V$ 并设置 $\phi_i=\phi_{\mid a_i}$ 让
$$\mathfrak{b}(\phi)=\sum_{i=1}^n \mathfrak{a}i\left(\phi_i\right)$$ 是 Vergne 极化在 $\phi$ 关于 Jordan-Hölder 序列 (3.3.20) 和 $B(\phi)$ 其相关的李群。此外，根据 Pukanszky 条件，我们有 $$\operatorname{Ad}^{\star}(B(\phi)) \phi=\phi+\mathfrak{b}(\phi)^{\perp}$$ 让 $\mu_G$ 是 Haar 度量 $G$. 我们有以下的合理分解 $L^2(G)$ $$\left(L^2(G), \mu_G\right) \simeq \int_V^{\oplus}\left(L^2(G / B(\phi)), \phi\right) d \lambda(\phi)$$ 等距由下式给出: $$U(\xi)(\phi)(g)=\int{B(\phi)} \xi(g u) \chi_\phi(u) \Delta_{B(\phi), G}^{-\frac{1}{2}}(u) d_{B(\phi)}(u), g \in G$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。